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古典概型--2025届高考数学多选题题型专练
一、多项选择题
1．一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球,分别标有数字1,2,3,现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球;方案二：先后不放回的摸出两个球,若第二次摸出的球号码比第一次大,则选择第二次摸出的球,否则选择未被摸出的球;方案三：同时摸出两个球,选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为,,,则( )
A. B. C. D.
2．有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机取一把试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，记第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙又混进去，记第二次才能打开门的概率为，则( )
A. B. C. D.
3．中国邮政发行的《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则( )
A.恰有1枚吉祥物邮票的概率为 B.含有志愿者标志邮票的概率为
C.至少有1枚会徽邮票的概率为 D.至多有1枚吉祥物邮票的概率为
4．设集合，，分别从集合M和N中随机取一个元素m与n，记“点落在直线上”为事件，若事件的概率最大，则k的取值可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
5．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是( )
A.“至少一个红球”的概率为 B.“恰有一个黑球”的概率为
C.“一个红球和一个黑球”的概率为 D.“两个都是红球”的概率为
6．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是( )
A. 2次传球后球在丙手上的概率是
B. 3次传球后球在乙手上的概率是
C. 3次传球后球在甲手上的概率是
D. n次传球后球在甲手上的概率是
7．以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B.从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中1名男同学和1名女同学的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
D.从3件正品、1件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
8．同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件{第一个四面体向下的一面出现偶数}，事件{第二个四面体向下的一面出现奇数}，事件{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}.下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
9．
随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则( )
A. 可以排成9个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为
C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于400的概率为
10．某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“号”车的概率分别为，则( )
A. B. C. D.
11．4支足球队进行单循环比赛(任两支球队恰进行一场比赛)，任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是( )
A.恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B.有可能出现恰有三支球队并列第一名
C.恰有两支球队并列第一名的概率为 D.只有一支球队名列第一名的概率为
12．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是( )
A.颜色相同 B.颜色不全同
C.颜色全不同 D.无红球
13．下列问题中是古典概型的是( )
A.小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率
B.从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率
C.在区间上任取一数，求这个数大于2的概率
D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
14．下列有关古典概型的说法中，正确的有( )
A.试验中所有可能出现的样本点只有有限个
B.每个事件出现的可能性相等
C.每个样本点出现的可能性相等
D.已知样本点总数为，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率
15．某篮球职业联赛中，运动员甲在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表（不包含罚球）：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率，则下述结论中，正确的是( )
A. B. C. D.
16．一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，则下列结论中正确的( )
A.若一次摸出3个球，则摸出的球均为红球的概率是
B.若一次摸出3个球，则摸出的球为2个红球，1个白球的概率是
C.若第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
D.若第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，则两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
17．一个口袋内有12个大小形状完全相同的小球,其中有n个红球,若有放回地从口袋中连续取四次(每次只取一个小球),恰好两次取到红球的概率大于,则n的值可能为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
18．下面有三个游戏,则( )
取球方式 结果
游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色 →甲胜，取出的2个球不同色→乙胜
游戏2 有2个黑球和2个白球，游戏时，有放回地依次取2个球 取出的2个球同色 →甲胜，取出的2个球不同色→乙胜
游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色 →甲胜，取出的2个球不同色→乙胜
A.游戏1公平 B.游戏2公平 C.游戏3公平 D.游戏1,2,3均不公平
19．数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变幻多端. 由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图. 其中第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数……以此类推，一共10行，设是从上往下数第k行中的最大数，则( )
A.最大数在第一行的概率为 B.最大数在最后一行的概率为
C.的概率为 D.的概率为
20．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221、15351等都是回文数.若正整数i与n满足且，在上任取一个正整数取得回文数的概率记为，在上任取一个正整数取得回文数的概率记为，则( )
A．； B．；
C．； D．.
参考答案
1．答案：ABD
解析：方案一：“选到3号球”的概率,
方案二：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球,或第一次2号球,第二次1号球,则“选到3号球”的概率,
方案三：同时摸出两个球共有：,,共3个基本事件,“选到3号球”包含,共2个基本事件,“选到3号球”的概率.
,,,,ABD正确,C错误.
故选：ABD.
