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高三数学（理科）第二学期开学测试卷（答案）
（本卷答题时间120分钟，满分150分）
班级 学号 姓名
（一）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数( )
A. B. C. D.
答案：D
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
答案：A
3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为
A． B． C． D．
答案：B
4． “”是“函数在上单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
5．给出下列函数：
① ； ② ； ③； ④.
其中图象关于轴对称的是
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
答案：B
6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
答案： A
7. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点,且与轴交于点,若（为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为
A. B. C. D.
8. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1 ( http: / / www.21cnjy.com )月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有
( http: / / www.21cnjy.com )
②
③
参考数据：0.4883元/度2880度=1406.30元，
0.5383元/度(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.
(A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③
答案：B
(二)、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸上.
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝×(底面的圆周长的平方×高)．则圆周率的取值为 .
答案：3
10．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数
为 。
答案：42
11．在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值是 ．
答案：
12. 过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线的右支于点,若,则双曲线的离心率为 .
答案：
13．如果实数满足关系则的取值范围为 .
答案：
14．在 中，内角 所对的边分别为，若，且，则下列命题正确的序号是 .
（1） （2）的周长为
（3）的面积为 （4）的外接圆半径为
答案：（2），（3），（4）
(三)、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置. 本大题共6小题，共80分．
15.(本小题满分13分）
已知函数的图象过点.
（Ⅰ）求实数的值及函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
解：（Ⅰ）由
.
因为函数的图象过点，
所以.解得.
函数的最小正周期为. …………………………………………………………7分
（Ⅱ）因为，所以.
则.
所以当，即时，函数在上的最小值为. ……13分
16．（本题满分13分）
某网店营销部门为了统计某市猴年春节期间在某网店购物情况，随机抽查了该市除夕当天名网络购物金额情况，得到如下数据统计表（如图（1））：
若购物金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为．
（Ⅰ）试确定，，，的值并完成图(2)；
（Ⅱ）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查．设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望．
解析：（Ⅰ）根据题意，有 ( http: / / www.21cnjy.com ) 解得
，． …………………………………………6分
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取人，则其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人．
故的可能取值为0，1，2，3；
， ，
，．
所以的分布列为：
． ……………………………………13分
17．（本题满分14分）
如图1，梯形中，,点为边上一点，,
,把沿边翻折成图2，使.
(1)求证: ；
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
证明：(1)取中点，连结，
在中，，
∴
∴
………3分
∵，
∴平面
∴平面平面 平面
………4分
四边形为直角梯形，，
四边形为正方形 ………6分
又 平面
………7分
(Ⅱ)由(1)知两两互相垂直，故建立如图所示空间直角坐标系
设，则，，，，………5分
设平面的法向量为，则
，，取………9分
设平面的法向量为，则
，，取………11分
平面与平面所成锐二面角的余弦值为………14分
18．（本题满分13分）
设两个函数和，其中是三次函数，且对任意的实数，都有，， .
（1）求函数的极值；
（2）证明：对于任意的都有成立.
解：（1）由题意可设，则，得
又，
比较系数有
，
令，得；，得或
故函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
故当时，，当时，……………6分
（2）要证明对于任意的都有成立
只需证当时，
当时，，则
当时，，当时，
函数在上单调递减，在上单调递增
由（1）知对任意，
又，
当时，成立
故对于任意的都有成立…………………………13分
19. (本小题满分14分)
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的右顶点和上顶点分别为、，若的面积为．且直线经过点
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线l交椭圆C于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
解析:（1）由题意，椭圆的上顶点为，右顶点为，则
，即：，所以，
椭圆C的方程是x2+=1…………………………………………5分
（2）若直线与轴重合，则以为直径的圆是，若直线垂直于轴，则以为直径的圆是．
由解得即两圆相切于点．
因此所求的点T如果存在，只能是．
事实上，点就是所求的点．证明如下：
当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点．
若直线不垂直于轴，可设直线．
由 即
记点, 则
又因为,,
所以，即以为直径的圆恒过点．
所以在坐标平面上存在一个定点满足条件．………………14分
20. (本小题满分13分）
已知直角的三边长，满足
（1）在之间插入2016个数，使这2018个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为2018，求斜边的最小值；
（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；
（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.
解：（1）是等差数列，∴，即
所以，斜边的最小值为（当且仅当等号成立，此时数列中，） …………………………………………4分
（2）设的公差为，则
设三角形的三边长为，面积，，
.
由得，
当时，，
经检验当时，，当时，.
综上所述，满足不等式的所有的值为2、3、4 …………………5分
（3）证明：因为成等比数列，.
由于为直角三角形的三边长，知，，
又，得，
于是
.
，则有.
故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.
因为 ，，
由，同理可得，
故对于任意的都有是正整数…………………………………………4分
开始
m =1, i=1
m=m (2-i)+1
i= i +1
m=0
结束
输出i
是
否
网购金额(单位:千元) 频数 频率
合计
(1)
(2)
金额（千元）
E
A
B
C
D
图1
图2
A
O
B
C
D
E
F
G
y
z
x
A
O
B
C
D
E

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