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高三年级10月份联考
数 学
注意事项：
1 .答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4 .本试卷主要考试内容:集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式、平
面向量与复数、数列、函数与基本初等函数、一元函数的导数及其应用、三角函数与解
三角形、立体几何。
地 一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
脚 1 .设集合4 = {制一12+8%>0},8 =①|1=3左一1/61>1},则4 08 =
A. {-1,2,5} B. {2,5,8}
C. {2,5} D. {1,3,5}
2 .若复数 z 满足(2+i) z=5+5i,贝lj =
■E A. 3+i B. 3—i
C. l+3i D. l-3i
.
3 .已知a=33 ,6=95 ,c=lg 8,则a ,b,c的大小关系是
葡 A. b>a>c B.a >b>c
C. c>a>b D. c>6>a
恭 4 .设数列(a”)的前加项和为S"，若。”=胸+8,曲5=38,贝！I S】o =
A. 100 B. 110 C.210 D. 190
5 .已知某圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为2痣，则该圆台的体积为
A. 65/3 7r B. —C. 7-73 tv D.好兀
J O
6,已知平面向量a,b均为非零向量，则，〃产是“|a+b | + |b| = |a |"的
A.必要不充分条件 B,充分不必要条件
C,充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7 .已知函数"i)=sin2z+aco8 2x的图象关于直线对称,则当工 [0,24时，曲线
f (l)与y=cosx的交点个数为
. A3 B. 6 C,5 D.4
【高三数学第1页供4页)】
8 .如图，已知AA】为某建筑物的高,BB】，CG分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高,A1,
B】，G分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上,A,B,C分别为该建筑物、甲、乙
的顶点，经测量得A】Bi =80米,CG =86米,NGAIi =48. 60°,NACB】 =30°,在C点
测得B点的仰角为33. 69°,在B点测得4点的仰角为51 34°,则该建筑物的高约为(参
考数据：tan 33. 69°七0. 667,tan 51. 34°^ 1. 250,sin 48. 60°=0. 750) 力
A. 268 米 b/ \
B.265 米
C.266米 眉上
D. 267米 ,小
二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知 tan(n—< ) =—4,则
A. tan a =-4
C. tan 2a=l-o-
D. sin 2a=卷
10.如图，在等腰梯形ABC。中,E为腰CD的由点'BC = 3AD = 3,NA3C = Sn是梯形
o
ABCD内(包含边界)任意一点,AC与班 交于点O,则
——>- 1 . -A 2 —
A BE=-zBA+-rBC
u o
c.或 武的最小值为o
AN的最大值为春
1L已知数列W位一3 2"｝是常数列，且媒i=9,则
A.aJOo>9X4J00
.v^=7=+3+J ^/7~+3- …+/ +3_170b e V 2^3 V 尸8 0 =一虹011
C,i5r^1,1, 4_ 1 ,11廿五
D. - 1 — :7 1 —rr+... 4- 1 -：=>6
11限（年 + 1） jl°g2（等+ 1） /|。&（4^ + 1）
【高三数学 第2页(共4页)】
三、填空题:本题共3小题,每小题5分供15分.
12. 已知命题+8),2%—机+1=0”是假命题，则机的取值范围是 ▲
13. 已知8>0,函数/Cr)=sin(wr—^)在［—3兀皿用上单调递增,则co的最大值为 ▲ _>
14. 曲线y = ln#与曲线)=*充2的公切线方程为 ▲ .
四、解答题:本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 aABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,6,c,若(a—c)(sinA+sin C) = S—痣 c)sin B.
(1)求角A的大小；
(2)若a=V7,c = l,求 6sin C 的值.
1
16. （15 分）
如图，在五棱锥 P-ABCDE 中,AB_LAE常"LB M =AE=2DE=2BC=2t
PA=272 ,PB=PE=2^3.
(1)证明:PA_L 平面 ABCDE.
(2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.
17. (15 分)
已知函数 f(x)=2a (x-l)e1 —x2 (a>0),
(1)当OVaVl时，讨论/(1)的单调性J
⑵若不等式/(—>/一4“e4■对力6( - 1,+8)恒成立，求口的取值范围.
