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26.1二次函数七大题型（一课一讲）
【华师大版】
题型一：二次函数的识别-解析式型
【经典例题1】下列式子中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】下列函数中，是关于的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】下列函数中，是关于的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-4】下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．是二次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-5】在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号）
题型二：二次函数的识别-文字叙述型
【经典例题2】下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品现在年产量为，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加倍，两年后这种产品的产量与的关系．（ ）
A．① B．② C．③ D．①③
【变式训练2-1】下列每组变量之间的关系为二次函数的是（ ）
A．正方形周长与边长的关系
B．菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系
C．速度一定时，路程与时间的关系
D．等边三角形的面积与边长的关系
【变式训练2-2】下列三个问题中都有两个变量：①把一个长、宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化；②一个矩形绿地的长为，宽为，若长和宽各增加，则扩充后的绿地的面积y（单位：）随x的变化而变化；则y关于x的函数关系正确的是（　　）
A．①二次函数，②一次函数 B．①一次函数，②二次函数
C．①二次函数，②二次函数 D．①一次函数，②一次函数
【变式训练2-3】下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是（ ）
A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t D．正方形的周长y与边长x
【变式训练2-4】下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（　　）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系
C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
【变式训练2-5】下列实际问题中的与之间的函数解析式是二次函数的是（　　）
A．正方体集装箱的体积为，棱长为
B．高为的圆柱形储油罐的体积为，底面圆半径为
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的质量为千克，单价为元/千克
D．南京与上海之间的距离为，小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海
题型三：根据二次根式的定义求参数
【经典例题3】若是二次函数，则 ．
【变式训练3-1】已知函数．若这个函数是一次函数，则 ；若这个函数是二次函数，则 ．
【变式训练3-2】已知函数（m是常数）．
(1)若该函数是一次函数，求m的值；
(2)若该函数是二次函数，求m的值．
【变式训练3-3】已知是y关于x的二次函数，求m的值．
【变式训练3-4】已知函数是关于的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)判断点是否在该二次函数图象上．
【变式训练3-5】已知函数 （为常数）．
(1)求当为何值时是的二次函数？
(2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值．
题型四：二次函数的一般形式
【经典例题4】在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．，2， B．，，1 C．3，2， D．3，2，1
【变式训练4-1】二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、
【变式训练4-2】二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【变式训练4-3】二次函数的二次项系数与常数项的和是 ．
【变式训练4-4】将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
【变式训练4-5】已知二次函数．
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
题型五：列二次函数关系式-增长率问题
【经典例题5】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】某超市月份的营业额为万元，第一季度的营业额为万元，如果平均每月增长率为，那么与的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-3】某工厂七月份生产零件万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-4】原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为 ．
【变式训练5-5】为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ．
题型六：列二次函数关系式-利润问题
【经典例题6】某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-1】某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-3】喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-4】2023年杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物深受广大人民的喜爱．某特许零售店某款亚运会吉祥物的销售日益火爆，每个吉祥物进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每降低1元，每天的销量增加20个．现商家决定降价销售，设销售单价为元，商家每天销售吉祥物获得的利润为w元，则w关于x的函数关系式为 ．
【变式训练6-5】某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为 ．
题型七：列二次函数关系式-几何问题
【经典例题7】相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为厘米，相框内的空白部分面积是平方厘米，则与之间的函数关系式为 ．
【变式训练7-1】将一根长为的铁丝，折成一个长方形，试写出长方形的面积y与长方形的一边长x之间的关系式以及x的取值范围： ．
【变式训练7-2】如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式 ，自变量的取值范围是 ．
【变式训练7-3】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案．现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示．其中，点在轴上，，．若抛物线型拱门的跨度，拱高，则抛物线的函数表达式为 ．
【变式训练7-4】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点M是x轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为点P，改变点M的位置，可以得到相应的点P，设点P的坐标是，则y关于x的函数解析式为 ．
