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专题突破二：二次函数各项系数的关系（20道）
【压轴题专练】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（ ）

A． B．
C． D．
2．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，则下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③；④若方程的两根为m，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③⑤ B．②④ C．②⑤ D．②④⑤
6．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④；⑤若为任意实数，则．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（ ）
A． B． C． D．
11．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
12．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ）
①；②；③若方程没有实数根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点是函数图象上的两点，则；④；其中正确的结论是（ ）
A．②③④ B．②③ C．①④ D．①②④
14．如图，二次函数的图像与x轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若方程的两根为，且则；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．②③④ B．①②④ C．②③ D．③④
15．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则．其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
16．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
17．抛物线 的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线． 下列结论中： ①； ②； ③方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤若点 在该抛物线上，则．其中正确的有 （填序号）．
18．抛物线（，、、为常数）的部分图象如图所示，对称轴是直线，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：
①；②；③一元二次方程的两根为、，则；④对于任意实数，不等式恒成立．则上述说法正确的是 ．（填序号）
19．如图为二次函数的图象，此图象与轴的交点坐标分别为、．下列说法：①；②方程的根为，；③当时，随着的增大而增大；④．
正确序号是 ．
20．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④；⑤若且，则．其中正确结论有
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专题突破二：二次函数各项系数的关系（20道）
【压轴题专练】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用图象信息即可判断；根据时， 即可判断；根据是方程 的根，结合两根之积即可判断；根据两根之和可得代入即可判断，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线交轴于正半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确，
∵时，，
∴，即，故正确，
∵二次函数的图象过点和，
∴，，
∴
∴，故正确，
∵，
∴，
∴，
∵
，故正确，
当时，，
又∵图象过点和，
∴当时，，，
则
∴
∴，故正确，
综上正确，
故选：．
2．如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，则下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③；④若方程的两根为m，，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置以及上，抛物线与轴交点位置判断的符号，即可判断①；结合图像可知当时，，即可判断②；由当时，可得，当时，，，即可判断③；由方程的两根为，可得直线与抛物线的交点的横坐标为，结合一次函数的性质可知直线经过第一、二、三象限，且过点，进而确定直线与抛物线的交点所在象限，即可判断④．
【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴是直线，
∴．
又∵抛物线交轴于负半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴是直线，且抛物线过点，
∴当时，，
∴结合图像得，当时，，故②错误；
∵当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
如图，
由方程的两根为，得直线与抛物线的交点的横坐标为，
∵直线经过第一、二、三象限，且过点，
∴直线与抛物线的交点在第一、三象限．
由图像可知，故④正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
3．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．
①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确
抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故选：C．
4．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象可得，与轴交于两点，可判定①②；设，且，代入二次函数计算可判定③；根据一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点，
∴，故②错误；
∵图象开口向上，对称轴在轴左边，与轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
设，且，
∵，
∴，则，
∴，整理得，即，
∵，
∴，故③正确；
当时，，且，
∴，
∴，故④错误；
∴正确的有：①③，共2个，
故选：B ．
5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③⑤ B．②④ C．②⑤ D．②④⑤
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行分别推理，进而逐项判断即可．
【详解】解：①由抛物线开口向上，则，
∵点B在和之间，
∴，
∴，①错误；
②∵，
∴，
∴，故②正确；
③∵抛物线过，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
④∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
⑤∵图象与y轴的交点B在和之间，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确．
故选：D．
