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2.2双曲线
——高二数学北师大版(2019)选择性必修一课时优化训练
1.已知双曲线的左右焦点,,P是双曲线上一点,,则( )
A.1或13 B.1 C.13 D.9
2.已知双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为1,则E的离心率为( )
A. B. C.2 D.
3.以双曲线C：的实轴与虚轴端点为顶点的四边形各边中点恰在双曲线的渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
5.过双曲线（，）的左焦点作x轴的垂线交双曲线于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
6.直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则离心率( )
A.4 B.3 C. D.
7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，且，则( )
A.2 B. C. D.
8.已知点P为双曲线右支上一点,点,分别为双曲线的左右焦点,点I是的内心（三角形内切圆的圆心）,若恒有成立,则双曲线的离心率取值范围是( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知双曲线,则下列说法正确是( )
A.双曲线C的实轴长为 B.双曲线C的焦距为
C.双曲线C的离心率为 D.双曲线C的渐近线方程为
10.（多选）已知F是双曲线的右焦点,P为其左支上一点,点,则( )
A.双曲线的焦距为6
B.点F到渐近线的距离为2
C.的最小值为
D.若,则的面积为
11.双曲线的一个焦点是,则_______________.
12.已知双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为______.
13.椭圆与双曲线有相同的焦点，，若曲线，有一个公共点P，则的面积为________.
14.已知双曲线C的方程为,实轴长和离心率均为2.
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
（2）过且倾斜角为的直线l与双曲线C交于M,N两点,求的值（0为坐标原点）.
15.已知双曲线的离心率为，虚轴长为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值．
答案以及解析
1.答案：C
解析：根据双曲线定义可得,又,
所以或,
又,
解得,即,
又,
所以
故选:C
2.答案：A
解析：由题意可知,双曲线焦点在x轴,,右焦点到渐近线的距离,
所以,,.
故选：A.
3.答案：A
解析：由题意可得点在直线上，所以，，双曲线C的离心率，故选A.
4.答案：C
解析：由题意得：；
（当且仅当时取等号），当取最小值时，双曲线的离心率为.
故选：C.
5.答案：B
解析：依题意可得，是等腰直角三角形
所以
则，.
根据双曲线的几何定义可得，，所以，则，
故选：B
6.答案：C
解析：联立，得，由韦达定理得，解得，.
7.答案：D
解析：依题意可得A，B关于原点O对称，不妨设点A在第一象限，连接、，
又，则四边形为矩形，
所以，则，
所以，即，即，又，解得，
所以.
故选：D
8.答案：D
解析：设的内切圆半径为r,
由双曲线的定义得,
,,
,
由题意得,
故,
故,又,
所以,双曲线的离心率取值范围是,故选D.
9.答案：BC
解析:双曲线,则,,,双曲线C的实轴长为,故A错误;双曲线C的焦距为,故B正确;双曲线C的离心率,故C正确;
双曲线C的渐近线方程为,故D错误.
故选:BC.
10.答案：AC
解析：如图:
由双曲线的标准方程,可知,,所以,所以双曲线的焦距为:,故A正确;
双曲线的渐近线为,即,点到渐近线的距离为:
,故B错误;
设双曲线的左焦点为,根据双曲线的定义:,
所以,故C正确;
在中,由,,,
由余弦定理得:,
所以,
所以,所以,故D错误.
故选:AC
11.答案：
解析：双曲线方程为,依题意,,所以.
故答案为：.
12.答案：
解析：双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以有，故双曲线，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
13.答案：24
解析：长轴为，的实轴长为2，焦点为，即，
不妨设P在第一象限，
根据双曲线的定义和椭圆的定义可得，，
解得，，又，因此，
所以为直角三角形，因此，
故答案为：24.
14.答案：（1）
（2）1
解析：（1）由离心率,又,,
又长轴长,所以,所以,
故双曲线的标准方程为;
其渐近线方程为.
（2）直线l的倾斜角为,故其斜率为1,又l过点,
的方程为;
设,
则由得,
,,
15.答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）因为虚轴长为，所以，
因为，且，所以，
故双曲线C的方程为．
（2）
当直线l的斜率不存在时，l的方程为，
此时，，
当直线l的斜率存在时，不设直线，且，
联立方程组，得，
由，得，
不妨设l与的交点为P，则，得，
同理可得，
所以，
因为原点O到直线l的距离，
所以，
因为，所以，
综上，的面积为定值，定值为．

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