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12.2 因式分解的方法(二)
主讲：
沪教版（2024）七年级数学上册
第12章 因式分解
学习目标
目标
1
（1）会用平方差公式、完全平方公式进行因式分解；
（2）经历探索利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解的过程，发展逆向思维，渗透数学的“互逆”、“换元”、“整体”的思想，感受数学知识点完整性。
重点
2
掌握公式法中的平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
难点
3
灵活运用公式法进行因式分解，正确判断因式分解的彻底性。
新课导入
平方差公式：(a-b)(a+b)=
完全平方公式：(a+b)2=
a2-b2
a2-2ab+b2
新课讲授
a2-b2有什么特征？
由平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2，可得
a2-b2=(a-b)(a+b)
这就将a2-b2分解成两个整式的积．
新课讲授
平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解．如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解.
典例分析
例3 因式分解:
(1)1-9x2;
(2)-4x2+y2;
(3)916a2-b2;
?
解：
(4)(a+b)2-(a+c)2.
(1)1-9x2
=1-(3x)2
=(1+3x)(1-3x)
(2)-4x2+y2
=y2-(2x)2
=(y+2x)(y-2x)
(3)916a2-b2
=(34a)2-b2
=(34a+b)(34a-b)
?
(4)(a+b)2-(a+c)2
=[(a+b)+(a+c)][(a+b)-(a+c)]
=(2a+b+c)(b-c)
典例分析
例4 因式分解:
(1)3x3-12x;
(2)x4-81.
解：
(1)3x3-12x
=3x(x2-4)
=3x(x+2)(x-2)
(2)x4-81
=(x2)2-92
=(x2+9)(x2-9)
=(x2+9)(x+3)(x-3)
学以致用
基础巩固题
1.（口答）下列整式能用平方差公式因式分解吗？为什么？
(1)4+a2；
(2)4-a2；
(3)-4+a2;
解：
(4)-4-a2.
(1)4+a2不能用平方差公式因式分解；
(2)4-a2能用平方差公式因式分解；
(3)-4+a2能用平方差公式因式分解；
(4)-4-a2不能用平方差公式因式分解.
学以致用
基础巩固题
2.因式分解：
(1)x2-16；
(2)x2-425y2；
?
(3)9a2b2-81a2;
解：
(4)a2(a-b)+b2(b-a).
(1)x2-16
=x2-42
=(x+4)(x-4)
(2)x2-425y2；
=x2-(25y)2
=(x+25)(x-25)
?
学以致用
基础巩固题
2.因式分解：
(1)x2-16；
(2)x2-425y2；
?
(3)9a2b2-81a2;
解：
(4)a2(a-b)+b2(b-a).
(3)9a2b2-81a2
=9a2(b2-9)
=9a2(b2-32)
=9a2(b+3)(b-3)
(4)a2(a-b)+b2(b-a)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)(a+b)(a-b)
学以致用
基础巩固题
3.如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别为R和r.
(1)用含R和r的代数式表示圆环的面积;
(2)如果R=5.5，r=1.5,求圆环的面积(π取3.14).
解：
(1)S=πR2-πr2
(2)S=πR2-πr2
=3.14×(5.52-1.52)
=3.14×(5.5+1.5)×(5.5-1.5)
=3.14×7×4
=87.92
新课讲授
a2+2ab+b2、a2-2ab+b2有什么特征？
由完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，可得
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就将a2+2ab+b2与a2-2ab+b2分解成两个相同的整式的积．
新课讲授
完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解．如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解．
典例分析
例5 因式分解:
(1)9x2-12x+4;
(2)4x2+20x+25;
(3)-a2+4ab-4b2;
(4)x2y2-23xy+19.
?
分析 用完全平方公式因式分解时，关键在于判断这个整式是否符合完全平方公式的特征．例如，在(1)中，9x2=(3x)2,4=22,-12x=-2·(3x)·2,所以9x2-12x+4可以用该方法因式分解，即
典例分析
例5 因式分解:
(1)9x2-12x+4;
(2)4x2+20x+25;
解：
(3)-a2+4ab-4b2;
(4)x2y2-23xy+19.
?
(1)9x2-12x+4
=(3x)2-2·(3x)·2+22
=(3x-2)2
(2)4x2+20x+25
=(2x)2+2·(2x)·5+52
=(2x+5)2
(3)-a2+4ab-4b2
=-(a2-4ab+4b2)
=-[a2-2·a·(2b)+(2b)2
=-(a-2b)2
(4)x2y2-23xy+19
=(xy)2-2·(xy)·13+(13)2
=(xy-13)2
?
典例分析
例6 因式分解:
(1)2ax2-12axy+18ay2;
(2)(x+y)2+8(x+y)+16.
解：
(1)2ax2-12axy+18ay2;
=2a(x2-6xy+9y2)
=2a(x-3y)2
(2)(x+y)2+8(x+y)+16
=(x+y)2+2·(x+y)·4+42
=(x+y+4)2
新课讲授
根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法.
课堂小结
1
平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解．如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解.
2
完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解．如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解．
学以致用
基础巩固题
1.（口答）下列整式能用完全平方公式因式分解吗?为什么？
(1)a2+4a+16;
(2)4x2+4x-1;
解：
(3)9b2-24b+16;
(4)-x2-10x-25.
(1)a2+4a+16不能用完全平方公式因式分解；
(2)4x2+4x-1不能用完全平方公式因式分解；
(3)9b2-24b+16能用完全平方公式因式分解；
(4)-x2-10x-25能用完全平方公式因式分解.
学以致用
基础巩固题
2.因式分解：
(1)4a2+12a+9;
(2)m2+m+14;
?
(3)x2-16xy+64y2;
(4)-m2n2+8mn-16.
解：
(1)4a2+12a+9
=(2a)2+2·(2a)·3+32
=(2a+3)2
(2)m2+m+14
=m2+2·m·12+(12)2
=(m+12)2
?
学以致用
基础巩固题
2.因式分解：
(1)4a2+12a+9;
(2)m2+m+14;
?
(3)x2-16xy+64y2;
(4)-m2n2+8mn-16.
解：
(3)x2-16xy+64y2
=x2-2·x·(8y)+(8y)2
=(x-8y)2
(4)-m2n2+8mn-16
=-(m2n2-8mn+16)
=-[(mn)2-2·mn·4+42]
=-(mn-4)2
学以致用
基础巩固题
3.因式分解：
(1)8ax2+16a2x+8a3;
(2)(2x-y)2-10(2x-y)+25.
解：
(1)8ax2+16a2x+8a3
=8a(x2+2ax+a2)
=8a(x+a)2
(2)(2x-y)2-10(2x-y)+25
=(2x-y)2-2·(2x-y)·5+52
=(2x-y-5)2
主讲：
沪教版（2024）七年级数学上册
感谢聆听

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