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专题26.1.2反比例函数的图像与性质（三）六大题型（一课一讲）
【人教版】
题型一：反比例函数综合之交点问题
【经典例题1】如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，点，点B是线段的中点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出当x取什么值时，．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等．
（1）把点的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作轴于，证明得的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得的坐标，然后根据即可求得的面积；
（3）根据图象即可求得时，自变量的取值范围．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
；
如图，作轴于，则，
，
∴，，
∵点是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，
、在的图象上，
，
解得，，
一次函数的解析式为；
（2）解：由，
解得或，
，
；
（3）解：∵与交于，两点，
∴由图可得，当或时，．
【变式训练1-1】关于x的一次函数和反比例函数的图象都经过点．求：
(1)一次函数和反比例函数的解析式；
(2)两函数图象的另一个交点B的坐标；
(3) AOB的面积．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）分别把点A坐标代入两个函数解析式中利用待定系数法求解即可；
（2）联立两函数解析式求出对应的交点坐标即可；
（3）设一次函数与x轴交于C，则，根据进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立，解得或，
∴；
（3）解；设一次函数与x轴交于C，则，
∴，
∴．
【变式训练1-2】如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当时自变量的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入中得：，
解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得：，
∴，
把，代入中得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴当时自变量的取值范围或．
【变式训练1-3】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
(2)不等式的解集为或．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
（1）将点A，点B坐标代入反比例函数解析式可求n的值，用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据函数图象可求不等式的解集．
【详解】（1）解：∵反比例函数图象点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴点，
根据题意得：，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：观察图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即，
所以不等式的解集为：或．
【变式训练1-4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，，根据，得到，解得，据此求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可．
【详解】（1）解：把点代入得，，解得，
反比例函数的表达式为，
把点，点代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：设，
平行于轴，
，
，
，
，解得，
，
点的纵坐标为，
把代入得，解得，
点的坐标为．
【变式训练1-5】如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)或．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数等知识．
（1）先用待定系数法求出反比例函数解析式， 再求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可．
（2）根据一次函数与反比例函数的图象即可得出答案．
【详解】（1）解：将代入．
当时，
将，代入
（2）由图象得，当或时，，
关于的不等式的解集为或．
题型二：反比例函数综合之面积问题
【经典例题2】如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求三角形的面积；
(3)根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为
(2)6
(3)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键．
（1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可；
（2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解；
（3）直接观察函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得：
，解得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴点，
把点，代入，得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图，设直线与x轴交于点C，
对于，当时，，
解得：，
∴点，
∴，
∵点，，
∴；
（3）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方，
∴关于x的不等式的解集为或．
【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集．
(3)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标；
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数和反比例函数的图象和性质．
（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法，即可得出反比例函数解析式；
（2）联立反比例函数解析式和一次函数解析式，求出点A的坐标，根据图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时，自变量的取值范围即可；
（3）先求出，则，得出点P的纵坐标，即可解答．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立反比例函数解析式和一次函数解析式得：
，
解得：，，
∴，
由图可知，当或时，；
（3）解：把代入，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则或，
当时，，
当时，，
综上：或．
【变式训练2-2】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式及 AOB的面积；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于 AOB的面积的3倍，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；4
(2)或
(3)或或或
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；
（1）分别把点A、B代入反比例函数解析式求出m、n的值，然后根据待定系数法可进行求解；
（2）根据图象可直接进行求解；
（3）由题意易得，然后可分当点P在x轴上和在y轴上，进而分类求解即可
【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于
两点．
