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22.1二次函数的图像和性质（例题精讲与针对性训练）-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，，，都在抛物线上，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
6．二次函数的图象如图所示，无论x为何值时，的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了图中的表格，由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（ ）
…… 1 2 ……
…… ……
A． B． C．0 D．
8．抛物线的部分图像如图所示，顶点坐标，则以下结论：①；②；③若m为任意实数，；④一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．抛物线的对称轴是 ．
10．抛物线和轴所围成的封图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，则这个最大正方形的边长为 ．
11．已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ．
12．已知函数，当 时，它是二次函数．
13．如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B，D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．当抛物线是“美丽抛物线”时， ．
14．如图，一条抛物线（形状一定）与轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点在线段上移动，若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为 ．

15．若关于x的一元二次方程的一根，另一根，则抛物线的顶点到x轴距离的最小值是 ．
三、解答题
16．已知抛物线．
(1)求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与x轴总有两个公共点；
(2)若点，，都在抛物线上，且，求m的取值范围．
17．在二次函数（）中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
… …
… …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，求自变量的取值范围．
18．已知二次函数．
(1)当取何值非零实数，该二次函数图象都经过点，两点，求点和点 的坐标；
(2)若 和 是该二次函数图象上不同的两点，求证： ．
19．在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为．以点A为中心，构造正方形且轴．
(1)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连接BC．当时，求点B的坐标；
(2)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围．
20．抛物线过三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，抛物线上一点D在线段的上方，交于点E，若满足，求点的坐标；
(3)如图②，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A D B C D C
1．D
【分析】本题主要考查抛物线的平移以及抛物线的变化规律，按照“左加右减，上加下减”的规律进而求解即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即，
故选：Ｄ
2．A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
根据二次函数的顶点式的顶点坐标是，求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用二次函数的增减性判断函数值的大小是解本题的关键．
由抛物线，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，再结合，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
，
，
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合即可解决问题．
【详解】，
抛物线的对称轴为直线，
，，，
点在点、点的下方，
如图所示，
若，则（此时点的位置符合条件），
若，则（此时点的位置符合条件）．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了二次函数与系数的关系．根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
【详解】解：抛物线与直线交于，两点，
，
，
，
，
当，时，直线经过第一、二、三象限，
当，时，直线经过第二、三、四象限，
综上，直线一定经过二、三象限．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．根据函数图象，结合二次函数与一元二次方程的关系即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为抛物线开口向上，
所以．
又因为抛物线与轴没有交点，
所以．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．假设三点，，在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．
【详解】解：设二次函数解析式为，
假设三点，，在函数图象上，
把，，代入函数解析式得：，
解得，
函数解析式为，
当时，，
当时，，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由图像可知，，对称轴为直线，，则，进而可判断①的正误；由关于对称轴对称的点坐标为，由图像可知，，可得，进而可判断②的正误；由，可判断③的正误；由，可知的解，即为交点的横坐标，当时，，如图，可知，有两个不同的交点，即有两个不相等的实数根，进而可判断④的正误．
【详解】解：由图像可知，，，
∵其顶点坐标为，
∴对称轴为，，
∴，则，
∴，故①正确；
由对称轴可知关于对称轴对称的点坐标为，
由图像可知，，
∴，故②错误；
∵，，
∴为任意实数时，，故③正确；
∵，
∴的解，即为交点的横坐标，
当时，，
∵，图像向右下方倾斜，如图，
∴，有两个不同的交点，
即有两个不相等的实数根，故④正确；
故正确的有①③④，共3个，
故选：C．
9．直线
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
根据二次函数的性质确定对称轴即可．
【详解】解：由二次函数的性质可得：抛物线的对称轴是直线．
故答案为：直线．
10．/
【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题， 设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m，且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称，进而得出点B的坐标，然后把代入抛物线解析式即可求解即可得出答案．