【高三数学 第3页(共4页)】
18. (17 分)
已知数列(Q0｝，S"｝满足a1=61=l,a +i=6 +2,6 +1=3a .
⑴求如也的值；
(2)求｛0”｝,｛h｝的通项公式；
(3)求数列｝的前Zn项和T2n.
鼻
19. (17 分) 胜
定义:对于函数 ”z),g(z),若 Va,6,cG(0,+8),”a)+f(6)>&(c),则称V(z) —
gGC)” 涉为三角形函数.
(D已知函数f(z)=zTnz,若g(1)为二次函数，且g(2-i)=g(z),写出一个gGr),使
2-
得“f G)-g G) ”为三角形函数；
⑵已知函数"z)= 再^，］ (0，+8),若“八-―”-"为三角形函数，求t的取值 引
范围； Unj
(3)若函数 f Gc)=1—In ngGr) = ln(z+l)—zln z+z,证明："f (%)—gGr)”为三角形
函数(参考数据:In方*0. 405) *
【高三数学第4页(共4页)】
高三年级10月份联考
数学参考答案
1.C 依题意得八={ |0〈1〈8},3 = { - 1,2,5,8产 },则403 = {2,5}.
5+5i (5+5i)(2—i) 10—5i4~10i—5i2
2. B 由题意得z +7 (2+i)(2—i) = 3+i,z=3 -i.
1 12 1
3. A a=33 >3° = 1 " = 9$ =35 >33 =a ,c = lg 8V1g 10=1,所以 b>a>c.
4. D 由 a〃 =入〃 + 8,得 q ]5 = 15入 + 8=38，解得入=2,则 q〃 = 2〃 + 8,则 a 1=10,a〃+] —a〃 = 2,
所以储"是以10为首项,2为公差的等差数列，则510 = 10义10+”|火* 2=190.
5. B 根据题意可得该圆台的体积为《义* (兀 12+兀义22+/^了又不谡)又2打= 兀
O O
6. A 由 |a+8| + |b| = |a | 可得 |a+b| = |a | 一 |b|,平方可得。2+2。 b+b2 = | a |2 —
2|°|闻+闻2,解得。 5 = 一用|闻，所以。,。反向,故“%”是“|〃+6| +闻=|<1|"的
必要不充分条件.
7. D 由题可知/(0)=/(/)，则。=与+全解得a=居所以/(.r)=sin 2^+73 cos 21=
2sin(2^-+y).在坐标系中结合五点法画出丁 =f(i)与y=cos x的函数图象，如图所示.
O
由图可知，共有4个交点.
8. C 分别过B,C作BF_LAA】，CD_LBB】，垂足分别为F,D,过D作DE±AA},
垂足为E.根据题意易得NABF=51. 34\ZBCD = 33. 69°.在中，由正
弦定理得 31cl — sin/A C B = j — 120 米.在 RtZ\BCD 中，

BD = 120tan 33. 69°480. 04 米，在 RtAABF 中，AF = 80tan 51. 34°弋80X 1. 250
= 100 米，所以 AA】=CG +BD+AF=86+80. 04+100=266 米.
9. BD 由 tan(7r-a) = -4,得 tan a =4,贝lj tan( -7—a) = tan q = 1—1 = — A tan 2a =
\ 4 / 1 + tan a 1+4 5
2tan a _8 2sin acos a 2 tan a 8
15 sin 2a = 2sin a cos a1 - tan， sin，+ cos2a tan2a + 1 vi'
【高三数学 参考答案 第1页(共6页)】
10. ABD BE = y(BC+BD) = -(BC+BA+AD)=yBA + -BC,A 正确；设 BO=mBE,
乙 乙 乙 J
则坊=竽谟+竽前，因为A,0(三点共线，所以4■ +粤=1,解得根=],B正确；由
乙 J 乙 J /
BC=3AD = 3,/ABC = TT ，可得BA = 2, 一 结合向量数量积的定义式，可知BE - AN等于
O
BE的模与权在船方向上的投影的乘积，易知当点N位于点B时，前 AN取得最小
值，最小值为谦.疝=_前 互不+，法)=_ 义22_ ><2乂3乂3 = _4,(3错
A A A 1 A 2 A \
误；当点N为位于点C时,BE -AN取得最大值，最大值为BE - AC= (yBA4--BC)
乙 o
(BC-BA) = -4-BA2 ~^BA 诚+ 炭？，口 正确.
