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2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）
一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。
1.若实数满足，则的值为______．
2.设无穷等比数列的公比满足若的各项和等于各项的平方和，则的取值范围是______．
3.设实数，满足：集合与的交集为，则的值为______．
4.在三棱锥中，若底面，且棱，，，的长分别为，，，，则该三棱锥的体积为______．
5.一个不均匀的骰子，掷出，，，，，点的概率依次成等差数列独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为，若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为______．
6.设是定义域为、最小正周期为的函数若函数在区间上的零点个数为，则在区间上的零点个数为______．
7.设，为椭圆的焦点，在上取一点异于长轴端点，记为的外心，若，则的离心率的最小值为______．
8.若三个正整数，，的位数之和为，且组成，，的个数码能排列为，，，，，，，，则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组满足的幸运数组的个数为______．
二、解答题：本题共3小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.本小题分
在中，已知，求的值．
10.本小题分
在平面直角坐标系中，双曲线：的右顶点为将圆心在轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”若两个好圆外切于点，圆心距为，求的所有可能的值．
11.本小题分
设复数，满足，求的最小可能值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.解：由题意知，，
所以，
所以或，即或，
当时，，且，
由，知，即，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以，解得或舍负，
所以；
当时，，所以，此时，
而，所以，所以，与相矛盾，
所以不成立，
综上，．
10.解：考虑以为圆心的好圆．
由与的方程联立消去，得关于的二次方程．
根据条件，该方程的判别式，因此．
对于外切于点的两个好圆，，显然在轴上．
设，，的半径分别为，，
不妨设，的圆心分别为，，
则有，，
两式相减得，而，故化简得，
进而，整理得，
由于，，，
而可等价地写为，即，
所以．
11.解：根据，得，
可得．
．
以上两式的最右边各项分别是到复平面中实轴上的点，，
，的距离，
将换成其实部时，各个距离都不会增大，
因此只需考虑函数在上的最小值．
由的根为，的根为，
且，分以下几种情况讨论：
若，则，在上的最小值为；
若，则，此时的最小值为；
若，则，此时的最小值为；
若，则，此时的最小值为；
若，则，在的最小值为．
综上所述，在上的最小值为．
即的最小可能值是．
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