【详解】解：如图：设最大正方形的边长为m，则B，C两点的纵坐标为m，
且由对称性可知，B，C两点关于抛物线对称轴对称．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点B的坐标为：，
∵点B在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），
∴m的值为．
故答案为：．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据“当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可．
【详解】解：∵当时y随x增大而减小； 当时y随x增大而增大，
∴对称轴为，开口向上，
∴符合条件的二次函数可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
12．1
【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，且，
解得或，且，
∴．
故答案为：1．
13．8
【分析】本题考查了二次函数的性质以及正方形的性质，根据“美丽抛物线”的定义，得出D的坐标为，再运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答．
【详解】解：依题意，∵
∴抛物线的顶点A的坐标为，点C的坐标为
∵“美丽抛物线”的定义
∴点D的坐标为
将代入，
得
解得（舍去）或．
故答案为：8
14．
【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点时，点的横坐标最小；当图象顶点在点时，点的横坐标最大．根据题意可知当图象顶点在点时，点的横坐标的最小值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在点时，点的横坐标最大，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论．
【详解】解：当图象顶点在时，点的横坐标的最小值为，
则可设此时抛物线的解析式为：，
将点的坐标代入得：，
解得．
当图像顶点在时，点的横坐标最大，此时抛物线的解析式为：，
令，则，
解得,，
因为点在点左侧
所以点横坐标的最大值为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与轴的交点之间的关系是解答此题的关键．
先根据关于的一元二次方程的一根，另一根求出的取值范围，再得出抛物线顶点的纵坐标表达式，把的取值代入即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一根，另一根，
令
则，
即，
解得，．
∵抛物线的顶点纵坐标为，
当时，；
当a时，，
∵，
∴顶点到x轴距离的最小值是．
故答案为：．
16．(1)见解析
(2)或．
【分析】（1）依据题意，由，从而，又，故，则，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由点,,都在抛物线上，从而抛物线的对称轴为，进而分与进行分类讨论，即可判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】（1）证明：由题意， ．
，
．
，
，即．
该抛物线与轴总有两个公共点．
（2）解：由题意，点，都在抛物线上，
抛物线的对称轴为．
当，即时，
，
可作抛物线草图如图1、2，
由图可知，此时点的横坐标小于0，与题目矛盾，
舍去．
当，即时，
，
可作抛物线草图如图
由图可得，
，
．
作抛物线草图如图
由图可得，
，
．
综上所述，的取值范围是或．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
（1）根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是，把点的坐标代入求出即可；
（2）求出时对应的的值，再根据二次函数的性质得出即可．
【详解】（1）解：根据表中可知：点和点关于对称轴对称，
即对称轴是直线，
设二次函数的表达式是，
把点和点代入得：，
解得：，，
，
所以该二次函数的表达式是；
（2）解：当时，，
解得：或，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴是直线，
∴当时，自变量的取值范围是．
18．(1)点 和点 的坐标分别为 和
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）由 ，得 ，根据题意即可求解；
（2）根据题意可得，对称轴为 ，解得的值，进而求解；
【详解】（1）解：由 ，得 ，
当取何值非零实数，该二次函数的图象都经过一个固定的点，
，
解得 或 ，
当 时，，当 时，，
点 和点 的坐标分别为 和
（2）点 和点 在该二次函数图象上，
抛物线的对称轴为 ，
又抛物线的对称轴为 ，
，解得 ，
把 代入 ，
得，
．
19．(1)
(2)m的取值范围是或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质：
（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出其对称轴，再由轴，得到、故对称轴对称，则点B到对称轴的距离为2，即点的横坐标为，据此求解即可；
（2）先证明在y轴上，如图2所示，求出点M恰好重合时m的值，如图3所示，求出落在抛物线对称轴上时m的值，两种临界根据结合函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入，得到，
该抛物线的解析式为．
如图，
，
抛物线对称轴为直线．
轴，
、关于对称轴对称，
∵，
∴点B到对称轴的距离为2，
点的横坐标为，
在中，当时，，
．
（2）解：如图中，
点的横坐标为，，，
．
正方形的边在轴上．
当点与重合时，由，
解得或．
．
观察图象可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大．
如图中，当落在抛物线的对称轴上时，，观察图象可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而减小．

综上所述，满足条件的的值为或．
20．(1)
(2)
(3)点的坐标为，，，
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的表达式，设点，则点，表示出即可求解；
（3）分情况讨论：当时；当时；当时利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：设直线的表达式为
则，解得：
∴直线的表达式为
设点，则点
∴
设直线与直线交于点G，
∵
∴，，
在中，
∵，
∴，解得：（舍）
∴
（3）根据题意得，为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则为等
腰直角三角形，
分三种情况：
若，如图，过点P作轴，过点Q作，过点B作
∵
∴
∴
∴，
∴；
如图，
同理可证
∴，
∴；
若，如图，
同理可证
∴，
∴
∴；
如图，同理可得：
∴
∴；
若，如图，
过点Q作
同理可证
∵
此时不存在符合条件的P，Q
综上：点的坐标为，，，，
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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