资源简介

《坐标系与参数方程》考查模式与专题应试策略
一、考查模式
1、解答题：题序——第23题（Ⅰ）（Ⅱ）、分值——10分
2、新课标Ⅰ卷文、理科同题
新课标Ⅱ卷文、理科同题
新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷不同
3、知识点的考查
全国高考新课标卷《坐标系与参数方程》主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；常见曲线（直线、圆、椭圆）的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．
考查内容
2015新课标Ⅰ卷
1.直线和圆的直角坐标方程化为极坐标方程；
2.弦长（直线与圆）．
2015新课标Ⅱ卷
1.圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
2. .直线和圆的交点，圆与圆交点；
3.直线的参数方程化为极坐标方程；
4.两点间的距离（极坐标）．
2014新课标Ⅰ卷
1.直线的参数方程化为普通方程；
2.椭圆的普通方程化为参数方程；
3.椭圆的参数方程的应用；
4.点到直线的距离．
2014新课标Ⅱ卷
1.圆的极坐标方程化为参数方程；
2.直线与圆的交点的坐标．
2013新课标Ⅰ卷
1.圆的参数方程化为普通方程；
2.圆的直角坐标方程化为极坐标方程；
3.圆与圆交点．
2013新课标Ⅱ卷
1.圆的参数方程；
2.求轨迹的参数方程；
3.曲线是否过原点．
2012新课标卷
1.极坐标化为直角坐标；
2.椭圆的参数方程的应用；
3.两点间的距离（直角坐标）．
2011新课标卷
1.求轨迹的参数方程；
2.圆的参数方程化为极坐标方程；
3.两点间的距离（极坐标）．
2010新课标卷
1.直线的参数方程化为普通方程；
2.圆的参数方程化为普通方程；
3.直线与圆的交点；
4.求轨迹的参数方程．
2009新课标卷
1.圆的参数方程化为普通方程；
2.椭圆的参数方程化为普通方程；
3.直线的参数方程化为普通方程；
4. 点到直线的距离．
2008新课标卷
1. 直线的参数方程化为普通方程；
2. 圆的参数方程化为普通方程；
3.直线与圆的位置关系（点到直线的距离）；
4. 伸缩变换；
5. 直线与椭圆的位置关系（方程）．
2007新课标卷
1.圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
2.圆与圆交点．
（1）考查化归与转化的思想
①极坐标方程与直角坐标方程的互化
②参数方程与普通方程的互化
③极坐标方程与参数方程的互化
2015
新课标Ⅰ卷
直角坐标方程极坐标方程
2015
新课标Ⅱ卷
极坐标方程直角坐标方程
参数方程极坐标方程
（为参数，，）
（，，）
2014
新课标Ⅰ卷
普通方程参数方程
参数方程普通方程
（为参数）
（为参数）
2014
新课标Ⅱ卷
极坐标方程直角坐标方程（普通方程）参数方程
，（）
（为参数，）
2013
新课标Ⅰ卷
参数方程普通方程（直角坐标方程）极坐标方程
(为参数）
2013
新课标Ⅱ卷
2012新课标卷
极坐标直角坐标
点的极坐标为，
点的直角坐标为
．
2011新课标卷
参数方程极坐标方程
为参数）
（为参数）
2010新课标卷
参数方程普通方程
（t为参数）
（为参数）
（为参数）
2009新课标卷
参数方程普通方程
（t为参数）
（为参数）
（t为参数）
2008新课标卷
参数方程普通方程
（为参数）
（t为参数）
（为参数）
（t为参数）
2007新课标卷
极坐标方程直角坐标方程
．
（2）考查数形结合的思想
2015新课标Ⅰ卷
2014新课标Ⅰ卷
2014新课标Ⅱ卷
（3）重点考查圆的极坐标方程、圆的参数方程（2014新课标Ⅰ卷、2009新课标卷考查椭圆，2008、2012新课标卷考查圆与椭圆）
（4）考查伸缩变换
2011新课标卷
2008新课标卷
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求的方程；
已知曲线：（为参数），
曲线：（t为参数）．
（Ⅱ）若把，上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，．写出，的参数方程．与公共点的个数和与公共点的个数是否相同？说明你的理由．
（Ⅱ）的普通方程为
．
点坐标为，
故当变化时，点轨迹的参数方程为
（为参数），
点轨迹的普通方程为，
故点轨迹是圆心为，半径为的圆．
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
：（为参数）；
：（t为参数）．
化为普通方程为：：，
：，
联立消元得，
其判别式，
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
（5）考查轨迹的参数方程
2013新课标Ⅱ卷
2011新课标卷
2010新课标卷
已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，，为的中点．
（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求的方程；
已知直线：（t为参数），圆：（为参数）．
（Ⅱ）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
（Ⅰ）依题意有
，
，
因此
．
的轨迹的参数方程为
（为参数，）．
（Ⅰ）设，则由条件知．由于点在上，
所以

即 ，
从而的参数方程为
（为参数）．
（Ⅱ）的普通方程为
．
直线的方程为
，
由，得点坐标为
，
故当变化时，点轨迹的参数方程为（为参数），
点轨迹的普通方程为
，
故点轨迹是圆心为，半径为的圆．
（6）考查极坐标系下两点间距离
2015新课标Ⅰ卷
2015新课标Ⅱ卷
2011新课标卷
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为（），设与的交点为,，求△的面积．?
