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2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考
高一数学
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
一、单项选择题：本题共８小题，每小题5分，共４０分。
1．已知全集，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y1（万件），市场供应量y2（万件）与市场价格x（百元/件）分别近似地满足下列关系：，，当时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（ ）
A．6百元 B．8百元 C．9百元 D．18百元
3．设表示不超过的最大整数，对任意实数，下面式子正确的是（ ）
A．= |x| B．≥ C．> D．>
4．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为奇函数
C． D．的周期为3
7．函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若有且仅有两个整数、使得，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共１８分。
9．下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“”的否定是“，使得”
D．设函数的导数为，则“”是“在处取得极值”的充要条件
10．若函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为偶函数
C．的图象关于点对称 D．
11．已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有3个零点
三、填空题：本大题共３小题，没小题５分，共15分。
12．设函数，若为奇函数，则 .
13．=
14．设m为实数，若，则m的最大值是 ．
四、解答题：本题共５小题，共77分。
15．（本题13分）阅读下面题目及其解答过程．
已知函数，
（1）求f（－2）与f（2）的值；
（2）求f(x)的最大值．
解：（1）因为－2＜0，所以f（－2）＝ ① ．
因为2＞0，所以f（2）＝ ② ．
（2）因为x≤0时，有f(x)＝x＋3≤3，
而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值为 ③ ．
又因为x＞0时，有，
而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值为1．
综上，f(x)的最大值为 ⑤ ．
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．
空格序号 选项
① A．（－2）＋3＝1 B．
② A．2＋3＝5 　　 B．
③ A．3 　　　　　 B．0
④ A．f（1）＝1 　　　 B．f（1）＝0
⑤ A．1 　　　　　B．3
16．（本题15分）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍．
(1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式；
(2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．
17．（本题15分）已知定义在上的奇函数f（x）满足：时，.
(1)求的表达式；
(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
18．（本题17分）已知，且．
（1）请给出的一组值，使得成立；
（2）证明不等式恒成立．
19．（本题17分）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．
（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）
（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）
（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考
高一数学参考答案
1．C
2．C
3．D
4．B
5．C
6．C
7．C
8．A
9．AB
10．BCD
11．AB
12．-1
13．
14．
15．（1）①A ； ②B；（2）③A ； ④A ； ⑤B．
16．(1)
(2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150.
17．(1)
(2)
18．解析:（1）（答案不唯一）
（2）证明:由题意可知,,因为,所以.
所以,即.
因为,所以,
因为,所以,
所以.
19．（1），，，．
（2）设，其中，
则由题意：，故，即，
考虑，可知：，或，
若，则考虑，
，，则，
，但此时，，不满足题意；
若，此时，满足题意，
，其中为相异正整数．
（3）记，则，
首先，，设，其中，
分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中，
而，，
，
对于，考虑，，其和大于，故其差，
特别的，，，
由，且，，
以此类推：，
，此时，
故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．
答案第1页，共2页

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