【变式训练7-5】如图，从一块长为，宽为的矩形木板上割取一块小的矩形木板，则剩余部分木板的面积和之间的函数关系式为 ，其自变量x的取值范围为 ．
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26.1二次函数七大题型（一课一讲）
【华师大版】
题型一：二次函数的识别-解析式型
【经典例题1】下列式子中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数定义，形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意；
B、是二次函数，符合题意；
C、是一元二次方程，不符合题意；
D、化简后，不含二次项，不是二次函数，不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-1】下列函数中，是关于的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．，自变量的次数是1，故不是二次函数；
B．，自变量的次数是1，故不是二次函数；
C．，自变量在分母上，故不是二次函数；
D．是二次函数；
故选：D．
【变式训练1-2】下列函数中，是关于的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：A、是一次函数，故A不符合题意；
B、分母含有未知数，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，是二次函数，故C符合题意；
D、，是一次函数，故D不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-3】下列函数关系式中：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二次函数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如为常数，的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：（1）是二次函数，故符合题意；
（2），不是二次函数，故不符合题意；
（3）是二次函数，故符合题意；
（4）不是二次函数，故不符合题意；
（5）不是二次函数，故不符合题意；
（6），不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；
综上所述，二次函数有2个．
故选：B．
【变式训练1-4】下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．是二次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐项分析即可．
【详解】解：（1）是一次函数，故不符合题意；
（2）是二次函数，故符合题意；
（3）的分母含自变量，不是二次函数，故不符合题意；
（4）当时，不是二次函数，故不符合题意；
（5）是一次函数，故不符合题意；
（6）是二次函数，故符合题意；
（7）当时，不是二次函数，故不符合题意．
故选B．
【变式训练1-5】在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号）
【答案】④
【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案．
【详解】解：①时是一次函数，
②是一次函数；
③不是整式，不是二次函数；
④是二次函数，
故答案为：④．
题型二：二次函数的识别-文字叙述型
【经典例题2】下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品现在年产量为，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加倍，两年后这种产品的产量与的关系．（ ）
A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键．形如、、为常数，的函数叫做二次函数，由此判断即可．
【详解】解：①，是反比例函数，故不符合题意‘
②，是正比例函数，故不符合题意；
③，是二次函数，故符合题意；
故选：C．
【变式训练2-1】下列每组变量之间的关系为二次函数的是（ ）
A．正方形周长与边长的关系
B．菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系
C．速度一定时，路程与时间的关系
D．等边三角形的面积与边长的关系
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义．分别列出关系式，根据二次函数的定义，进行选择即可．
【详解】解：A. 正方形周长与边长的关系，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 菱形面积一定时，两条对角线的长与的关系，是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 速度一定时，路程与时间的关系，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
D. 等边三角形的面积与边长的关系，是二次函数关系，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练2-2】下列三个问题中都有两个变量：①把一个长、宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化；②一个矩形绿地的长为，宽为，若长和宽各增加，则扩充后的绿地的面积y（单位：）随x的变化而变化；则y关于x的函数关系正确的是（　　）
A．①二次函数，②一次函数 B．①一次函数，②二次函数
C．①二次函数，②二次函数 D．①一次函数，②一次函数
【答案】B
【分析】根据题意分别求出对应的函数关系式，即可进行判断．
【详解】解：①，是一次函数；
②，是二次函数；
故选：B
【点睛】本题考查函数类型的识别．正确列出函数关系式是解题关键．
【变式训练2-3】下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是（ ）
A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t D．正方形的周长y与边长x
【答案】A
【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
【详解】A、，是二次函数，正确，符合题意；
B、，v一定，是一次函数，错误，不符合题意；
C、一定，是反比例函数，错误，不符合题意；
D、，是一次函数，错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
【变式训练2-4】下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（　　）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系
C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
【答案】D
【分析】根据二次函数，反比例函数、正比例函数的定义一一判断即可．
【详解】解：A．圆的周长c与圆的半径r之间的关系是：，故他们之间的关系是正比例函数关系；
B．三角形的高h一定时，故他们之间的关系是正比例函数关系；
C．在一定距离s内，故他们之间的关系是反比例函数关系；
D．正方体的表面积S与棱长a的关系：，S和a是二次函数关系，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练2-5】下列实际问题中的与之间的函数解析式是二次函数的是（　　）
A．正方体集装箱的体积为，棱长为
B．高为的圆柱形储油罐的体积为，底面圆半径为
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的质量为千克，单价为元/千克