（Ⅱ）若与相交于点，与相交于点，求的最大值．
（Ⅱ）射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．
（Ⅱ）将代入
，得，
解得=，=，
，
因为的半径为1，
则△的面积为
=．
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为 （，），其中．
的极坐标为，
的极坐标为，
，
当时，取得最大值，最大值为4．
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程为
．
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为．
所以．
（7）未涉及直线的参数方程中参数几何意义
二、二轮复习的专题应试策略
2003年4月，我国颁布了由国家教育部制订的《普通高中数学课程标准（实验）》以下简称《课程标准》，《课程标准》依据“构建共同基础，提供发展平台；提供多样课程，适应个性选择”等十条基本理念，螺旋上升地在必修与选修模块中设置了解析几何内容．《课程标准》建构的解析几何课程体系，是以坐标法为核心，依据“直线与方程-----圆与方程----圆锥曲线与方程---坐标系与参数方程”为顺序，螺旋上升、循序渐进地展开内容。作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，《课程标准》再一次将坐标系与参数方程作为高中数学数学学习内容，以专题“坐标系与参数方程”列入高中数学选修课（任选），体现了新课程重视数学的整体性以及部分内容中学与大学学习内容相互衔接和融合的原则．
新课标全国卷把对《参数方程和极坐标》的内容考查作为解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化的主旨不变．整体难度不大．学生复习时对试题难度的把握一定要恰当，不宜深挖，力求基础扎实，复习时紧扣大纲要求，不做偏题难题．抓好基础概念、定理、公式等基础知识的复习，强调数学思想方法，关注数学思维活动，提高学生认知水平．
新课标全国卷把对《参数方程和极坐标》的内容考查比福建卷要求高，考查也比较全面，较多关注在普通方程条件下不易解决的问题，较多体现参数方程及极坐标方程在某种情形下的优势．
《福建省2016届高三毕业班数学学科教学指导意见》——————
《坐标系与参数方程》重点考查两种坐标的关系与互化，普通方程与参数方程的关系与互化，简单图形的极坐标方程，直线、圆和椭圆的参数方程的应用．复习中，
一要能够选择参数写出直线、圆与椭圆的参数方程并了解参数的意义，会用直线、圆与椭圆的参数方程解决简单的问题；
二要能够在极坐标系中用极坐标表示点的位置及有关曲线的方程，能进行极坐标和直角坐标的互化；
三要关注参数方程和极坐标方程在某些情景下解题的优越性，会解决在普通方程下不易解决的问题．
1．研读《考试大纲》和《考试说明》
2016 年全国新课标数学学科《考试大纲》和《考试说明》文理科和 2015年对比，在内容、能力要求、时间、分值（含选修比例）、题型题量、包括考试说明后面的题型示例等几个方面都没有发生变化，这是新的高考模式出台前高考稳定的表现．
《考试大纲》
《考试说明》
（1）坐标系
①理解坐标系的作用．
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
④能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．
⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．
（2）参数方程
①了解参数方程，了解参数的意义．
②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．
③了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．
④了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆 线在表示行星运动轨道中的作用．
（1）了解坐标系的作用，
了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
（2）了解极坐标系的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
（3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
（4）了解参数方程，了解参数的意义．
（5）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
题型示例1
题型示例2
已知圆锥曲线 （为参数）和
定点，、是圆锥曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）求经过点垂直于直线的直线的参数方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
和的极坐标方程分别为
．
（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
（Ⅰ）圆锥曲线 （为参数）
化为普通方程．
所以、，
直线的斜率，
于是经过点垂直于直线的直线的斜率，直线的倾斜角是，
所以直线的参数方程是（为参数），即（为参数）．
以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，
由得．
所以．
即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
（Ⅱ）解法一：直线的斜率，
直线的倾斜角是，
设是直线上任一点，则
，
，
直线的极坐标方程为
．
解法二：直线的直角坐标方程是，将代入上式，
得直线的极坐标方程为，即 ．
（Ⅱ）解法一： 由解得
，．
即，交于点和．
过交点的直线的直角坐标方程为．
解法二：由，
（1）-（2）得，
过交点的直线的直角坐标方程为．
2．研究高考真题
《坐标系与参数方程》是新课标新增内容,是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化.从2007年到至今已经走过整整九年的考试历程，为了更好地服务于高三教学备考，还必须从历年的全国卷真题去研究和总结，研究它的命题规律，深刻理解全国卷的命题的思路和思想，把握命题动向.
