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九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
学习目标：
理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角；
掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的计算和证明；
在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会用转化的数学思想解决问题。
老师告诉你
同一圆中证明两弦相等的四个方法：
若两弦位于两个不同的三角形中，证明两弦所在的三角形全等；
若两弦位于同一三角形中，由“等角对等边”证明两弦相等；
证明两弦所对的弧相等；
证明两弦所对的圆心角相等。
一、知识点拨
知识点1.圆心角
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
　注意：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
（2）圆心角 ∠AOB 所对的弧为.
（3）圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
对于任意给定一个圆心角，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。
【新知导学】
例1 .下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【对应导练】
1．下列图形中表示的角是圆心角的是( )
A. B. C. D.
2．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作.已知，，则与的大小关系是________.
知识点2. 圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
注意：圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆或等圆等式中才成立．
2.数学语言：如果①∠AOB=∠COD，那么有
【新知导学】
例2 .如图所示，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G．
（1）求证：；
（2）若的度数为70°，求∠C的度数．
【对应导练】
1．如图，在同圆中，若，则________.（“>”“<”或“=”）
2．如图，AB为的直径，C,D是上的两点，且.求证：.
3．如图，D，E分别是两条半径OA，OB的中点，
（1）求证：.
（2）若，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式.
知识点3 相等的圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
具体表达就是：
（1）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的圆心角相等，弦所对应的优弧相等，弦所对应的劣弧相等。
注意：理解弦、弧、圆心角的关系定理的思维图
【新知导学】
例3 .如图，AB是的直径，C，D为半圆的三等分点，于点E，则的度数为________.
【对应导练】
1．已知：A、B、C、D是上的四个点，且，求证：.
2．如图，AB，DE是的直径，C是上的一点，且.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
3．如图，的弦的延长线相交于点P，且.求证:.
4．如图，在中，于点D，于点E，求证:.
5．如图，BD是的直径，C是的中点，若，则的度数为___________.
题型训练
利用等弧对等圆心角证明线段相等
一、解答题
1．如图，在中，点C是优弧ACB的中点，D,E分别是OA,OB上的点，且，弦CM,CN分别过点D,E.
（1）求证：.
（2）求证：.
2．如图，在中，弦AB与CD相交于点E, ，连接AD,BC.
求证：（1）；（2）.
利用等弧对等圆心角证明线段平行
3.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
利用等圆心角对等弧求角度
4．如图,是的直径,,,则的大小为______.
5．如图，AB，DE是的直径，C是上的一点，且.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
6．如图，为上的三等分点.
（1）求的度数；
（2）若，求的半径长及.
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列图形中的角是圆心角的是( )
A. B. C. D.
2．下列说法正确的是( )
A.等弧所对的弦相等 B.相等的弦所对的弧相等
C.相等的圆心角所对的弧相等 D.相等的圆心角所对的弦相等
3．如图，在中﹐，，则( )
A. B. C. D.
4．下列关于圆的说法中，错误的是( )
A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧
B.如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等
C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线
D.拱形不一定是弓形
5．如图，AB是的直径，已知，，那么的度数为( )
A.80° B.85° C.90° D.95°
6．如图，在中，，则以下数量关系正确的是( )
A. B. C. D.
7．如图，是的直径，点C在上，，D是的中点，则( )
A. B. C. D.
8．如图，是上的点，于点，于点，，则与的关系是( )
A. B. C. D.不能确定
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，在中，，A、C之间的距离为4，则线段________.
10．如图，C为弧AB的中点，于点N，于点M，cm，则__________cm.
11．一条弦把圆分为两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为___________.
12．如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D.连接.若，则的长为 .
13．如图，点在的边上，过三点的圆的圆心为点E，过三点的圆的圆心为点D.如果,那么 .
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）如图，中，弦AB与CD相交于点E，，连接AD，BC.
求证：（1）；
（2）.
15．（7分）如图，以等边三角形的边为直径作交于点，交于点，判断，，之间的大小关系，并说明理由.