将A与坐标代入反比例解析式得：，
，
代入一次函数解析式得：，
解得：，
一次函数的解析式为，
直线与轴、轴的交点坐标为，
；
（2）解：，
观察图象可知，不等式的解集是或．
（3）解：，
，
设，即，
，
解得：或，
则、，
同理可得、，
∴点P的坐标为或或或．
【变式训练2-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集：______；
(3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集．
（1）利用一次函数求出，问题随之得解；
（2）反比例函数值大于等于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可；
（3）设，先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解．
【详解】（1）解：函数的图象经过，
，解得：，
，
，
反比例函数表达式为：；
（2）解：函数的图象经过，
，
，
由图可得，不等式的解集是：或；
（3）解：设，
如图：
在中， 当时，得，
解得：，
，
，
，，
，
解得：或，
点P的坐标为或．
【变式训练2-4】如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，两点．
(1)求m，n的值；
(2)点E是轴上一点，且，求点的坐标；
【答案】(1)，
(2)或．
【分析】本题考查了反比例函数与-次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力．
（1）把点代入中，求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把代入求得的解析式，即可求得m的值；
（2）根据待定系数法即可求得直线的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据求得的面积，设E点的坐标为，根据得到关于的方程，解方程求得，从而求得E点的坐标．
【详解】（1）解：把点，代入中，得：，
反比例函数的解析式为，
将点代入得
；
（2）如图，设直线与y轴的交点为D，
设直线的表达式为，
把，代入得，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
D点的坐标为，
，
设E点的坐标为，
∵，
，
解得：，
E点的坐标为或．
【变式训练2-5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的函数表达式；
(2)过点作轴，垂足为．
①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值；
②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及 BDE的面积．
【答案】(1)，
(2)①；②，
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，待定系数法和数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①求出点坐标为，设直线的函数表达式为由直线经过点，代入即可求出的值；②求出直线的解析式，得到点坐标为，点坐标为，进一步即可求出答案．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
得
∴反比例函数表达式为
点在反比例函数的图象上，
，得
∴点坐标为
点，点都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数表达式为；
（2）①由（1）得点坐标为，
根据题意，点坐标为，
点在轴正半轴上，且，
点坐标为，
设直线的函数表达式为
∵直线经过点，
，得；
②设直线，根据题意得
解得
∴，
当时，，
点坐标为，
当时，
∴点坐标为，
∴的面积．
题型三：反比例函数综合之最值问题
【经典例题3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题；
（1）依据题意，由，在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合，与关于轴对称，故为，，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解．
【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
又∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
设一次函数的表达式为，将，代入，
得，
解得
∴一次函数的表达式为；
（2）解：如解图，
作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长，
∵与关于y轴对称，
∴，
又∵，
∴直线的表达式为．
令，得，
∴当的值最小时，点P的坐标为．
【变式训练3-1】如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在y轴上有一动点E，当最小时，求点E的坐标；
(3)将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或9
【分析】（1）由一次函数过，利用待定系数法求出m的值，则得出A点坐标，由反比例函数（k为常数且）过A点，求出k值，即可得反比例函数解析式；
（2）根据一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点，则，求出B点坐标，得到B关于x轴对称点，连接交y轴与E点，此时最小，求出的解析式即可求出结果；
（3）设一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（）后为，与联立转化为一元二次方程，当时，只有一个交点，即可求b的值．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点，
∴当时，，
，
，
反比例函数解析式：；
（2）根据题意可得：，
解得：，
则，
即，
关于x轴对称点，
连接交y轴与E点，此时最小，
设直线为：，
则，
解得：，
直线为：，
当时，，
；
（3）设一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（）后为，
平移后的图象与反比例函数只有一个交点，
，
则，
，
解得：或，
故或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数交点的问题以及利用待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称求最小值的问题，函数图象的平移问题，理解题意是解决问题的关键．
【变式训练3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)点的坐标为
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为；
（3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
【变式训练3-3】如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设点P是y轴上的一个动点，当△APB的周长最小时，请求出点P的坐标；
(3)将直线向下平移t个单位后，与双曲线有唯一交点，t的值为 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)或；
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，一次函数的平移，求函数的解析式，根的判别式等知识；
（1）先把点代入求出m的值，然后求出n的值，再利用待定系数法，即可求出k的值；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，得出，求得直线的解析式为，令，即可求解；
（3）由题意，得到平移后的解析式为，然后联合方程，利用根的判别式，即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意，
把点代入，则
，解得；
∴，
把代入，则
，
∴；
把点、代入，则
，解得，
∴；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
∴，
∴，