3．回归课本
高考命题“源于课本，高于课本”是一条不变的“真理”， 高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也很少考查课本上的原题，考察九年《坐标系与参数方程》考题，分析对比，不难发现许多题目都能在课本上找到它的“影子”，大多数试题的产生都是以课本中的例习题、探究和思考为源题，进行引申、拓宽和变化的结果．
复习应回归课本，讲清概念的根和源，领会课本中各知识点的内在联系，揭示问题的实质，特别是所蕴含的思想方法这条暗线，应注重知识整体结构，形成知识网络，加强学生对核心概念与核心数学思想的理解与掌握，达到增强知识理解、培养数学思维能力的目的．
回归课本时要有意将必修2中《直线与圆方程》一章的例习题以极坐标或参数“包装”后，重新审视新情景下所设置的问题如何作答，教师的功夫花在组合、加工课本题，使其与高考题充分的“逼真”.
（1）夯实基础
过极点的直线的极坐标方程
2015新课标Ⅰ卷：直线的极坐标方程为（）；2011新课标卷：射线
圆心在极点的圆或过极点的圆的极坐标方程
2012新课标卷：曲线的极坐标方程是
2015新课标Ⅱ卷：：
2014新课标Ⅱ卷：半圆的极坐标方程为，
2007新课标卷考试说明题型示例：极坐标方程为
2013新课标Ⅰ卷、2015新课标Ⅱ卷：曲线：
2007新课标卷考试说明题型示例： 的极坐标方程分别为
（2）典型例题、习题的复习
（2012新课标卷）已知曲线的参数方程是为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．正方形的顶点都在上，且，，，依逆时针次序排列，点的极坐标为．
（Ⅰ）求点的直角坐标；
（Ⅱ）设为上任意一点，求的取值范围．
解（Ⅰ）点的极坐标为，
点的直角坐标为．
（Ⅱ）设，则（）．

．
∵，∴的取值范围是．
2014新课标Ⅰ卷
2009新课标卷
（Ⅱ）在曲线上任取一点，到的距离
，
，
其中，．
当时，取得最大值，最大值为；
当时，取得最小值，最小值为．
（Ⅱ）当时，、，故．
为直线，到的距离
，
其中，．
当（）时，取得最小值．
（3）数学思想方法
坐标法
化归与转化的思想
数形结合的思想
（4）理解和掌握基本考点
考点1：伸缩变换
考点2：简单图形的极坐标方程：过极点的直线、圆心在极点的圆或过极点的圆
考点3：极坐标方程与直角坐标方程的互化，判断曲线类型
考点4：极坐标方程中、的几何意义，会用的几何意义解决有关距离问题
考点5：直线、圆、椭圆（中心在原点）的参数方程
考点6：参数方程与普通方程的互化，判断曲线类型
考点6：直线、圆、椭圆（中心在原点）的参数方程（设曲线上点的坐标）
考点7：求轨迹的参数方程
考点8：极坐标方程与曲线的参数方程的互化
考点9：直线参数方程（为参数）中参数的几何意义
在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．
4．渗透化归与转化的思想
知识无论新旧，重要的是理解和转化．点的极坐标与直角坐标的互化，曲线的参数方程和普通方程的互化，是做好题目的关键，需多加练习．
以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系．
考试说明题型示例（题目）
以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
考试说明题型示例（参考答案）
（1）极坐标方程与直角坐标方程的互化
（2007新课标 题型示例）和的极坐标方程分别为．
（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，由得．所以．
即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
（Ⅱ）解法一 由解得，．
即，交于点和．
过交点的直线的直角坐标方程为．
解法二 由，（1）-（2）得，
过交点的直线的直角坐标方程为．
（2）参数方程与普通方程的互化（关注转化的等价性）
（3）极坐标方程与参数方程的互化
2015新课标Ⅱ卷
：（为参数，）其中 （，），其中
“关注参数方程和极坐标方程在某些情景下解题的优越性，会解决在普通方程下不易解决的问题．”——《福建省2016届高三毕业班数学学科教学指导意见》
（2014新课标Ⅰ卷）已知曲线：，直线：（为参数）．
（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，
求的最大值与最小值．
解（Ⅰ）曲线的参数方程为：（为参数），
直线的普通方程为：．
（Ⅱ）在曲线上任取一点，到的距离为，
则，其中，．
当时，取得最大值，最大值为；
当时，取得最小值，最小值为．
2015新课标Ⅰ
2015新课标Ⅱ
2013新课标Ⅰ
（Ⅱ）将代入
，得，
解得=，=，
－=，
因为的半径为1，
则△的面积为
=．
