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第四章
4.3.2 对数函数y=log2x的图象和性质
1.会画函数y=log2x的图象；
2.能应用函数y=log2x的图象和性质解决问题.
问题：从图象上看，对数函数y=log2x与指数函数y=2x有何关系
对数函数y=log2x与指数函数y=2x互为反函数,其图象关于直线y=x对称.
能不能利用对数函数y=log2x
与指数函数y=2x图象关于直线y=x对称，画出y=log2x图象
x
O
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
7
y=log2x
- 1
-1
-2
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
知识点一 y=log2x 的图象
用描点法，怎样画出y=log2x图象
作对数图象的三个步骤：
一、列表（根据给定的自变量分别计算出应变量的值）
二、描点（根据列表中的坐标分别在坐标系中标出其对应点）
三、连线（将所描的点用平滑的曲线连接起来）
用描点法，怎样画出y=log2x图象
列表
描点
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
连线
x 1 2 4 …
y=log2x -2 -1 0 1 2 …
图象
图象特征 性质
过点(1,0) x=1时,y=0
函数图象都在y轴右边 零和负数没有对数
当x>1时,图象位于x轴上方; 当01时,y>0;
当0图象是上升的 y=log2x在定义域(0,+∞)上是增函数
渐近线
知识点二 y=log2x 的图象和性质
知识点三 y=log2x 图象应用
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数 与y=log2x 的图象，如图所示.
例1 方程 的解得个数是 .
由图知它们的图象只有一个交点，即方程
仅有一个 解，也就是方程 仅有一个解.
解:将方程整理得2x=3-x,log2x=3-x.
画出函数y=2x,y=log2x,y=3-x的图象,如图所示.
例2. 设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.
由图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=3-x的交点A的横坐
标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=3-x的交点B的横坐标,
由于函数y=log2x与y=2x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对
称.因此,A,B两点也关于直线y=x对称.于是点A为(a,b),点B为(b,a).
由于点A,点B都在直线y=-x+3上,故有b=-a+3或a=-b+3,即a+b=3.
例3. 已知f(x)＝log2x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)解：(1)作出函数y＝log2x的图象如图所示．
(2)由图象知：当0∴所求a的取值范围为(0,2)．
函数f(x)=log2(x+1)与y=log2x的图象有什么关系？
y=log2x的图象向左平移1个单位得到f(x)=log2(x+1)的图象
x
0
y
1
y=log2x
f(x)=log2(x+1)
跟指数函数图象一样，有渐近线，平移前后要画出来.
知识点四 y=log2x图象拓展
1.f(x)=log2(x+1)的图象
x
0
y
1
y=log2x
2. 的图象
能不能利用y=log2x 画 的图象？
函数
根据图象对称规则：
y=f（-x）的图象与y=f（x）关于y轴对称；
y=-f（x）的图象与y=f（x）关于x轴对称对称；
y=-f（-x）的图象与y=f（x）关于原点对称.
x
0
y
1
3. 的性质
归纳 的性质
性质
x=1时,y=0
零和负数没有对数
当x>1时,y<0;
当00
y=log2x在定义域(0,+∞)上是减函数
知识点五 y=log2x与求函数y＝log2|x|图象关系
例4. 求函数y＝log2|x|的定义域，并画出它的图象．
这叫分段函数法，还可以右翻左.
解：函数的定义域为｛x│x≠0，x∈R｝.
函数解析式可化为
其图象如图所示.（其特征是关于y轴对称）
例5. 画出函数y＝|log2x|的图象，并写出它的单调区间．
增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1)．
解：函数解析式可化为
其图象如图所示.（其特征是下翻上）
这叫分段函数法，还可以下翻上.
知识点六 y=log2x含绝对值后图象综合变换
例6. 画出函数y=|log2(x+1)|+2的图象,并说明其单调性.
解:第一步:画出函数y=log2x的图象,如图(1)所示.
第二步:将函数y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得函数y=log2(x+1)的图象,
如图(2)所示.
第三步:将函数y=log2(x+1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴的上方,
得函数y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示.
第四步:将函数y=|log2(x+1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度,得函数y=|log2(x+1)|+2的图象,如图(4)所示.
由图可知,函数y=|log2(x+1)|+2
在区间(-1,0]上单调递减,
在区间[0,+∞)上单调递增.
例7. 画y=log2|x-1|图并写出单调区间.
法二：第一步：由y=log2x 图象变换成y=log2|x|（参考例4） ；
第二步：向右平移1个单位.
x
0
y
x=1
2
（-∞，1）减，（1，+∞）增.
法一：去绝对值化为分段函数
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=log2x的图象都在y轴的左侧. (　　)
(2)函数y= - log2x 在定义域(0，+∞)上是增函数. (　　)
(3)函数y=log2x的图象在直线x=1右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1左侧,
图象位于x轴下方. (　　)
解：(1)×.函数y=log2x的图象都在y轴的右侧.
(2)×.函数y= - log2x 在定义域(0，+∞)上是减函数.
(3) √.由函数y=log2x的图象可知正确.
2. 设集A={x|y=log2x},B={y|y=log2x},则下列关系正确的是(　　)
A.A∪B=A B.A∩B= C.A∈B D.A B
解析: 由题意知A={x|x>0},B=R,故A B.
答案: D
3.函数y=log2（1-x)的图象大致为(　　)
A　 B　　　 C　　　　 D
解析：y=log2x的图象关于y轴对称得到y=log2（-x)图象，再向右（易错点）平移1个单位。选C.也可用排除法.
4.当m为何值时,关于x的方程|log2(x-1)|=m无解 有一个解 有两个解
解：由图象得:
当m<0时,方程无解;
当m=0时,方程有一个解;
当m>0时,方程有两个解.
1.函数y=log2x的图象和性质
2.图象拓展
数学素养：感悟数学抽象的过程,体会数学直观在解决数学问题中的应用.

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