此时，的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
当时，，
∴．
（3）解：根据题意，把向下平移t个单位，则，
联合与，则
，
整理得：，
∵与有唯一交点，
∴，
解得：或．
【变式训练3-4】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点与点关于轴对称，且点在反比例函数的图像上．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)设是直线上的一动点．当线段最短时，求的面积．
【答案】(1)1；
(2)
【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的性质以及直线与坐标轴的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，
（1）将将代入得到的值，与点关于轴对称，可得，再将点代入即可得到反比例函数的解析式；
（2）设，当时，线段最短，根据勾股定理可得点的坐标，即可得到、的值，的面积即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
将代入得，
∴．
（2）解：设，
当时，线段最短，
由（1）知，，
∴，
，
，
由勾定理得，
∴，
整理得：
解之得：（舍），．
∴，
∴，
，
∴．
【变式训练3-5】如图，函数的图象与函数的图象交于点，．
(1)求，的值和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标．
【答案】(1)a，b的值分别为6，3，反比例解析式为
(2)或
(3)P点坐标为
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，最短路径问题(将军饮马问题)，运用数形结合思想解题是关键．
（1）将点，代入直线的解析式即可求出a、b，再将点代入反比例函数解析式即可求出k，从而得解；
（2）利用数形结合思想即可得解；
（3）作A关于y轴对称点，连与y轴的交点为所求的点，用待定系数法求出直线的解析式，从而得解．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴，，
将点代入得：，即，
∴反比例解析式为，
综上所述：a，b的值分别为6，3，反比例解析式为；
（2）由图象可知：当或时，一次函数对应的函数值比反比例函数对应的函数值大，
即不等式的解集是：或；
（3）作A关于y轴对称点，连交y轴于点P，连，
此时最小，且，
由的长为定值可知，此时周长最短，
设直线为直线的解析式是：，
把代入得：，
解得，
∴直线为直线的解析式是：，
当时，
∴，
故P点坐标为时周长最小．
【变式训练3-6】如图，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于点，．
(1)请求出，，的值；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集：________；
(3)点是轴上一动点，连接，，当周长最小时，点的坐标为________．
【答案】(1)，，；
(2)或；
(3)．
【分析】此题考查了待定系数法确定反比例解析式与一次函数解析式，轴对称以及坐标与图形性质，熟练掌握一次函数和反比例函数图象及性质是解题的关键．
（）利用待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式，再把代入即可求解；
（）根据函数图象即可判断；
（）找出点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，在求出直线解析式即可；
【详解】（1）∵直线和反比例函数图象过点，
∴，，解得：，，
∴反比例函数解析式为，
∵点在图象上，
∴，
综上可知：，，；
（2）由（）得：，
∴点，
当，即直线图象在图象上方，
根据图象可得，或，
故答案为：或；
（3）如图，点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，
∴，
利用得到，则根据两点之间线段最短，点为所求点，此时周长最小，
设直线解析式为，且过点，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，则当时，，
∴点，
故答案为：．
题型四：反比例函数综合之存在性问题（三角形）
【经典例题4】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和
(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或
(3)或或或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理和等腰三角形的定义：
（1）先把点A左边代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出对应的一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可；
（3）设，则，，再分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为
把代入中得；，
∴，
把，代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
（3）解：设，
∵，，
∴，，
当时，则，解得，
∴此时点P的坐标为或；
当时，则，解得或（舍去），
∴此时点P的坐标为；
当时，则，解得，
∴此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【变式训练4-1】如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D．
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由．
【答案】(1)y，
(2)
(3)或或
【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式；
（2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案；
（3）先求出，，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象过、两点，
∴，
解得：，
∴、，反比例函数的解析式是y，
∵一次函数（）的图象过点、，
∴
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由题意得，，，
∴，，
当时，点M在点N的上方，则；
当时，点M在点N的下方，则；
综上，d与t之间的函数关系式为
（3）解：由（1）知，直线的解析式为，
令，则，
令，则，解得，
∴，，
∴，，
如图，
∵是等腰直角三角形，
∴①当，时，
过点Q作轴于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②当，时，
过点作轴于点G，
同理可证，
∴，，
∴
∴；
③当，时，
过点作轴于点K，作轴于点L，
同理可得，，
∴，，
∴设（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，懂得添加辅助线构造全等三角形，掌握分类讨论思想是解题的关键．
【变式训练4-2】如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，．
(1)求k的值．
(2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10
(2)存在，或或或或
【分析】此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程；
（1）先求出，再根据求出点坐标，最后代入计算即可；
（2）先求出，，再设，根据为等腰三角形列方程求解即可．
【详解】（1）对于，当时，．
∴，
∴，
设点B的横坐标为t，则
∵，
∴，
解得．
∴，
把代入中，得
∴．
（2）由（1）得，则反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴，．
设，则
，，．
①若，即，
∴，
解得．
此时点E的坐标为．·
②若，即，
∴，
解得，
此时点E的坐标为或，
③若，即，
∴，
解得，
此时点E的坐标为或，
综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形．
【变式训练4-3】综合与探究