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为 （，），其中．
的极坐标为，
的极坐标为
，
．
当时，取得最大值，最大值为4．
（Ⅱ）将代入
，得，化简得，
所以或，
又，可得
，
所以与的交点的极坐标分别为
（），．
5．渗透数形结合的思想
2015新课标Ⅰ卷
2014新课标Ⅰ卷
2014新课标Ⅱ卷
（Ⅱ）解法一：将代入
，
得，
解得=，=，
－=，
因为的半径为1，
则△的面积为
=．
（Ⅱ）在曲线上任取一点，
到的距离为
，
，
其中，．
当时，
取得最大值，最大值为；
当时，
取得最小值，最小值为．
（Ⅱ）设．
由（I）知是以为圆心，1为半径的上半圆．
因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同， ，．
故的直角坐标为
，
即．
6．由于《极坐标与参数方程》是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，因此应从数学学科知识的整体性的角度进行《坐标系与参数方程》的复习．
（1）直线与圆
（2）三角函数
（3）解三角形
如辅助角公式：，其中，．
2014新课标Ⅰ卷
题型示例
已知曲线：，直线：（为参数）．
（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值．
已知圆锥曲线 （为参数）和定点，、是圆锥曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）求经过点垂直于直线的直线的参数方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．
（Ⅱ）在曲线上任取一点，到的距离为，
则，
其中，．
当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为．
直线的斜率，直线的倾斜角是，
设是直线上任一点，则，
，
直线的极坐标方程为
．
7．强化训练
（1）精选习题
新课标Ⅰ卷
新课标Ⅱ卷
福建理
2015
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为（），设与的交点为,，求△的面积．?
（Ⅰ）求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）若与相交于点，与相交于点，求的最大值．
（Ⅰ）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心到直线的距离等于2，求的值．（没有涉及选修4-4知识的考查）
2014
（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值．
（Ⅰ）求的参数方程；
（Ⅱ）设点在上，在处的切线与直线：垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定的坐标．
（Ⅰ）求直线和圆的普通方程；
（Ⅱ）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围．（没有涉及选修4-4知识的考查）
（2）优化解题思维
高考是在限定的时间内完成限定的内容，解题思路要优化选择，解题方法要简捷途径，解题过程要最佳方案，解题失误要最小化，这就要在平时的练习过程中注意通过一题多解找最优解，使解题思维具有灵活性、流畅性、深刻性．
（3）重视解题规范的培养
由于高考评分参考答案标准较为简洁，学生书写要做到说清问题，表达有条理，根据所问问题写出关键步骤即可．
2016年福建省普通高中毕业班单科质量检查
理科数学评分细节说明
（23）（Ⅰ）只要能正确得到“曲线的普通方程为“， 即给3分；
只要能正确得到“曲线的极坐标方程为”， 即给2分；不考虑“过程分”．
8．考试技巧
（1）模拟训练
高考要求学生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
（2）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．合理、简洁、准确
（3）如果学生学习坐标系与参数方程，建议选择“（23）坐标系与参数方程”，因为该题较易得满分．
（4）极坐标与参数方程单就考查内容来说，一般是直线、圆、椭圆的三种方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的互化；利用参数方程、极坐标方程的特点优化交点坐标的求解、线段长度的计算等，难度一般不太大，要让学生树立信心拿满分．
（5）“（23）坐标系与参数方程”应视为解答题的第一题，要让学生在模拟考试、质量检查、高考中在完成选择题、填空题后进行解答．

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