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2.5.2　圆与圆的位置关系
一、选择题
1.[2024·福建龙岩名校高二期中] 圆O:x2+y2=1与圆M:(x+1)2+(y-1)2=9的位置关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.相交 B.内切
C.内含 D.外离
2.已知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0和圆C2:4x2+4y2-16x-16y+31=0,则这两个圆的公切线的条数为 (　 )
A.1或3 B.4
C.0 D.2
3.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是 (　 )
A.{1,-1} B.{3,-3}
C.{1,-1,3,-3} D.{5,-5,3,-3}
4.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是 (　 )
A.(x-5)2+(y+7)2=25
B.(x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
C.(x-5)2+(y+7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
5.[2024·广东潮州高级中学高二月考] 已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2+mx+4y-11=0(m∈R)的公共弦所在直线与直线l:2x-y+1=0垂直,则m的值为 (　 )
A.2 B.-2
C.8 D.-8
6.若圆C:(x-m)2+(y-m)2=16上总存在两个点到原点的距离为2,则实数m的取值范围是 (　 )
A.(-3,3)
B.(-,)
C.(-3,)
D.(-3,-)∪(,3)
7.已知圆C1:x2+y2-kx+2y=0与圆C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过点P,且点P在直线mx-ny-2=0上,则m2+n2的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2024·辽宁葫芦岛协作校高二联考] 圆O:x2+y2=1与圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的位置关系可能为 (　 )
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
9.(多选题)[2024·黑龙江大庆东风中学高二期中] 已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆C2:x2+y2-2mx+4my+4m2-2m-1=0,则下列说法正确的是 (　 )
A.圆C2的圆心恒在直线x+2y=0上
B.若圆C2经过圆C1的圆心,则圆C2的半径为
C.当m=-2时,圆C1与圆C2有4条公切线
D.当m=0时,圆C1与圆C2的公共弦长为
二、填空题
10.已知点P,Q分别在圆x2+y2+2x-4y+3=0与圆x2+y2-4x+2y+3=0上,则P,Q间的最短距离是　　　　.
11.若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:(x+1)2+(y-2)2=9的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的一般式方程是　　　　　　.
12.[2024·湖北孝感高二期中] 已知圆C:x2+y2-2x=0,直线l:x+y+1=0,P为l上的动点,过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当|PC|·|AB|最小时,直线AB的方程为　　　　　.
三、解答题
13.已知圆C1:x2+y2-2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)当m取何值时,圆C1和圆C2外切
(2)当m取何值时,圆C1和圆C2内切
14.已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程;
(2)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.
15.[2024·东莞东华高级中学高二期中] 点M是圆C:(x+2)2+y2=1上任意一点,AB为圆C1:(x-2)2+y2=3的弦,且|AB|=2,N为AB的中点,则|MN|的最小值为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
16.已知点P为圆x2+y2=r2(r>0)上的动点,点Q(4,0),点M是线段PQ的中点,点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若A(3,5),B(0,2)且曲线C上存在点N,使得=2,求r的取值范围.
2.5.2　圆与圆的位置关系
1.C　[解析] 由题意得|OM|=,圆M的半径为3,圆O的半径为1,因为3-1=2>,所以圆O与圆M的位置关系为内含.故选C.
2.B　[解析] 因为圆C1:(x-1)2+(y+2)2=9,圆C2:(x-2)2+(y-2)2=,所以两圆的圆心距d=|C1C2|==,两圆半径之和为3+=,因为<,所以两圆相离,故这两个圆的公切线有4条.故选B.
3.C　[解析] 因为两圆有且只有一个公共点,所以两圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=2-1=1,当两圆外切时,|a|=2+1=3,所以实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C.
4.D　[解析] 设动圆圆心的坐标为(x,y),若动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16外切,则=4+1,所以(x-5)2+(y+7)2=25;若动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16内切,则=4-1,所以(x-5)2+(y+7)2=9.故选D.
5.A　[解析] 圆C1与圆C2的方程相减得mx+4y-7=0,即圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为mx+4y-7=0.由直线mx+4y-7=0与直线l垂直,得2m-4=0,解得m=2.当m=2时,圆C2:x2+y2+2x+4y-11=0,即圆C2:(x+1)2+(y+2)2=16的圆心为C2(-1,-2),半径r2=4,而圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,|C1C2|==,因为r2-r1<6.D　[解析] 若圆C:(x-m)2+(y-m)2=16上总存在两个点到原点的距离为2,则圆C:(x-m)2+(y-m)2=16和圆O:x2+y2=4相交.圆C:(x-m)2+(y-m)2=16的圆心为C(m,m),半径r1=4,圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,两圆的圆心距|CO|==|m|.由r1-r2<|CO|7.C　[解析] x2+y2-kx+2y=0与x2+y2+ky-4=0两式相减,得圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为k(x+y)-2y-4=0,由解得故P(2,-2).又点P在直线mx-ny-2=0上,所以2m+2n-2=0,即m+n=1,则1=(m+n)2=m2+2mn+n2≤2(m2+n2),故m2+n2≥,当且仅当m=n=时等号成立,所以m2+n2的取值范围是.故选C.