如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标．
(3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)取得最小值时点的坐标
(3)存在；或或
【分析】（1）先求出，，然后代入反比例函数解析式，得出答案即可；
（2）求出直线的解析式为，得出，作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据，得出，说明当最小时，最小，根据两点间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线的解析式为，再求出点P的坐标即可；
（3）先求出，再求出直线的解析式为：，得出，，分三种情况：当，时，当，时，当，时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，，
∴A与B关于原点对称，
∵点的横坐标为，点的纵坐标为
∴点的纵坐标为3，点的横坐标为2，
即，，
把代入得：，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵将直线向上平移4个单位长度，得到直线，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴，
作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示：
则点，
根据轴对称可知：，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点间线段最短，
∴此时最小，即最小，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴取得最小值时点P的坐标为．
（3）解：∵以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，
∴，
∵边交轴于点，
∴,
∵是的中点，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，，
当，时，过点Q作轴于点K，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当，时，过点Q作轴于点K，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
当，时，过点Q作轴于点K，过点N作于点I，如图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上分析可知：点Q的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论．
【变式训练4-4】已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①， ；②
(2)或或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解；
（2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解；
【详解】（1）解：①将代入 得： ，
解得：；
∴反比例函数的表达式为： ；
∴，即：；
将、代入得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：
②设一次函数与轴交于点，如图所示：
由得；
∴
∴
（2）解：设点，
，则，
解得：；
，则，
解得：或（舍）；
，则，
解得：；
综上所述：点P的坐标为或或
【变式训练4-5】已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标；
(3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）待定系数法进行求解即可；
（2）设，根据，结合，列出方程进行求解即可；
（3）分和两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；
∴，
∴，
∴，，
∴，解得：，
∴；
（2）设直线交轴与点，
∵，
∴当时，，时，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）存在；
①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，则：，
∴，
∴，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，，
∴，
∴，
同法可得：的解析式为：，
联立，解得：或，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，分割法求面积，旋转的性质，综合性强，难度大，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
题型五：反比例函数综合之存在性问题（四边形）
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点 .
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当时.直接写出的取值范围；
(3)若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，矩形的性质：
（1）将点A代入函数中可得到函数表达式，进而可求得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点作交轴于点，勾股定理得出点的坐标，再求出直线的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【详解】（1）解：∵点，在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得到：，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像上方，
∴当时，；
（3）解：存在，理由如下：
如图所示，设直线交y轴于点，
∵四边形为矩形
∴，则以点A为直角顶点的直角三角形，
由一次函数解析式可得，
∵，
∴，，，
在中，
∴，
∴，
解得：，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
即点P的坐标为，
∴在双曲线上存在点P，使四边形为矩形，此时点P的坐标为．
【变式训练5-1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点（点在点左边），过两点作直线，与双曲线的另一交点为，过作直线的平行线交双曲线于点．
(1)则点坐标为 ，点坐标为 ，并求直线的解析式；
(2)如图2，点在轴负半轴上，连接，交直线于点，连接，且，将线段在轴上移动，得到线段（如图3），请求出的最大值；
(3)如图4，点在轴上，在平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)点的坐标为或或或
【分析】（1）联立方程组即可得出点的坐标，利用待定系数法先求出直线的解析式，再求出的解析式即可；
（2）设，先表示出，再求出，结合，求出，从而得出，将点向上平移4个单位长度，得到点，设点、关于轴对称，则，连接并延长交轴于点，即可得解；
（3）设，，分三种情况：当为对角线时，当为边时，菱形为时，当为边时，菱形为时；分别利用菱形的性质结合勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：联立方程组，
解得：或，
∵点在点左边，
∴，，
设直线的解析式为，
将代入解析式得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为：，
将代入解析式得：，
解得：，
∴直线的解析式为：；
（2）解：∵点、关于原点对称，，
∴，
∵点在轴负半轴上，
∴设，
令直线交轴于，
，
在中，当时，，即，
∴，
∴，
联立，
解得：或，
∴，
∴，
作于，连接、，则，，
设，，
由勾股定理得：，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，则，
如图，将点向上平移4个单位长度，得到点，则，则为平行四边形，
∴，
设点、关于轴对称，则，连接并延长交轴于点，
，
∴的最大值为；
（3）解：由（2）可得：，，
设，，
∵以点为顶点的四边形是菱形，
∴当为对角线时，，
解得：，即，
当为边时，菱形为时，，
解得：或，即或；
当为边时，菱形为时，，
