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概率--2025届高中数学一轮复习高频考点专项练
一、选择题
1．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是( )
A.3个都是男生 B.至少有1个男生 C.3个都是女生 D.至少有1个女生
2．在一个不透明箱子中装有10个大小 质地完全相同的球,其中白球7个,黑球3个.现从中不放回地依次随机摸出两个球,已知第二次摸出的是黑球,则第一次摸出的是白球的概率为( )
A. B. C. D.
3．在不超过12的质数中,随机选取两个不同的数,其和为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
4．从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为( )
A. B. C. D.
5．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题.由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题.如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为( )
A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44%
6．抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为( )
A.至多两件次品 B.至多一件次品 C.至多两件正品 D.至少两件正品
7．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙，丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )
A. B. C. D.
8．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )
A. B. C. D.
9．以下事件是随机事件的是( )
A.标准大气压下，水加热到，必会沸腾
B.走到十字路口，遇到红灯
C.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为
D.实系数一元一次方程必有一实根
10．将95,96,97,98,99这5个数据作为总体,从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本,则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11．设A,B是一个随机试验中的两个事件,且,,则__________.
12．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是____________.
13．现从甲 乙 丙3人中随机选派2人参加某项活动,则甲被选中的概率为__________.
14．2023年中国成功举办了第31届世界大学生夏季运动会和第19届亚运会,某市积极响应全民锻炼的号召,组织村级足球联赛,其中A组有甲、乙、丙、丁4支足球队,每支球队都要跟组内其他球队进行一场比赛,最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前,积分同者名次并列）,积分规则为每队胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为,比赛结束时,在甲队输给乙队的情况下,其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为____________.
三、解答题
15．在校运动会上,有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,甲、丙首先比赛,乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
（1）求丙连胜四场的概率;
（2）求需要进行第五场比赛的概率;
（3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大 请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件，故选：B.
2．答案：B
解析：设第一次摸出白球为事件,第二次摸出黑球为事件,则第一次摸出黑体为事件.因为,所以.
故选B.
3．答案：B
解析：不超过12的质数有2,3,5,7,11,
任取两个不同数有,,,,,,,,,,共10个,
其中和为偶数的结果有,,,,,,共6个,
所以随机选取两个不同的数,和为偶数的概率为.
故选:B
4．答案：D
解析：将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，
则样本空间，共包含10个样本点.
记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则，A包含的样本点个数为7，
所以.
故选：D
5．答案：B
解析：因为抛硬币出现正面朝上的概率为，大约有150人回答第一个问题，
又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，
在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，
共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，
因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为.
故选：B
6．答案：B
解析：事件A不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的对立事件为至多一件次品.故B正确.
7．答案：B
解析：端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙，丙回老家过节的概率分别为，.
假定三人的行动相互之间没有影响，
这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，
这段时间内至少1人回老家过节的概率为：.
故选：B.
8．答案：B
解析：两名同学分3本不同的书，记为a，b，c，
基本事件有，，，，，，，，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，一人没有分到书，另一人分得3本书的概率.
故选:B
9．答案：B
解析：A.标准大气压下，水加热到必会沸腾，是必然事件，故本选项不符合题意；
B.走到十字路口，遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；
C.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件，故本选项不符合题意；
D.实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件，故本选项不符合题意故选B.
10．答案：D
解析：依题意可知,总体平均数为97,
从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本,情况如下：
选到95,96,则样本平均数为,所以,
选到95,97,则样本平均数为96,所以,
选到95,98,则样本平均数为,所以,
选到95,99,则样本平均数为97,所以,
选到96,97,则样本平均数为,所以,
选到96,98,则样本平均数为97,所以,
选到96,99,则样本平均数为,所以,
选到97,98,则样本平均数为,所以,
选到97,99,则样本平均数为98,所以,
选到98,99,则样本平均数为,所以,
所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为.
故选：D.
11．答案：
解析：由题知,,,,
,即,则.
因,所以 ,则.
12．答案：
解析：基本事件总数为36,点数之和小于10的基本事件共有30种,
所以所求概率为.
13．答案：
解析：从甲 乙 丙3人中随机选派2人,共有甲乙 甲丙 乙丙三种选法,其中甲被选中有甲乙 甲丙两种选法,所以甲被选中的概率为.
14．答案：
解析：若甲与丙、丁的两场比赛一赢一平,则甲只得4分,
这时乙丙、乙丁两场比赛中乙只能输,否则乙的分数不小于4分,不合题意,
在乙输的情况下,丙、丁已有3分,
那么它们之间的比赛无论什么情况,丙、丁中有一队得分不小于4分,不合题意;
若甲与丙、丁的两场比赛全赢（概率为）时,甲得6分,其他3队分数最高为5分,
这时乙丙,乙丁两场比赛中乙不能赢,否则乙的分数不小于6分,只有乙平或乙输;
若乙一平一输,概率为.如乙平丙,乙输丁,则丙丁比赛时,丁不能赢,概率为;
若乙两场均平,概率为,丙丁这场比赛无论结果如何均符合题意;
若乙两场都输,概率为,丙丁这场比赛只能平,概率为.
综上所述,在甲队输给乙队的情况下,其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
（3）乙最终获胜的概率最大,理由见解析
解析：（1）丙连胜四场的情况为:“丙胜甲负,丙胜乙负,丙胜甲负,丙胜乙负”,
所以丙连胜四场的概率:;
（2）根据赛制,至少需要进行四场比赛,
而甲、丙连胜四场的概率为,
乙上场后连胜三场获胜的概率为,
需要进行第五场比赛的概率;
（3）三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下:
记事件A为甲输,事件B为丙输,
记事件M:甲赢,记事件N:乙赢,
则甲赢的基本事件包括:BCBC,АВCВС,АСВСВ,BAВСС,ВАCВС,ВСАВC,ВСАCB,ВСBAC,
甲赢的概率为,
由对称性可知,丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等,
即丙最终获胜的概率也是,
所以乙赢的概率为,
又,所以三人中乙最终获胜的概率最大.
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