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第4章
4.1.1 有理数指数幂
1.通过对有理指数幂 (a>0,m,n∈N且n≥2)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.(数学抽象)
2.通过对实数指数幂au(a>0,且u∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.(数学抽象)
3.掌握指数幂的运算性质.(数学运算)
试一试：一张纸最多可以对折多少次？
尝试之后可以发现，无论怎样努力，也不能令第八次折得上去
1次
2次
n次
可见纸的厚度随着对折的次数成倍增加，而面积成倍减少。再加上纸本身的张力，将一张纸对折九次比将512张纸对折要更困难。
思考：这种成倍的变化应当以怎样的数学形式呈现呢？
第一次对折厚度为2,面积为0.5
第二次对折厚度为4,面积为0.25
第三次对折厚度为8,面积为0.125
第八次对折厚度为256,面积为0.00390625
1．a的n次方根定义
若一个(实)数x的n次方(n∈N，且n≥2)等于a，即________．则称x是a的n次方根．
xn＝a
知识点一　根式及相关概念
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根 的表示符号 a的取值范围
n为奇数 ________ a∈R
n为偶数 ________ ________
3.根式：式子 叫做根式，n叫做 ，a叫做__________．
(0，＋∞)
根指数
被开方数
归纳
(1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn ＝a，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a.
(2)n次方根实际上就是平方根与立方根的推广．
(3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算．
知识点二　根式的性质
根式的性质是化简根式的重要依据
(1)________没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝________．
(3)＝________(n∈N*，且n＞1).
(4)＝a(n为大于1的奇数).
负数
0
a
a
－a
　与的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a.
当n为奇数时， ＝a；当n为偶数时， ＝|a |＝
(2)是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，再乘方(都是n次)，结果恒等于a.
知识点三　分数指数幂
分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 规定：＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数 指数幂 规定：＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
性质 0的正分数指数幂等于__________，0的负分数指数幂__________
0
无意义
归纳　
分数指数幂是根式的一种表示形式，即＝，分数指数不能随意约分，如约分后为＝，而在实数范围内是无意义的．
题型1　根式的化简与求值
例1　(1)化简＋的结果是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．1 B．2a－1
C．1或2a－1 D．0
答案：(1)C　(2)见解析
(2)计算下列各式
①＋；
②＋；
③ ＋.
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
题型2　根式与分数指数幂的互化
例2　(1)将分数指数幂(a＞0)化为根式为________．
(2)化简：(a2·)÷(·)＝________．(用分数指数幂表示)
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．
① a3·.
② (a＞0，b＞0).
答案：(1)　(2)　(3)①②
题型3　指数幂的化简与求值
例3 (1)化简：
①·(－3)÷ ()；
②()8；
③(－)÷.
解析：(1)①原式＝(-3)×＝－9a.
②()8＝
＝m2n－3
＝；
③ (－)÷＝÷
＝÷－÷
＝－
＝－a
＝－a.
(2)求值：
①＋2－2×－0.010.5；
②－＋＋16－0.75＋
解析：(2)①原式＝1＋×－＝1＋－＝；
②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝－1＋＋＋＝.
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
1．将化为分数指数幂，其形式是(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：B
解析： = === -
2．已知m＜，则化简的结果为(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：C
解析：∵m<，∴3m－2<0，排除A，B，
又(3m－2)2>0，所以为正，所以选C.
3.(1)计算：(－1.8)0＋·－＋；
(2)化简：(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c).
答案：(1)19　(2) －
解析：(1)原式＝1＋·－10＋＝1＋·－10＋27＝29－10＝19.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－.
有理数指数幂
根式
整数指数幂
分数指数幂
定义
性质
运算法则

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