解得：或（不符合题意，舍去），即；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理、菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
【变式训练5-2】如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值．
【答案】(1)，
(2)点，面积的最小值为
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式，掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据坐标得出相应线段的长是计算面积的关键．
（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入，进一步求得一次函数的解析式；
（2）求出与直线平行且在第三象限内与反比例函数有唯一公共点的坐标即为点P的坐标，此时面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，
∵反比例函数过点，
，
反比例函数的解析式为，
设，
，
，
四边形的面积为，
四边形的面积为，
，
解得，舍去，
，
一次函数的图象经过点、，
，解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：与直线平行，且在第三象限与反比例函数有唯一公共点时，的面积最小，
设与直线平行的直线的关系式为，当与在第三象限有唯一公共点时，
方程有唯一解，
即有两个相等的实数根，
，
解得或舍去，
与直线平行的直线的关系式为，
方程的解为，
经检验，是原方程的解，
当时，，
点，
如图，过点作的垂线，交的延长线于点，交轴于点，延长交于点，
由题意得，
，，，， ，
，
答：点，面积的最小值为．
【变式训练5-3】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点为线段上一点，且，连接、，求；
(3)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为：，直线的表达式为：
(2)3
(3)存在，、点或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用，而，则，即可求解；
（3）证明和的相似比为2，设，，分为和两种情况分别得到得关于、的方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
则反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
即点，
由点、的坐标得，，
解得，
直线的表达式为：；
（2）解：连接、，
由一次函数的表达式知，点，
则，
，
则；
（3）解：存在，理由：
由题意得，，，
过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、，
则和的相似比为，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点，
当时，
则和的相似比为，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点，
即、点或点、点．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数上点的坐标特点，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式等，解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
【变式训练5-4】如图，一次函数与反比例函数相交于点、，与x轴、y轴分别交于点C、点D，点M是x轴负半轴上一动点，连接、、．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若时，求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线向下平移2个单位得到直线l，若点E是平移后直线l上一点，在y轴上是否在点F，使以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)点的坐标为或或
【分析】（1）根据反比例函数过点，求得反比例函数的解析式为，把代入反比例函数中，得到，将，代入一次函数解方程组得到结论；
（2）设，求得，得到，过作轴于，过作轴于，根据三角形的面积公式列方程得到点的坐标；
（3）先求得直线的解析式为，根据平移的性质得到直线的解析式为，得到设，，、，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
将，一次函数得，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）设，∵一次函数的解析式为，当时，，
∴，
∴，
过作轴于，过作轴于，
∴
，
解得，
∴点的坐标为；
（3）存在，设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵将直线向下平移2个单位得到直线，
∴直线的解析式为，
∵点是平移后直线上一点，
∴设，，、，
∵以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
∴当为平行四边形的对角线时，，解得：，
∴；
当为平行四边形的对角线时，，解得：，
∴；
当为平行四边形的对角线时，，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，平移的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集；
(3)过点作平行于轴，交于点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为：，一次函数表达式为
(2)
(3)点坐标为或．
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质．
（1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案；
（3）分四边形和为平行四边形，两种情况讨论，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
∴，解得：，
∴一次函数为；
（2）解：由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得
不等式的解集为：；
（3）解：存在
∵，
∴直线的解析式为：，
∵过点作平行于x轴，交于点D，
∴，
∴，
当四边形为平行四边形时，
∴，
∴点坐标为，
当四边形为平行四边形时，
∴，
∴点坐标为．
综上，点坐标为或．
【变式训练5-6】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求不等式的解集；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，点坐标为或或
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合、求反比例函数解析式、根据图象写出不等式的解集、平行四边形的性质、点坐标的平移等，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）把代入一次函数求解，得到点坐标，把点坐标代入求出反比例函数表达式即可
（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出点坐标，结合点坐标，观察图象，得出不等式的解集即可；
（3）由题意知，分与为邻边，与为邻边，与为邻边，三种情况讨论，根据点坐标的平移方式求解即可．
【详解】（1）解：把代入一次函数得，解得，
∴，
把代入反比例函数得，解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为，
∴联立表达式，得：，
整理得：，
，
∴或，
∴，，
∵，
∴点横坐标，
∴结合图象观察，得不等式的解集为或；
（3）解：①当与为邻边，时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，
∴点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
②当与为邻边时，点先向左平移1个单位再向下平移2个单位到点，