D．南京与上海之间的距离为，小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．正方体集装箱的体积，棱长，则，故不是二次函数；
B．高为的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径，则，故是二次函数；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；
D．南京与上海之间的距离为，小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶，距上海，则，故不是二次函数．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的定义去判断．
题型三：根据二次根式的定义求参数
【经典例题3】若是二次函数，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得或，
解得或，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-1】已知函数．若这个函数是一次函数，则 ；若这个函数是二次函数，则 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解；
【详解】解：当且时，这个函数是一次函数，
此时：；
当时，这个函数是二次函数，
此时：且
故答案为：①；②且
【变式训练3-2】已知函数（m是常数）．
(1)若该函数是一次函数，求m的值；
(2)若该函数是二次函数，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义：
（1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可；
（2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可．
【详解】（1）解：是一次函数，
且，
解得；
（2）解：是二次函数，
，
解得，
当时，，不符合题意，
．
【变式训练3-3】已知是y关于x的二次函数，求m的值．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键，根据二次函数的定义得到且即可得到答案．
【详解】解：∵是y关于x的二次函数，
∴且，
解得：或，且，
∴．
【变式训练3-4】已知函数是关于的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)判断点是否在该二次函数图象上．
【答案】(1)
(2)不在
【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的点的坐标特征，熟练掌握函数的定义是解题的关键．
（1）根据二次函数的定义得到，然后解之即可得到满足条件的m的值；
（2）将代入函数关系式，求出y的值，再比较即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：；
（2）解：函数解析式为：，
当时，，
点不在该二次函数图象上.
【变式训练3-5】已知函数 （为常数）．
(1)求当为何值时是的二次函数？
(2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（）根据二次函数的定义即可求解；
（）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解；
本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，且，
解得，
∴当时是的二次函数；
（2）解：∵，
∴，
∵点在此函数图象上，
∴．
题型四：二次函数的一般形式
【经典例题4】在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．，2， B．，，1 C．3，2， D．3，2，1
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的一般式，掌握二次函数中a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项是解题的关键．
【详解】解：函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别为，2，，
故选：A．
【变式训练4-1】二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，所以此题可根据二次函数的一般形式“形如”进行求解即可．
【详解】解∶ 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、 、 ，
故选∶C．
【变式训练4-2】二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【答案】 3 5
【分析】本题考查了二次函数的定义．二次函数：b，c是常数且，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：由，得它的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5．
故答案是：3，，5．
【变式训练4-3】二次函数的二次项系数与常数项的和是 ．
【答案】1
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项可得二次项系数是2，常数项是-1，再求和即可．
【详解】解：二次函数y=2x2-3x-1的二次项系数是2，常数项是，
；
故答案为：1；
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
【变式训练4-4】将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】，二次项系数是－2、一次项系数是－7、常数项是4
【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案．
【详解】解：；
其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4．
【变式训练4-5】已知二次函数．
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)
(2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4．
【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案．
【详解】（1）解：
该二次函数的一般形式是；
（2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4．
题型五：列二次函数关系式-增长率问题
【经典例题5】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
故选：A．
【变式训练5-1】某超市月份的营业额为万元，第一季度的营业额为万元，如果平均每月增长率为，那么与的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
又∵第一季度的总营业额共万元，
∴，
即．
故选：D．
【变式训练5-2】为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键．
在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可．
【详解】解：第二个月投放单车数量，
第三个月投放单车数量．
故选A．
【变式训练5-3】某工厂七月份生产零件万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件万个，即可列出与之间的函数关系式．
【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，
依题意得：．
故选：B．