L 6 3 Z
11. BCD 依题意得，丁一3 2"=E-3X2 = —3,所以 a = (3 - 2H-3)2 = 9^ (2" - 1》，
3 2” i 1
aioongxBiw-DZvgx/W,A错误.因为 =9(2" —1)(24一1) F0三
寻口)，所以v^7+3 a/o7+3 \/a7 + 3 1 1 1
.-, H ， 十,
i a 2 a/a2a3 〃a8a9 3 '-1 然' 22-1 23-1
1 1 )T9 1 1 )=七米岑=/,8正确.因为 1 128-1 29-1 -1 29-1 7 3 oil 511 ，向 3 (2" - 1)
1 , 5 1 , 1 1
1声，当且仅当〃=1时.等号成立.所以 3 a/ 7 J~a[ \fa[ 0
5 1 , 1
「 +…+3v||v4,c正确.因为
1 1
T ，即
‘9 v i v 2 向 32 16
log + 1)
2 2 ____ 1
后卢赤7市=2(许一必7),所以 卜…+
log2 log2
>2(飞一/1^+废一/11+…+力一力j = 6,D正确.
logs
12. (—8,3]由题意得“V] (1,+8),2% —7〃+ 1 力0”是真命题，故#24+1,因为2l +1
(3,+8),所以m的取值范围是(一8,31
13. y因为] [―3兀必/],所以ear 一孑 2 兀 2 T~O) K------4厂 ，3 K------T
,又 /(x) = sin(au --J
4 J
3 27t ___ _4__)______ L2
在[一3n,37rl上单调递增，所以< 解得0<343,则aj的最大值为
2 _*々兀
3 K Z02,
【高三数学 参考答案 第2页(共6页)】
14 . 一2石y 一芯=0(或 y=^-j：—设 f (力)=ln Z,g (z),设 / ：)= I+〃 与曲
线丁=/(支)相切于点AO[，〉1),与曲线>y=g(i)相切于点3(力2，、2)，由/"(力)=,，得k
x
=2■，则, Ri +A = In x\，即 1 +〃 = In ①.由 /( )= ']，得为=~^2，则+〃 =
①[ ]] e e e
袅，即人=一；6②.易得,=!交，即为= ③,将②③代人①，可得e-2eln夫=0.
Ze Ze X\ e x2
2e 9( r2—p) _
令 h (x) =x2 ~2e\n 彳，则 h' (t) = 21--- =--------- ，当 0x x
调递减，当N>6时,，(力)>0,/](力)单调递增，所以〃(])>〃(6)=e—2eln 6 = 0,当且
仅当才=6时，等号成立,则以—卜号"一喜=得,故曲线与曲
线y = \]2的公切线方程为y="z —■，即2#—2石；厂芯=0.
15 .解：(1)由(。—c)(sin A +sin C) = (b—V3c)sin B ,得(a —c)(a +c) =(b—Bc)b,. 2 分
即 a~ ~ c~ =lr -J^bcily c~ — a1 =x/36c cos A ~=^~= ... 4 分
log Lbc c
因为 Ae(0,7t),所以 A = 3................ ...... ....................... 6 分
0
(2)在AABC Jr 1+〃 2—7中，由余弦定理有cos*=：？； ，................................ 8分
6 Lb
解得6 = 2痣或一乃(舍去). .................................................. 10分
根据正弦定理可得」7；= 上，解得sinC=监，............................. 12分
, sm C .江 14
sin —6
则〃sin C = 2点乂g=亨. .................................................13分
16 . (1)证明：因为 PA = 2笈，PB = 2%,PE = 2Q,AB=AE=2,
PA2+AB2 = PB2,PA2+AE2=PE2, ................................. 2 分
贝ij PA」_AB,PA_LAE, ................................................... 4 分
因为 AB 0AE=A ,ABU平面 ABCDE,AEU平面 ABCDE,所以 PA J_平面 ABCDE.