∴点也先向左平移1个单位再向下平移2个单位到点，即；
③当与为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，
∴点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即．
综上，存在，点坐标为或或．
题型六：反比例函数综合之定义新运算
【经典例题6】定义运算：，当时 ，； 当时 ，．例如：；根据以上材料，解决下列问题．
(1) ；
(2)若，求x的取值范围．
(3)如图和在同一平面直角坐标系中，当，结合图象，直接写出x 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，新定义，二次根式比较大小，解一元一次不等式：
（1）关键二次根式比较大小的方法得到，再根据新定义即可得到答案；
（2）根据新定义可得，解不等式即可得到答案；
（3）根据新定义得到，据此根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者的交点处时，自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或二者的交点处，
∴当时，或．
【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
(1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
(2)若点的等和点在直线上，求的值；
(3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【答案】(1)和；
(2)；
(3)或．
【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解；
（）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解；
（）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解；
本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由，得，，
∴点是点的等和点；
由，得，，，
∵，
∴不是点的等和点；
由，得，，
∴是点的等和点；
故答案为：和；
（2）解：设点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴；
（3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
设，点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴，
∵点在直线上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
∴点的坐标为或．

【变式训练6-2】定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”．
(1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由．
①；②．
(2)如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)①存在两倍点为；②不存在两倍点，见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题：
（1）根据两倍点的定义，即可求解；
（2）根据两倍点的定义，可得，再由反比例函数的性质可得直线与反比例函数图象的另一交点是其另一个两倍点，再结合弱倍点的定义，可得反比例函数图象的弱倍点在直线的下方，即可求解．
【详解】（1）解：令．
①，
解得，
，故存在两倍点为．
②，
即，
，
方程无实根，即不存在两倍点．
（2）解：点是反比例函数图象上的两倍点，的横坐标为3，
，
如图，直线与反比例函数图象的另一交点是其另一个两倍点；
∵弱倍点应符合，即反比例函数图象的弱倍点在直线的下方，
弱倍点的横坐标的取值范围为或．
【变式训练6-3】我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．
【概念辨析】
（1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ ．（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】
长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，
联立由①得③，
将③代入②，得，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请你利用上述其中一种思路，若存在，请求出新矩形的长和宽；若不存在，请说明理由．
（3）静静认为对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体；小兰认为有些矩形不存在完全2倍体．你支持谁的观点？请说明理由．
【答案】（1）不存在；（2）不存在，见解析；（3）支持静静的观点
【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可；
（2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，可得，再运用根的判别式即可求得答案．
【详解】解：（1）假设存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体，则正方形B的周长是正方形A周长的2倍，
∵正方形A的边长为1，
∴正方形B的边长是2，
∴正方形B的面积是4，这与“完全2倍体”矛盾，所以不存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体．
故答案为：不存在；
深入探究：长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形，
理由：∵矩形的长为4，宽为3，
∴矩形的周长为14，面积为12，
小鸣方程流：
设新矩形长和宽为、，则依题意，，
联立，
整理得：，
解得：，，
∴新矩形的长为12，宽为2时，周长为28，面积为24，
∴长为4，宽为3的矩形C存在完全2倍体矩形；
小棋函数流：如图，设新矩形长和宽为、，则依题意，，
即，，利用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体，如图：
故长为4，宽为3的矩形存在完全倍体；
（2）方法1：设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，
联立，得，
∴，
∴方程无解，
∴长为4，宽为3的矩形C不存在完全倍体．
方法2：如图，
反比例函数：与一次函数：没有交点，所以不存在完全倍体；
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意得，，
∴，
∴，
∴对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体，
∴静静的说法是正确的．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解新定义“矩形A是矩形B的完全N倍体”，根据题干过程模仿解题．第（3）题应用一元二次方程根的判别式求k的范围．
【变式训练6-4】我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．
(1)判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
(2)若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
(3)已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
【答案】(1)存在；“幸福点”坐标为，；
(2)“向光函数”的解析式为：或；
(3)
【分析】（1）假设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则，分别代入一次函数和反比例函数，得到关于的一元二次方程，解方程可得，，根据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标；
（2因为一次函数和反比例函数只有一个“幸福点”，则一次函数与反比例函数只有一个交点，联立一次函数与反比例函数得到关于的一元二次方程，得到关于的一元二次方程，令，求出的值，即可求出“向光函数”的解析式；