【变式训练5-4】原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【变式训练5-5】为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可．
【详解】解：某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则关于的函数表达式为：
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
题型六：列二次函数关系式-利润问题
【经典例题6】某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式，根据降价元，则售价为元，销售量为本，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【详解】解：设每本降价元，则售价为元，销售量为本，
根据题意得，，
故选：A．
【变式训练6-1】某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清题意找准数量与价格变化关系是解题的关键．
设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，根据每件利润实际售价成本价，销售量原销售量变化量，总利润每件利润数量，即可得出答案．
【详解】解：设每件电子产品售价为元，商家每天的利润为元，
则每件盈利元，每天可销售件，
根据题意得：，
故选：D．
【变式训练6-2】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．单价为x元，单价提高了元．原来每月能售出400件，每涨价1元，月销售量就减少10件．涨元，那么月销售量就减少件，再根据利润每件利润数量即可求得解析式．
【详解】解：根据题意得：
利润y与单价x之间的函数关系式为：．
故选：B．
【变式训练6-3】喜迎圣诞，某商店销售一种进价为的商品，售价为，每星期可卖出件，若每件商品的售价每上涨元，则每星期就会少卖出件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意，得：；
故选A．
【变式训练6-4】2023年杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物深受广大人民的喜爱．某特许零售店某款亚运会吉祥物的销售日益火爆，每个吉祥物进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每降低1元，每天的销量增加20个．现商家决定降价销售，设销售单价为元，商家每天销售吉祥物获得的利润为w元，则w关于x的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，根据题意列出函数关系式即可求解．
【详解】解：设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，
根据题意得，
则，
故答案为：．
【变式训练6-5】某商店以元的价格购进了一批服装，若按每件元出售时，一周内可销售件；当售价每提高元时，其周售量就会减少件．若设每件售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每件利润以及其销量是解题关键．
根据每月售出衬衫的利润每件的利润每周的销售量得到，整理即可．
【详解】解：根据题意得出：
．
故答案为：．
题型七：列二次函数关系式-几何问题
【经典例题7】相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为厘米，相框内的空白部分面积是平方厘米，则与之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得出相框内的空白部分的长为，宽为，再根据长方形的面积公式计算即可得解．
【详解】解：由题意得：相框内的空白部分的长为，宽为，
则，
∴与之间的函数关系式为，
故答案为：．
【变式训练7-1】将一根长为的铁丝，折成一个长方形，试写出长方形的面积y与长方形的一边长x之间的关系式以及x的取值范围： ．
【答案】
【分析】本题主要考查列二次函数解析式，根据实际意义确定x的取值范围为解题的关键．
根据长方形的面积公式及边的长为正数解答即可．
【详解】解：由题意知：该长方形的另一边长为：，
∵，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【变式训练7-2】如图，要在空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形园地，矩形的一边靠教学楼25米的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形垂直于的一边为米，面积为平方米．写出与的函数关系式 ，自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的周长和面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先用x表示出矩形的长，再利用矩形的面积公式得出y与x的函数关系式，再结合矩形的性质与墙的长度列不等式组解题即可；
【详解】解：由题意，设矩形垂直于的一边为米，则矩形的长为米，
则矩形的面积，
即y与x的函数关系式为；
∴，
解得：；
故答案为：，
【变式训练7-3】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案．现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示．其中，点在轴上，，．若抛物线型拱门的跨度，拱高，则抛物线的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用，解答中涉及待定系数法求解析式，函数图像上点的坐标确定，掌握待定系数法是解题的关键．
根据图象得到函数顶点坐标，设顶点式，代入原点即可求得答案．
【详解】解：由题意可知，抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得：，
解得：，
，
抛物线的函数表达式为．
【变式训练7-4】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点M是x轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为点P，改变点M的位置，可以得到相应的点P，设点P的坐标是，则y关于x的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查垂直平分线的性质及勾股定理解三角形，二次函数的应用，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．连接，过A点作交于点N，根据垂直平分线的性质得出，再由图象确定，利用勾股定理即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，过A点作交于点N，
∵线段的垂直平分线，
∴，
∵点P的坐标是，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练7-5】如图，从一块长为，宽为的矩形木板上割取一块小的矩形木板，则剩余部分木板的面积和之间的函数关系式为 ，其自变量x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了函数的实际应用——几何图形面积．熟练掌握矩形的面积公式列函数关系式，矩形的长宽限制范围求自变量的取值范围，是解决问题的关键．
根据矩形木板的长和宽写出其面积为，根据割取一块小的矩形木板长和宽写出其面积为，即得剩余部分木板的面积；根据且即得x的取值范围．
【详解】∵矩形木板长为，宽为，
∴面积为，
∵小矩形木板的长为，宽为，
∴小的矩形木板面积为，
∴剩余部分木板的面积，
由题图知，且，
∴自变量x的取值范围为．
故答案为：，．
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