6．二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与其系数的关系等等，先根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，得到，，再由对称轴计算公式得到，据此可判断①②；由函数图象可知， 当时，，据此可判断③；易得当时，函数取最小值，据此可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①错误，②正确；
由函数图象可知，当时，，
，故③正确；
∵函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数取最小值，
∴，
，④正确．
∴正确的有②③④，共3个，
故选：A．
7．二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口方向，对称轴位置可判断A、C，由时的函数值可判断D，由抛物线与x轴交点个数可判断B．
【详解】解：∵开口向下，
∴，
∵对称轴位于y轴右侧，
∴异号，即，
又∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵对称轴，
∴，即，故C选项错误，符合题意；
当时，，
∴，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
8．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，点是函数图象上的两点，则；④；⑤若为任意实数，则．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象判断①，特殊点判断②，增减性判断③，对称轴结合特殊点以及的范围判断④，最值判断⑤．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∴；故②错误；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，函数值越小，
∵，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，故④正确；
∵当时，函数值最大，
∴，
∴，
∴；故⑤正确；
故正确的有：①③④⑤共4个．
故选：D．
9．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，且．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由图象可知，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为直线，，可得，，得到点，点，当时，，即，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：观察图象，可知，
∴，故①符合题意；
∵该抛物线的对称轴为直线，，
∴，，
∴点，点，
∴当时，，即，故②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，即，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故③符合题意；
当时，函数有最大值，
由，可得，
若m为任意实数，则，故④不符合题意，
综上，符合题意的有3个，
故选：C．
10．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键．
【详解】解：①由图象可知：，，
，
，
，故①正确符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
，
，故②不符合题意；
③当时，，故③不符合题意；
④当时，，
∴， 故④符合题意；
⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意，
故选：D．
11．抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的增减性可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，由即可得出，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，故①错误；
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵若，
∴，
∴时的函数值小于时的函数值，
∵横坐标是的点的对称点的横坐标为，
∴时的函数值等于时的函数值，
∴时的函数值小于时的函数值，
故③错误；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴抛物线为，
∵抛物线经过点，
∴，即，
∴，
∴，
∵点的对称点是，
∴点一定在此抛物线上，故④正确．
故选：C．
12．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ）
①；②；③若方程没有实数根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】①根据抛物线的性质与图象判断、、的正负性，据此解答即可；②由抛物线与轴的另一个交点在点和之间，得，根据抛物线的对称轴可得，据此判断即可；③根的最大值是，可得抛物线与直线没有交点，则，据此判断即可；④分两种情况讨论求解即可；．
【详解】解：∵抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，抛物线开口向下，
∴，，抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴当时，，
∴，
∴，故②正确；
∵方程没有实数根，抛物线的顶点为，
∴抛物线与直线没有交点，
∴，故③正确；
∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为直线，
∴在对称轴的右侧，
当时，
在抛物线对称轴的右侧，随的增大而减小，
∵，
∴，
当时，
∵，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
∴，故④正确．
综上，可得正确结论的序号是：②③④．
故选∶B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的关系．
13．二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点是函数图象上的两点，则；④；其中正确的结论是（ ）
A．②③④ B．②③ C．①④ D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了二次含图象的性质，根据图象与轴交于点，对称轴为直线，可得另一个交点为，，根据二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点），可得，由此可得，分别代入计算，再根据二次函数图象的增减性即可求解．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，
∴另一个交点为，，
∴，
∴同号，即，
∵二次函数与轴的交点在与之间（不包括这两点），
∴，
∴，故①正确；
当时，，且，
∴，则，
∵，
∴，则，即，
∵，
∴，故②，④正确；
∵对称轴为，，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；即离对称轴越远，值越小，
∵，
∴，故③错误；
综上所述，正确的有①②④，
故选：D ．
14．如图，二次函数的图像与x轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若方程的两根为，且则；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．②③④ B．①②④ C．②③ D．③④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质．
