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25.2用列举法求概率
第二十五章 概率初步
学习目标
能用列举法（包括直接列举法、列表法、画树状图法）求事件的概率；
能根据不同的情况选择恰当的方法进行列举.
新知导入
掷一枚硬币，正面向上的概率是______．
掷一枚硬币，可能出现的结果有2种:
正面朝上，反面朝上．
这两个结果出现的可能性是相同的.
【思考】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，能产生的结果有哪些？
探究新知
探究一：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，能产生哪些结果？
3种结果
4种结果
正正
一正一反
反反
正正
正反、反正
反反
正正
正反
反正
反反
所有可能的结果共4种，这四种结果出现的可能性相等.
探究新知
探究一：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率:
(1)两枚硬币全部正面向上；
(2)两枚硬币全部反面向上；
(3)一枚硬币正面向上；一枚硬币反面向上．
解：列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是：正正，正反，反正，反反.所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的可能性相等
（1）所有可能的结果中，满足两枚硬币全部正面向上（记为事件A）的结果只有1种，即“正正”，所以
探究新知
（2）两枚硬币全部反面向上（记为事件B）的结果也只有1种，即“反反”，所以
（3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上（记为事件C）的结果共有2种，即“反正”“正反”，所以
探究一：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率:
(1)两枚硬币全部正面向上；
(2)两枚硬币全部反面向上；
(3)一枚硬币正面向上；一枚硬币反面向上．
归纳总结
直接用列举法求概率
当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的结果，再利用概率公式 （在一次试验中，有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果）求事件发生的概率.
探究新知
【思考】先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，能产生的结果有哪些？与同时抛掷两枚质地均匀的硬币产生的结果一样吗？
所有可能的结果共4种，
这四种结果出现的可能性相等.
正正
正反
反正
反反
先抛掷的
后抛掷的
一样
归纳：随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.
探究新知
探究二：同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两枚骰子的点数相同；
（2）两枚骰子点数的和是9；
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
当一次试验是掷两枚骰子时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
两个因素
探究新知
解：两枚骰子分别记为第 1 枚和第 2 枚，可以用下表列举出所有可能的结果．
第一枚 第二枚 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
探究新知
同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两枚骰子的点数相同；
两枚骰子点数相同（记为事件 A）的结果有 6种，
即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
所以
由表格可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等．
探究新知
同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（2）两枚骰子点数的和是9；
两枚骰子点数的和是 9 （记为事件 B）的结果有 4种，
即(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3).
所以
探究新知
同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
至少有一枚骰子的点数为2 （记为事件 C）的结果有 11种，
即(1，2)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)， (2，1)，
(2，3)，(2，4)， ( 2，5)，(2，6).
所以
归纳总结
2.适用条件：
如果事件中各种结果出现的可能性相等，含有两次操作(如掷骰子两次)或两个条件(如掷两个骰子)的事件．
1.用列表法求概率的步骤：
①列表；
②通过表格计数，确定n和m的值；
③利用概率公式 计算出事件的概率．
注意：在运用列表法分析随机事件发生的概率时，数据或事件的顺序不能混淆，如(1，2)与(2，1)不是相同的事件.
探究新知
探究三：同时抛掷三枚硬币，求下列事件的概率
（1）三枚硬币全部正面向上；
（2）两枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上；
（3）至少有两枚硬币正面向上.
当一次试验涉及 3 个因素或更多的因素时，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法.
可以用列表法解决这个问题吗？
探究新知
画树状图如下：
正
反
第①枚
正
反
正
反
第②枚
正
反
正
反
正
反
正
反
第③枚
正
正
正
反正正
正
反正
正
反反
反反正
反正反
正
正
反
反反反
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有 8 种.
且这些结果出现的可能性相等.
探究新知
同时抛掷三枚硬币，求下列事件的概率
（1）三枚硬币全部正面向上；
（1）三枚硬币全部正面向上（记为事件A）的结果只有1种，则
正
正
正
反正正
正
反正
正
反反
反反正
反正反
正
正
反
反反反
探究新知
同时抛掷三枚硬币，求下列事件的概率
（2）两枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上；
（2）两枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上（记为事件B）的结果有3种，则
正
正
正
反正正
正
反正
正
反反
反反正
反正反
正
正
反
反反反
探究新知
同时抛掷三枚硬币，求下列事件的概率
（3）至少有两枚硬币正面向上.
（3）至少有两枚硬币正面向上（记为事件C）的结果有4种，则
正
正
正
反正正
正
反正
正
反反
反反正
反正反
正
正
反
反反反
归纳总结
（1）列表法和树状图法的优点是什么
利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某些事件发生的概率.
（2）什么时候使用列表法方便 什么时候使用树状图法方便
当试验包含两步时，列表法比较方便（此时也可以用树状图法）；
当试验在三步或三步以上时，用树状图法更方便.
1. 可能出现的结果只有有限个；2. 各种结果出现的可能性大小相等.
注意：用列表法或树状图法求概率的前提:
例题练习
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母 A 和 B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母 C，D 和 E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母 H 和 I.从三个口袋中各随机取出1个小球.
(1) 取出的3个小球上恰好有1个、2个、3个元音字母的概率分别是多少？
(2) 取出的3个小球上全部是辅音字母的概率是多少？
本题中，A，E，I是元音字母；B，C，D，H是辅音字母.
例题练习
解：根据题意，可以画出如下树状图：
丙
甲
乙
B
A
E
C
D
E
C
D
I
H
I
H
I
H
I
H
I
H
I
H
ACH
ACI
ADH
ADI
AEH
AEI
BCH
BCI
BDH
BDI
BEH
BEI
例题练习
由树状图可以看出，可能出现的结果共有 12 种，且这些结果出现的可能性相等．
(1) 只有 1 个元音字母的结果 有 5 种，即 ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以 P(1个元音) = .
有2个元音字母的结果 有 4 种，即 ACI，ADI，AEH，BEI，
所以 P(2个元音) = = .
ACH
ACI
ADH
ADI
AEH
AEI
BCH
BCI
BDH
BDI
BEH
BEI
全部为元音字母的结果 有 1 种，即 AEI，所以 P(3个元音) = .
例题练习
ACH
ACI
ADH
ADI
AEH
AEI
BCH
BCI
BDH
BDI
BEH
BEI
(2) 全部是辅音字母的结果 有 2 种，即 BCH，BDH，
所以 P(3个辅音) = = .
由树状图可以看出，可能出现的结果共有 12 种，且这些结果出现的可能性相等．
C
D
C
C
A
A
小结
用列举法求概率
列表法求概率：
当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法求概率：
当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法求事件的概率．
谢谢各位同学的观看

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