2．答案：AD
解析：根据题意，，.故选：AD
3．答案：ABD
解析：令分别表示冬奥会会徽邮票和冬残奥会会徽邮票，分别表示冬奥会吉祥物邮票和冬残奥会吉祥物邮票，C表示志愿者标志邮票．
从一套5枚邮票中任取3枚有共10个基本事件，
恰有1枚吉祥物邮票的情况有6种，概率为，故A正确；
恰有1枚志愿者标志邮票的情况有6种，概率为，故B正确；
至少有1枚会徽邮票的概率为，故C不正确；
至多有1枚吉祥物邮票的概率为，故D正确．
故选：ABD.
4．答案：BC
解析：由题意，点的所有可能情况为、、、、、、、、、、、，共12个基本事件，则事件：点落在直线包含其中共1个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共2个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、、共3个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、、共个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中、共2个基本事件，所以；事件：点落在直线包含其中共1个基本事件，所以.综上可得，当或6时，.
故选：BC.
5．答案：ABD
解析：A选项，设2个红球为a,b，2个黑球为，
选取2个小球，则可能情况有，,,,,共6个，
所以“至少一个红球”的情况有，,,,共5个，
故“至少一个红球”的概率为，A正确；
B选项，“恰有一个黑球”的情况有，,,共4个，
故“恰有一个黑球”的概率为，B正确；
C选项，“一个红球和一个黑球”的情况有，,,共4个，
故“一个红球和一个黑球”的概率为，C错误；
D选项，“两个都是红球”的情况有，故“两个都是红球”的概率为，D正确.
故选：ABD
6．答案：ACD
解析：第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A正确；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；
3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；
n次传球后球在甲手上的事件记为，则有，
令，则于是得，
故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D正确.
故选：ACD
7．答案：BCD
解析：对于A，甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，共有（种）情形，结合树状图，可得玩一局甲不输，共有（种）情形，所以玩一局甲不输的概率是，所以A不正确；
对于B，设男同学为a，2名女同学分别为A，B，则从这3人中任选2人包含，，，共3种选法，其中选中1名男同学和1名女同学包含，，有2种选法，所以选中1名男同学和1名女同学的概率为，所以B正确；
对于C，将一个质地均匀的正方体骰子，先后抛掷2次，共有36种不同的结果，其中点数和为6的结果有，，，，，共有5种，所以点数之和是6的概率是，所以C正确；
对于D，从3件正品、1件次品中随机取出2件，一共有（种）情况，取出的产品全是正品包含（种）情况，则取出的产品全是正品的概率是，所以D正确.故选BCD.
8．答案：ABD
解析：由古典概型的概率计算公式，得，，所以，A正确；，D正确；而事件A，B，C不可能同时发生，故，所以C不正确；又，，，所以，B正确.故选ABD.
9．答案：BD
解析：使用1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数，三位数为偶数的有156，516，共2个，相应的概率；三位数有165，561，615，651，共4个，相应的概率；大于400的三位数个数为4，所以相应的概率为.
10．答案：ACD
解析：
11．答案：ABD
解析：4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；
选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；
选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；
选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中，其中第一类赢，有和两种情况，同理第二类赢，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；
选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：
13．答案：BD
解析：对于A选项，种子长出果实，不长出果实的发生不是等可能的，故A不是古典概型；对于C选项，在区间中样本点的个数是无限多个，故C不是古典概型；对于B和D选项，其中样本点的发生是等可能的，且是有限个.故选BD.
14．答案：ACD
解析：②中所说的事件不一定是样本点，所以B不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知ACD正确.
15．答案：ABC
解析：由题意可知，，，
事件“”与事件C为对立事件，且事件A，B，C互斥，所以，所以.故选ABC.
16．答案：BC
解析：
17．答案：ABC
解析：设每次取到红球的概率为,
由题意得，即，
解得,
因为，所以,
所以或6或7.
故选ABC.
18．答案：AB
解析：对于游戏1，样本空间中的样本点共有12个，取出的2个球同色对应的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平；对于游戏2，样本空间中的样本点共有16个，解题思路易知，取出的2个球同色对应的样本点有8个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏2公平；对于游戏3，样本空间中的样本点共有12个，取出的2个球同色对应的样本点有4个，其概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大.
19．答案：AD
解析：数阵中一共有个数，最大数在第一行的概率为，故A正确；最大数在最后一行的概率为，故B不正确；若，则前两行的3个数中，最大数在第二行，所以其概率为，故C不正确；设一共有n行，的概率为，则最大数在第n行的概率为，在任意排好第n行后，余下的个数排在前行，符合要求的排列的概率为，因此，以此类推，得，所以的概率，故D正确. 故选AD.
20．答案：BD
解析：

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