8.BCD　[解析] 由圆O:x2+y2=1,可得圆心为O(0,0),半径r1=1.由圆M:(x-a)2+(y-2)2=4,可得圆心为M(a,2),半径r2=2,则圆心距为|OM|=,又r2-r1=2-1=1,≥2>1,所以圆O与圆M的位置关系可能为相交、外切、外离.故选BCD.
9.BC　[解析] 圆C2:x2+y2-2mx+4my+4m2-2m-1=0,即圆C2:(x-m)2+(y+2m)2=(m+1)2(m≠-1),所以圆C2的圆心为(m,-2m),恒在直线2x+y=0上,故选项A错误;因为C1的圆心(-1,1)在圆C2上,所以(-1-m)2+(1+2m)2=(m+1)2,解得m=-,所以C2的半径为|m+1|=,故选项B正确;当m=-2时,圆C2:(x+2)2+(y-4)2=1,圆心为(-2,4),半径为1,此时圆C1与圆C2的圆心距d==>2,所以圆C1与圆C2外离,圆C1与圆C2有4条公切线,故选项C正确;当m=0时,圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2:x2+y2-1=0,两圆相交,公共弦所在直线的方程为x-y+1=0,圆C2的圆心到公共弦所在直线的距离为=,所以圆C1与圆C2的公共弦长为2×=,故选项D错误.故选BC.
10.　[解析] x2+y2+2x-4y+3=0可化为(x+1)2+(y-2)2=2,其圆心坐标为(-1,2),半径为.x2+y2-4x+2y+3=0可化为(x-2)2+(y+1)2=2,其圆心坐标为(2,-1),半径为.因为两圆的圆心距为3>+,所以两圆外离,所以P,Q间的最短距离是3--=.
11.x+y-1=0　[解析] 由题意可知A,B为两圆的交点,则线段AB必是两圆的公共弦,由公共弦的性质可知,线段AB的垂直平分线必是两圆圆心所在的直线.由(x-1)2+y2=1可得圆心C1(1,0),由(x+1)2+(y-2)2=9可得圆心C2(-1,2),所以直线C1C2的斜率为=-1,所以直线C1C2的方程为y=-(x-1),即x+y-1=0,故线段AB的垂直平分线的一般式方程是x+y-1=0.
12.x+y=0　[解析] 由圆C:x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,得圆心C(1,0),半径r=1.因为过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,所以P,A,B,C四点共圆,且AB⊥PC,所以|PC|·|AB|=4S△PAC=4××|PA|·|AC|=2|PA|,而|PA|=,当PC所在直线与l垂直时,|PC|最小,则|PA|最小,即|PC|·|AB|最小,此时直线PC的方程为y=x-1.由可得即点P(0,-1),所以以线段PC为直径的圆的方程为x2+y2-x+y=0,两圆的方程相减可得x+y=0,即当|PC|·|AB|最小时,直线AB的方程为x+y=0.
13.解:将两圆的方程化为标准方程,得圆C1:(x-1)2+(y-3)2=9,圆C2:(x-5)2+(y-6)2=61-m,则圆心C1(1,3),半径r1=3,圆心C2(5,6),半径r2=(m<61).
(1)若两圆外切,则|C1C2|=r1+r2,
即=3+,解得m=57.
(2)若两圆内切,则|C1C2|=|r1-r2|,
即=|3-|,解得m=-3.
14.解:(1)过圆C1与圆C2交点的直线,即为两圆公共弦所在的直线,两圆的方程相减,可得两圆公共弦所在直线的方程为x-y-1=0.
(2)设所求圆的方程为x2+y2-4x+2y+λ(x2+y2-2y-4)=0(λ≠-1),
则圆心坐标为.
∵圆心在直线2x+4y=1上,
∴将圆心坐标代入直线方程,得2·+4·=1,
解得λ=,
∴所求圆的方程为x2+y2-3x+y-1=0.
15.B　[解析] 圆C:(x+2)2+y2=1的圆心为C(-2,0),半径r=1,圆C1:(x-2)2+y2=3的圆心为C1(2,0),半径r1=.由弦长公式知,|AB|=2=2,可得|C1N|=1,所以点N在以C1(2,0)为圆心,1为半径的圆上,易知|MN|的最小值为|CC1|-r-1=4-1-1=2.故选B.
16.解: (1)设M(x0,y0),由点Q(4,0),点M是线段PQ的中点可得P(2x0-4,2y0),
因为点P在圆x2+y2=r2(r>0)上,所以(2x0-4)2+(2y0)2=r2,整理可得(x0-2)2+=r2,
即曲线C的方程为(x-2)2+y2=r2(r>0).
(2)设N(x,y),因为=2,所以=2,整理得(x+1)2+(y-1)2=8.
由题意知圆(x-2)2+y2=r2(r>0)与圆(x+1)2+(y-1)2=8有公共点,
所以≤≤r+2,解得2-4≤r≤2+4,
所以r的取值范围是[2-4,2+4].

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