16．（7分）如图，已知AB是的直径，M，N分别是AO，BO的中点，.
求证：.
17．（8分）如图，在中，，于点D.求证：.
18．（9分）如图，在中，点C是优弧ACB的中点，D,E分别是OA,OB上的点，且，弦CM,CN分别过点D,E.
（1）求证：.
（2）求证：.
19．（9分）如图，AB是的直径，P，C是上的点，，弦PC交AB于点D，连接OC.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
学习目标：
理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角；
掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能运用此关系进行相关的计算和证明；
在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中，学会用转化的数学思想解决问题。
老师告诉你
同一圆中证明两弦相等的四个方法：
若两弦位于两个不同的三角形中，证明两弦所在的三角形全等；
若两弦位于同一三角形中，由“等角对等边”证明两弦相等；
证明两弦所对的弧相等；
证明两弦所对的圆心角相等。
一、知识点拨
知识点1.圆心角
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
　注意：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .
（2）圆心角 ∠AOB 所对的弧为.
（3）圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
对于任意给定一个圆心角，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。
【新知导学】
例1 .下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据圆心角的定义作答即可．
【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键．
【对应导练】
1．下列图形中表示的角是圆心角的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根据圆心角的定义：顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.
故选A.
2．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作.已知，，则与的大小关系是________.
答案：<
解析：解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad，当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，圆心角所对的弧长比半径大，，故答案是：<.
知识点2. 圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
注意：圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆或等圆等式中才成立．
2.数学语言：如果①∠AOB=∠COD，那么有
【新知导学】
例2 .如图所示，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G．
（1）求证：；
（2）若的度数为70°，求∠C的度数．
【分析】（1）要证明，则要证明∠DAF＝∠GAD，由题干条件能够证明之；
（2）根据的度数为70°，得到∠BAF＝70°，于是得到∠B＝∠AFB（180°﹣∠BAF）＝55°，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AF．
∵A为圆心，∴AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF，
∴∠DAF＝∠GAD，
∴；
（2）解：∵的度数为70°，
∴∠BAF＝70°，
∵AB＝AF，
∴∠B＝∠AFB（180°﹣∠BAF）＝55°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠B＝125°．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等知识点的应用，关键是求出∠DAF＝∠GAD，题目比较典型，难度不大．
【对应导练】
1．如图，在同圆中，若，则________.（“>”“<”或“=”）
答案：<
解析：取的中点E，连接，，，，，
，
，
，
，
在中，，
.
故答案为：<.
2．如图，AB为的直径，C,D是上的两点，且.求证：.
答案：证明：，
.
，
，
，
.
3．如图，D，E分别是两条半径OA，OB的中点，
（1）求证：.
（2）若，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式.
答案：（1）如答图，连接OC.
，
.
D，E分别是两条半径OA，OB的中点，
.
在和中，
,
.
（2）如答图，连接AC.
.
又，
为等边三角形.
D是OA的中点，，
.
在中，，
四边形ODCE的面积为.
故y与x的函数关系式为.
知识点3 相等的圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
具体表达就是：
（1）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等。
（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的圆心角相等，弦所对应的优弧相等，弦所对应的劣弧相等。
注意：理解弦、弧、圆心角的关系定理的思维图
【新知导学】
例3 .如图，AB是的直径，C，D为半圆的三等分点，于点E，则的度数为________.
答案：30°
解析：连接OC.AB是直径，，，，是等边三角形，，，，.
【对应导练】
1．已知：A、B、C、D是上的四个点，且，求证：.
答案：详见解析
解析：证明：
.
2．如图，AB，DE是的直径，C是上的一点，且.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
答案：（1）证明：，
.
，
，
；
（2）解：，，
.
由（1）知，，
，
.
解析：
3．如图，的弦的延长线相交于点P，且.求证:.
答案：连接，
，
，
，即，
，
4．如图，在中，于点D，于点E，求证:.
答案：证明:如图，连接.
于点D，于点E，
在与中，，
.
又.