（3）一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在，上，根据“向光函数”满足的条件可以得出，，进而表示边形的面积为，即可求的取值范围．
【详解】（1）假设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则
∴，
解并检验得：，，
∴一次函数和反比例函数是存在“向光函数”， “幸福点”坐标为，；
（2）∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，
所以与反比例函数只有一个交点，
∴，，
整理得：，
，
解得：，，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 向光函数”的解析式为：，
∴“向光函数”的解析式为：或．
（3）∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”、（在左侧），则、关于轴对称的点、一定在上，
∴、关于轴对称的点、是与的交点坐标，
∴，
整理得：，
又∵“向光函数”为，
∴与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③，
∴，
∴，
∴，
即“向光函数”为
又∵，
∴，
∴，
又∵“向光函数”与轴交于、两点（在左侧），与“向光函数”为关于轴对称，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
令“向光函数”中，得即，
解得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是：．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数，理解题意是解答新定义题型的关键．
【变式训练6-5】定义：若点A在一个函数图象上，且点A的横、纵坐标相等，则称点A为这个函数的“等点”．
(1)关于“等点”，下列说法正确的有__________；
①函数有两个“等点”；②函数有一个“等点”；③函数没有“等点”．
(2)已知反比例函数与一次函数的图象上有同一个“等点”，求反比例函数的表达式；
(3)函数的图象上有两个“等点”A、B，设A、B两点之间的距离为m，若，则k的取值范围是__________．
【答案】(1)①③
(2)
(3)
【分析】本题考查新定义，函数的图象，反比函数与一次函数的性质．解题的关键是理解新定义，综合运用函数的相关知识，熟练掌握函数与方程不等式的联系．
（1）根据题意可知若函数有“等点”，则点应在函数图象上，将其代入函数解析式即可求解；
（2）根据题意设该“等点”为，得，解得：，即可求得答案；
（3）根据题意得两个“等点”为，，得，根据即可求得取值范围．
【详解】（1）解：由“等点”的定义可知，若函数有“等点”，则点应在函数图象上，
当时，，即：
∴和是函数的两个“等点”，故①正确；
当时，此时无解，
∴函数没有“等点”，故②错误；
当时，，此时无解，，
∴函数没有“等点”，故③正确；
综上，正确的有①③，
故答案为：①③；
（2）∵反比例函数与一次函数的图象上有同一个“等点”，
设该“等点”为，
∴，解得：，
∴反比例函数的表达式；
（3）∵函数的图象上有两个“等点”A、B，
∴有两个不同得解，即有两个不同得解，
则，，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
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专题26.1.2反比例函数的图像与性质（三）六大题型（一课一讲）
【人教版】
题型一：反比例函数综合之交点问题
【经典例题1】如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象分别交于C，D两点，点，点B是线段的中点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出当x取什么值时，．
【变式训练1-1】关于x的一次函数和反比例函数的图象都经过点．求：
(1)一次函数和反比例函数的解析式；
(2)两函数图象的另一个交点B的坐标；
(3) AOB的面积．
【变式训练1-2】如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当时自变量的取值范围．
【变式训练1-3】如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
【变式训练1-4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标．
【变式训练1-5】如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
题型二：反比例函数综合之面积问题
【经典例题2】如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求三角形的面积；
(3)根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
【变式训练2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集．
(3)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标；
【变式训练2-2】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的解析式及 AOB的面积；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于 AOB的面积的3倍，直接写出点P的坐标．
【变式训练2-3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集：______；
(3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标．
【变式训练2-4】如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，两点．
(1)求m，n的值；
(2)点E是轴上一点，且，求点的坐标；
【变式训练2-5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的函数表达式；
(2)过点作轴，垂足为．
①点在轴正半轴上，且，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线经过点，求的值；
②若直线与轴交于点，连接交轴于，求的长及 BDE的面积．
题型三：反比例函数综合之最值问题
【经典例题3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若点P是y轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点P的坐标．
【变式训练3-1】如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象相交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在y轴上有一动点E，当最小时，求点E的坐标；
(3)将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值．
【变式训练3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
【变式训练3-3】如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设点P是y轴上的一个动点，当△APB的周长最小时，请求出点P的坐标；
(3)将直线向下平移t个单位后，与双曲线有唯一交点，t的值为 ．
【变式训练3-4】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，点与点关于轴对称，且点在反比例函数的图像上．
(1)求的值和反比例函数的解析式；
(2)设是直线上的一动点．当线段最短时，求的面积．
【变式训练3-5】如图，函数的图象与函数的图象交于点，．
(1)求，的值和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标．
【变式训练3-6】如图，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于点，．
