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26.2二次函数的图象与性质
——九年级数学华东师大版（2012）下册课前导学
一、知识详解
1.二次函数的性质：
一般地，当a＞0时，抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点，a越大，抛物线的开口越 ．
一般地，当a＜0时，抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点，a越小，抛物线的开口越 ．
2.通过 法画出和的图像：
通过图像可知：
的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ．
的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ．
3.抛物线与抛物线的关系：
若k＞0，抛物线向 平移k个单位就得到抛物线y＝ax2＋k
若k＜0，抛物线向 平移|k|个单位就得到抛物线y＝ax2 －|k|
4.抛物线的图象相当于把抛物线的图象 （k＞0）或 （k＜0）平移 个单位．
5.当a＞0时，抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x＝0时，y有最 值为k，当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 ．
当a＜0时，抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x＝0时，y有最 值为k，当x＜0时，y随x的增大而 ；当x＞0时，y随x的增大而 ．
6.通过 法画出和的图象
通过图象可知：
的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ．
的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ．
7.抛物线与抛物线的关系：
若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线；
若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线
8.抛物线的图象相当于把抛物线的图象 （h＞0）或 （h＜0）平移 个单位．
9.当a＞0时，抛物线的开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当x＝h时，y有最 值为0，当x＜h时，y随x的增大而 ；当x＞h时，y随x的增大而 ．
当a＜0时，抛物线的开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当x＝h时，y有最 值为0，当x＜h时，y随x的增大而 ；当x＞h时，y随x的增大而 ．
10.通过 法画出的图象
通过图象可知：
的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ．
11.抛物线的性质：
（1） 的符号决定抛物线的开口方向；
（2）对称轴是直线 ；
（3）顶点坐标是
12.观察二次函数的图象回答问题：
配方得：y＝
当x＜－1时，y随x增大而 ；
当x＝－1时，y最大值为 ；
当x＞－1时，y随x增大而 ．
13.将变成的形式：＝ ；
二次函数的对称轴为：x＝ ，顶点坐标为( )
14.当a＜0时，的开口方向 顶点坐标 对称轴 在对称轴左侧，即当x＜时，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，即当x＞时，y随x的增大而 ，当x＝时，y有最大值y＝
15.同确定一次函数一样，类似要确定二次函数，需求出a、b、c的值，用 法，由三点（任意两点连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于a、b、c的三元一次方程组求出a、b、c的值．
二、题目速练
1.对于函数的图象,下列说法不正确的是( )
A.开口向下 B.对称轴是
C.最大值为0 D.交y轴于点
2.在二次函数的图象上,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.在同一坐标系中,二次函数和一次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.把抛物线向左平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
5.二次函数的图象如图所示,下列四个选项中,正确的是( )
A., B., C., D.,
6.已知点,都在函数的图象上,则与大小关系是__________(填>,<或=).
7.已知二次函数,当时,y的取值范围为__________.
8.已知函数图象如图所示,根据图象可得：
(1)抛物线顶点坐标___________.
(2)对称轴为___________.
(3)当___________时,y有最大值是___________.
(4)当___________时,y随着x的增大而增大.
(5)当___________时,.
9.已知抛物线顶点是且经过点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线与y轴的交点坐标.
10.已知二次函数.
（1）写出它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（2）当m为何值时，顶点在x轴上方？
（3）若抛物线与y轴交于点A，过点A作轴交抛物线于另一点B，当时，求此二次函数的表达式.
答案及解析
一、知识详解
1.向上；y轴；原点；低；小；向下；y轴；原点；高；小
2.描点；向上；y轴；；向上；y轴；
3.上；下
4.向上；向下；
5.向上；y轴；；小；减小；增大；向下；y轴；；大；增大；减小
6.描点；向下；；；向上；；
7.右；左
8.向右；向左；
9.向上；；；小；减小；增大；向下；；；大；增大；减小
10.描点；向下；；
11.；；
12.；增大；3；减小
13.；；（，）
14.向下；（，）； x＝；增大；减小；
15.待定系数
二、题目速练
1.答案：B
解析：对于函数的图象,
∵,
∴开口向下,对称轴,顶点坐标为,函数有最大值0,
时,,
交y轴于点,
故A、C、D正确,
故选：B.
2.答案：D
解析：由题意,,
又抛物线开口向上,
当时,y随x的增大而增大.
故选：D.
3.答案：B
解析：A、由抛物线可知,,由直线可知,,故此选项不符合题意；
B、由抛物线可知,,由直线可知,,都过点,故此选项符合题意；
C、由抛物线可知,,由直线可知,,故此选项不符合题意；
D、由抛物线可知,,由直线可知,,故此选项不符合题意.
故选：B.
4.答案：C
解析：∵抛物线,
∴顶点坐标为,
∴把点,向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到,
故选：C.
5.答案：A
解析：由函数图象知,二次函数的图象顶点在第二象限,
∵顶点坐标为,
∴,,
∴,,
故选：A.
6.答案：>
解析：∵,
∴当时,y随x的增大而减小,
∵,
∴；
故答案为：>.
7.答案：
解析：∵
∴二次函数开口向下,
∵对称轴为,且,
∴离对称轴距离越远的,函数值越小,即当时,y取的最小值为：
当时,y取的最大值为：,
∴当时,,y的取值范围为.
故答案为：.
8.答案：(1)
(2)直线
(3),2
(4)
(5)
解析：(1)抛物线与x轴交于点,,
顶点横坐标为,
由图可知顶点纵坐标为2,
顶点坐标为；
(2)对称轴为直线；
(3)当时,y有最大值是2；
(4)当时,y随着x得增大而增大；
(5)当时,.
9.答案：(1)
(2)该抛物线与y轴的交点坐标为
解析：(1)抛物线顶点是,
设抛物线的解析式为,
抛物线经过点,
,
解得：,
抛物线的解析式为,即；
(2)令,则,
该抛物线与y轴的交点坐标为.
10.答案：（1）对称轴为直线，顶点坐标为
（2）
（3）或
解析：（1），该函数图象开口向上，对称轴为直线，即直线.由，知顶点坐标为.
（2）由顶点在x轴上方，可得，解得.当时，顶点在x轴上方.
（3）令，则，.
轴，点A，B关于直线对称，
，
，解得.
二次函数的表达式为或.

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