.....................................................................6分
(2)解:根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系.
P(0,0,25/2),C(2,b0),D(l,2,0),........................... 7分
则定=(2,1,—2笈)，⑸=(-1,1,0)........................ 8分
易得平面PAB的一个法向量为〃 =(0,1,0),................... 9分
设平面PCD的法向量为6= (z,y,N),
【高三数学 参考答案 第3页(共6页)】
, PC = 2xJry—2j2z=0, 八
则1 ........................................... 11分
(/n CD = -jt+j>=0,
可取/n = (29,2虑,3). ................................................. 12分
设平面尸AB与平面PCD的夹角为。，........................................ 13分
则 cos 0= | cosx/8+8+9- 5
即平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为............................. 15分
17 .解：(1)由题意得 f/(x)=2aex+2a(x-l)er-2x = 2axer-2x=2x(aer-l). .. 2 分
1
当 0a
当力<0时,/(了)>0 JCr)在(一8,0)上单调递增,............................. 4分
当 0当z> —In a时,/'(1)>0,/(%)在(一In a ,+8)上单调递增. ......... s….….4 6分
故当0上单调递增. ....................... ................ ....... . .. .............. 7 分
(2)由/'(2)>之一4ae，得(久 + ])(246"一i)>0, ..... . . .................... 8 分
因为#〉_1,所以# + 1〉。,则2a>( )鹏.—. .. ..........................9分
令 g0) = 10> —1),贝I」= ...................................... 10 分
e e
当一IVrVl时,/(1)〉。落(久)单调递增，当x>1时,/(#)V0,g(久)单调递减，...
1
则g(%)在久=1处取容极大值，也就是最大值，所以g(G&g(l)= %，......... 13分
则2& ，,所以4>^~,故。的取值范围为(2，+8). ....................... 15分
v 乙e 乙e
18 .解：(1)根据题意可得。2=仇+2 = 3,....................................... 1分
Z>2 = 3 i =3. ............................................................. 2 分
(2)依题意得 a“+2=〃”+i+2 = 3a”+2,则 a”+2 + l = 3(a” + l),所以‘匚量' = 3. ... 3 分
a”十1
当〃为奇数时,a”+l = (ai+l)X3y ,即 a”=2X3*-l, ..................... 5 分
n
当〃为偶数时,6”=。"+1—2=2乂30-3,..................................... 6分
”—2 〃—2
当〃为偶数时，。”+1 =(牝 + 1)><3h，即 a”=4X3丁— 1, ..................... 7 分
当〃为奇数时，〃“=4”+]-2 = 4X3y一3. ................................... 8分
”-1
f2X3丁一 1,7 为奇数，
综上,a”=〈 0 ...........................................9分
〔4X3 2 —1,〃 为偶数，
【高三数学 参考答案 第4页(共6页)】
[4X3 2 -3,〃 为奇数，
b =< ............................................... 10 分
(2X3y-3,n 为偶数.
[4 , 3 2 —3〃，〃 为奇数，
(3)由(2)得环”=《 .................................... 11分
(2n , 32 —3n,w 为偶数.