(1)请求出，，的值；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集：________；
(3)点是轴上一动点，连接，，当周长最小时，点的坐标为________．
题型四：反比例函数综合之存在性问题（三角形）
【经典例题4】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和
(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-1】如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D．
(1)分别求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式；
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由．
【变式训练4-2】如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，．
(1)求k的值．
(2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形 若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-3】综合与探究
如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标．
(3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-4】已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点．
(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；
②求的面积．
(2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4-5】已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标；
(3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五：反比例函数综合之存在性问题（四边形）
【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点 .
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当时.直接写出的取值范围；
(3)若点在双曲线上，点在平面上，是否存在点、点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-1】如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点（点在点左边），过两点作直线，与双曲线的另一交点为，过作直线的平行线交双曲线于点．
(1)则点坐标为 ，点坐标为 ，并求直线的解析式；
(2)如图2，点在轴负半轴上，连接，交直线于点，连接，且，将线段在轴上移动，得到线段（如图3），请求出的最大值；
(3)如图4，点在轴上，在平面内是否存在一点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-2】如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值．
【变式训练5-3】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点为线段上一点，且，连接、，求；
(3)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-4】如图，一次函数与反比例函数相交于点、，与x轴、y轴分别交于点C、点D，点M是x轴负半轴上一动点，连接、、．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若时，求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线向下平移2个单位得到直线l，若点E是平移后直线l上一点，在y轴上是否在点F，使以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练5-5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集；
(3)过点作平行于轴，交于点，在轴上是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点坐标，若不存在请说明理由．
【变式训练5-6】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求不等式的解集；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型六：反比例函数综合之定义新运算
【经典例题6】定义运算：，当时 ，； 当时 ，．例如：；根据以上材料，解决下列问题．
(1) ；
(2)若，求x的取值范围．
(3)如图和在同一平面直角坐标系中，当，结合图象，直接写出x 的取值范围．
【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
(1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
(2)若点的等和点在直线上，求的值；
(3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【变式训练6-2】定义：函数图象上纵坐标是横坐标的两倍的点，称为该函数的“两倍点”，而纵坐标比横坐标的两倍小的点称为“弱倍点”．
(1)判断下列函数图象上是否有两倍点？若有，求两倍点；若无，说明理由．
①；②．
(2)如图，反比例函数图象上有一个两倍点的横坐标为3，求它的另一个两倍点的坐标，并结合图象写出图象上弱倍点的横坐标的取值范围．
【变式训练6-3】我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．
【概念辨析】
（1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ ．（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】
长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，
联立由①得③，
将③代入②，得，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
（2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请你利用上述其中一种思路，若存在，请求出新矩形的长和宽；若不存在，请说明理由．
（3）静静认为对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体；小兰认为有些矩形不存在完全2倍体．你支持谁的观点？请说明理由．
【变式训练6-4】我们定义：点P在一次函数上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．
(1)判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理；
(2)若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
(3)已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
①②“向光函数”经过点，③ ，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围．
【变式训练6-5】定义：若点A在一个函数图象上，且点A的横、纵坐标相等，则称点A为这个函数的“等点”．
(1)关于“等点”，下列说法正确的有__________；
①函数有两个“等点”；②函数有一个“等点”；③函数没有“等点”．
(2)已知反比例函数与一次函数的图象上有同一个“等点”，求反比例函数的表达式；
(3)函数的图象上有两个“等点”A、B，设A、B两点之间的距离为m，若，则k的取值范围是__________．
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