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(共17张PPT)
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握两点间的距离公式并会应用.
2.会用坐标法证明简单的平面几何问题.
新课导入
我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的. 所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.
P1(x1，y1)
P2(x2，y2)
x
y
o
P2(x2，y2)
问题 1：如图，已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2间的距离| P1P2 |
(1) x1≠x2，y1=y2
(2) x1 = x2，y1 ≠ y2
(3) x1 ≠ x2，y1 ≠ y2
|P1P2|=
|P1P2|= |x2－x1|
|P1P2|= |y2－y1|
可以用平面向量的知识来解决
新课讲授
O
y
x
P1(x1，y1)


P2(x2，y2)
如图，由点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，得
由此得到P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为
①特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离为
追问：你还有其它推导两点间的距离公式的方法吗？
如图，以P1P2为斜边构造一个Rt△P1P2Q，则点Q的坐标为
O
y
x
P1(x1，y1)


P2(x2，y2)
Q
(x2，y1)
(x2，y1).
由勾股定理得
∴平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为
②已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得
例1 如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，-4).
(1)试判断△ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长.
例1 如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，-4).
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长.
练1.已知A(a，2)，B(－2，－3)，C(1，6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
A
证：如图，四边形ABCD是平行四边形.
以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
在 ABCD中，点A的坐标是(0，0)，
设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，
由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c).
由两点间的距离公式，得|AC|2＝(a＋b)2＋c2，
|BD|2＝(b－a)2＋c2，|AB|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2.
例2 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
∴|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2.
∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
例2 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
练2.已知ABCD是一个长方形，且M是ABCD所在平面上任意一个点，
求证：AM2+CM2=BM2+DM2.
证：设长方形长为2m，宽为2n.以长方形ABCD的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(-m，n)，B(m，n)，C(m，-n)，D(-m，-n).
设M(x，y)，则|AM|2=(x+m)2+(y-n)2，
|CM|2=(x-m)2+(y+n)2，|BM|2=(x-m)2+(y-n)2，
|DM|2=(x+m)2+(y+n)2，
所以|AM|2+|CM|2=2x2+2m2+2y2+2n2，|BM|2+|DM|2=2x2+2m2+2y2+2n2，
所以AM2+CM2=BM2+DM2.
例3 已知平面上两点A(4，1)和B(0，4)，在直线l:3x-y-1=0上存在一点M.
(1)当|MA|-|MB|取最大值时，求M的坐标，并求|MA|-|MB|；
(2)当|MA|+|MB|取最小值时，求M的坐标，并求|MA|+|MB|.
解：(1)设C(m，n)为B关于直线l的对称点，则BC的中点(，)在直线l上，
∴，解得，
∴C(3，3).
∵|MB|=|MC|，∴|MA|-|MB|=||MA|-|MC||≤|AC|，
要使||MA|-|MB||最大，只需A，C，M三点共线，此时直线AC的方程为，
化一般式方程为2x+y-9=0，
由解得，∴M(2，5)，
此时|MA|-|MB|max=|AC|=.
(2)如图，要使|MA|+|MB|取最小值，只要A，B，M共线，
连接AB，交直线l于点M，此时|MA|+|MB|取最小值，
直线AB的方程为，化为3x+4y-16=0，
由解得，∴M(，3)，
此时|MA|+|MB|min=|AB|=.
练3.已知点A(3，-1)，B(5，-2)，且点P在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取得最小值，则点P的坐标为(　　)
A
课堂总结
2.用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数计算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
1.平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为
当堂检测
1.已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　)
A
2.已知两点A(-2，3)，B(3，2)，点C在x轴上，则|CA|+|CB|的最小值为(　　)
B
3.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　)
C

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