由图象抛物线开口向上，与y轴交于负半轴可得，，再由图像的对称轴可得，可得，故①错误；再由当时，，可得，故②正确；由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一个交点为，从而得到抛物线解析式为，再令，可得，然后根据图像可得，故③正确；根据当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，可得，再由，可得，，从而得到关于a的不等式，，故④错误．
【详解】解：观察图像得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵图像的对称轴为直线．
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵图像与轴负半轴交于，
∴当时，，
∴，即，故②正确；
由抛物线对称性得，抛物线与x轴另一个交点为，
∴抛物线解析式为，
令，则，
如图，作直线，
观察图像得：，故③正确；
根据题意得：点M、N到对称轴的距离均为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，
即，
∵，
∴，，
∴，
解得：，故④错误．
综上所述，其中结论正确的有②③．
故选：C．
15．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③若点在此抛物线上，则；④若点在此抛物线上且，则．其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合方法分析问题．由抛物线开口方向判断①结论；由对称轴可判断②结论；由函数的对称性和增减性判断③结论；由抛物线的对称性即可判断④结论．
【详解】解：抛物线开口向下，
，①结论正确；
抛物线的顶点为，
对称轴为直线，
，
，②结论正确；
由图象可知，抛物线与轴的一个交点为，
另一个交点为，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而减小，
，
，③结论正确；
抛物线与轴的交点为，且轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
若点在此抛物线上且，则或，④结论错误；
即正确结论的序号是①②③，
故选：C．
16．如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线交轴于正半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确，
∵顶点纵坐标大于，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
根据图象可知：当时，，
∴，故正确；
由得：，
即函数与的交点，
如图，
∴，，故正确，
综上可知：正确，共个，
故选：．
17．抛物线 的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线． 下列结论中： ①； ②； ③方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤若点 在该抛物线上，则．其中正确的有 （填序号）．
【答案】②③⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．
【详解】解：①对称轴是轴的右侧，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，
故①错误；
②，
，即，
故②正确；
③由图象得，与抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根；
故③正确；
④抛物线的对称轴，与轴交于，
另一个交点坐标，
∴4和是方程的两个根，
∴，
∴
故④错误，
⑤∵抛物线的对称轴，
∴当时，二次函数由最大值，
点在该抛物线上，
，
，
故⑤正确；
综上，正确的有②③⑤，
故答案为：②③⑤．
18．抛物线（，、、为常数）的部分图象如图所示，对称轴是直线，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：
①；②；③一元二次方程的两根为、，则；④对于任意实数，不等式恒成立．则上述说法正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】利用抛物线的对称性，结合图像即可判断①；根据对称轴为直线即可判断②；根据题意得出，，即可判断③；根据时，函数有最大值即可判断④．
【详解】解：①∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间．
∴当时，，
即，故说法①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
由①知：，
∴即，故说法②正确；
③∵一元二次方程的两根为、，
∴抛物线与直线的交点的横坐标为、，
∵经过点，，抛物线经过点且与轴的一个交点在点和之间，
∴，或，，
∴，故说法③正确；
④∵，
∴当时，函数有最大值，
∴对于任意实数，，
∴，故说法④错误；
∴上述说法正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图像与系数的关系：决定抛物线的开口方向和大小；和共同决定对称轴的位置；决定抛物线与轴交点位置；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点，反过来也成立．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
19．如图为二次函数的图象，此图象与轴的交点坐标分别为、．下列说法：①；②方程的根为，；③当时，随着的增大而增大；④．
正确序号是 ．
【答案】①②③④
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象的开口方向、对称轴及y轴的交点可得a、b、c的符号，进而可判断①；根据图象与x轴的交点可判断②；根据图象的增减项可判断③；根据当时，可判断④，进而可求解．
【详解】解：∵该二次函数的图象开口向上，与y轴的负半轴相交，
∴，，
∵图象与轴的交点坐标分别为、，
∴对称轴为直线，方程的根为，，故②正确；
∴，则，
∴，故①正确；
∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故③正确；
由图象，当时，，
∴，故④正确，
综上，正确的序号为：①②③④．
故答案为：①②③④
20．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④；⑤若且，则．其中正确结论有
【答案】①②④
【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化，是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答．
【详解】解：图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右边，
可得：，，故①正确；
根据对称轴为直线，抛物线与轴的交点在的左边，
可得：抛物线与轴的另一个交点在和之间，
当时，，故②正确；
当时，函数具有最大值为，
，即，故③错误；
根据，可得，由②得，故④正确；
∵，
∴，
令，
则：在二次函数上，
，
关于对称轴直线对称，
根据中点公式可得，
，故⑤错误；
故答案为：①②④．
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