1 - 1 3一】 5一】 2“ 一】一1
设 乂=4义1义3H+4义3义3丁+4乂5>3丁H-- F4 (2〃-1) 3-^- =4[1 X30+3X3】
+5X32H--- F(2n-l) 3"一叮，
贝I」3M=4[1X31+3X32+5X33H--- - 3”],
两式相减得一2M = 4[1X30 + 2X31 +2X324---72 3"~'-(2^-1) 3"] = 4 + 8
1 — 3,1-1)
一~一 —4 (2//-1) 3" =8(I-; ) 3"-8, ........................... 12 分
则 M=4(〃一l) 3"+4. ................................................. 13 分
2 JL 色 21
设 N = 2X2X32+2X4X32+2X6X32d--- F2 2〃 37
= 2(2X3'+4X32H--- 3"),
则 3N = 2(2X32+4X33+6X34H--- 3"】)，
两式相减得一2/7 = 2(2X3+2X32+2X33 +…+2 3”—2〃 3,,+,)
/
=4 —―-— 4〃 3"+1=2(1一2〃) 3"+】-6， ........................... 14 分
1 — 3
则 N = (2〃 - 1) 3"1+3. ..... 15 分
故 T2 =M+N-3 -。+2六2"
乙
=4(〃-1) 3"+4 + (2〃-1) 3"+】+3—3 (1+2〃) 〃 ..................... 16 分
=(10% — 7) 3"-6/ — 3〃 + * ............................................ 17 分
19. (1)解冲/(a )=Hr-ln1,可得/'Cz) = l— ｝，令/'(I)>0,解得1>1,令/'Cz)V0,解得
0<才<1,可知/(元)在(0,1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增，
所以/Cz)的最小值为/(1) = L ........................................... 2分
因为“/(1)一8(7)”为三角形函数,所以7, (0,+8)唔(0<2.
因为g(2-i)=g(i),所以gCr)的图象关于直线1 = 1对称，又g(%)为二次函数，所以
g( z) = —7+2n.(答案不唯一，只需满足 g(z)=aa，-2az+c ,且 c—a<2,a<0 即可)
.................................................................4分
2，+t 2，+2+2 — 2
(2)解：/( ) = 1
2'+2 2,+2
当 /-2=0,即 /=2 时,/Cz) = l,此时/(a)=/S)=/(c) = l,满足/(a)+f")〉/(c),
符合题意；.................................................................... 5分
当/一2>0,即1>2时,/Cz)是(0,+8)上的减函数，所以/Cr)的值域为(1,中)，
O
因为"4,〃，。 (0,+8),/(0)+/3)>/(°),所以1 + 1>-^-,得2< &5； ..... 7 分
O
【高三数学 参考答案 第5页(共6页)】
当/一2<0,即t<2时,/Cz）是（0,+8）上的增函数，所以/Cr）的值域为（中，1），
O
因为\/。力,。 （0,+8）,/（。）+/（〃）>/（《），所以—+ 中〉1,得；&/<2.……9 分
0 0 乙
综上”的取值范围是[3,51. .............................................10分
（3）证明：由题可知g'Cr）=』一 1nlr,
x~r 1
设刀Cz）=g'Cz） =」-lni,则，（外二一厂工^一工V0在（0,+8）上恒成立，所以
力十1 殳+ 1） X
g'（R）在（0,+8）上单调递减..................................................11分
1 q n q
又 g'（l） =3>0,g'（=三一In —^0. 4—0. 405V0,
Z ' N， 5 c
所以存在10 （1,片），使得『（力。）=0,即屁1。= —^<1）. ................... 12分
、乙/ 10十1
当卫 （0,10）时,/（才）>0,则g（i）在（0,1。）上单调递增；
当力?（%o，+8）时,g'（%）V0,则g（ r）在（1。，+8）上单调递减. .............. 13分
故当①=7。时,g a）取得唯一极大值,也是最大值，令g（1）的最大值为m ,
H!] M=g（xo）= ln（xo + 1）-xoln xo+jro ................................. 14 分
2
将①式代入上式，可得 M=g （#o） = InG-o +1）-- '-tz +lo = ln（jr0 + D H---士.......
彳0十1 Zo十1
...................................................................15分
令 “DnlnQ + DH---ry，i （1,不），则由 〃'（w） = , + --――7>0,可知〃（彳）在
力十1 \ L ' 1十1 （彳+ 1）-
（1，9）上单调递增，..........................................................16分
2
t-2 54 59 Q
故 MklrKio+ 1) H■-- 4_1<〃(3)=ln -y + —= ln 方 +寸 VI+y^V2,g(c ) V2&/(a ) +
3C 0 I 1 乙 lj m /1U 1U
~z
/3)成立.
故"fCz) — gCr)”为三角形函数................................................17分
【高三数学 参考答案 第6页（共6页）】