5．如图，BD是的直径，C是的中点，若，则的度数为___________.
答案：
解析：C是的中点，，.是的直径，..
题型训练
利用等弧对等圆心角证明线段相等
2024年10月21日xx学校初中数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图，在中，点C是优弧ACB的中点，D,E分别是OA,OB上的点，且，弦CM,CN分别过点D,E.
（1）求证：.
（2）求证：.
答案：(1)如图，连接OC.
点C是优弧ACB的中点，，
.
，，.
，，
.
(2)如图，连接OM，ON.
,
，.
,
，,
.
,,
,.
解析：
2．如图，在中，弦AB与CD相交于点E, ，连接AD,BC.
求证：（1）；（2）.
答案：（1）,
,,
.
（2），.
又,，
，
.
解析：
利用等弧对等圆心角证明线段平行
3.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
【分析】（1）由等弧所对的圆心角相等推知∠1＝∠COD＝60°；然后根据圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径知OA＝OC，从而证得△AOC是等边三角形；
（2）证法一：利用同垂直于一条直线的两条直线互相平行来证明OC∥BD；证法二：通过证明同位角∠1＝∠B，推知OC∥BD．
【解答】解：（1）△AOC是等边三角形，
证明：∵，
∴∠1＝∠COD＝60°，
∵OA＝OC（⊙O的半径），
∴△AOC是等边三角形；
（2）证法一：∵，
∴OC⊥AD，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD，
∴OC∥BD；
证法二：∵，
∴∠1＝∠COD∠AOD，
又∠B∠AOD，
∴∠1＝∠B，
∴OC∥BD．
【点评】本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定以及平行线的判定．在证明△AOC是等边三角形时，利用了等边三角形的内角是60°的性质．
利用等圆心角对等弧求角度
4．如图,是的直径,,,则的大小为______.
答案：/度
解析：∵是的直径,,,
∴,
∴,
故答案为：.
5．如图，AB，DE是的直径，C是上的一点，且.
（1）求证：；
（2）若，求的度数.
答案：（1）证明：，
.
，
，
；
（2）解：，，
.
由（1）知，，
，
.
解析：
6．如图，为上的三等分点.
（1）求的度数；
（2）若，求的半径长及.
答案：（1）为上的三等分点
的度数为：.
（2）过点O作于点D
为上的三等分点
即是等边三角形，且
则,
故
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列图形中的角是圆心角的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意.
故选：A.
2．下列说法正确的是( )
A.等弧所对的弦相等 B.相等的弦所对的弧相等
C.相等的圆心角所对的弧相等 D.相等的圆心角所对的弦相等
答案：A
解析：A、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确；
B、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误；
D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.故原说法错误；
故选：A.
3．如图，在中﹐，，则( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
.
故选：B.
4．下列关于圆的说法中，错误的是( )
A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧
B.如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等
C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线
D.拱形不一定是弓形
答案：B
解析：A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A选项不符合题意；
B.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所以B选项符合题意；
C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线，所以C选项不符合题意；
D.拱形加上跨度为弓形，所以D选项不符合题意.
故选：B.
5．如图，AB是的直径，已知，，那么的度数为( )
A.80° B.85° C.90° D.95°
答案：C
解析：，，
，，
，
；
故选C.
6．如图，在中，，则以下数量关系正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如答图，连接BC...故选C.
7．如图，是的直径，点C在上，，D是的中点，则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如图，连接.
是的直径，，.
是的中点，
.
.
8．如图，是上的点，于点，于点，，则与的关系是( )
A. B. C. D.不能确定
答案：A
解析：，又，，，.故选A.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，在中，，A、C之间的距离为4，则线段________.
答案：4
解析：如图，连接BD，AC.
，
，
，
故答案为4.
10．如图，C为弧AB的中点，于点N，于点M，cm，则__________cm.
答案：2
解析：连接OC，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出，
根据角平分线性质得出，
根据垂径定理得出cm，
于是cm.
11．一条弦把圆分为两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为___________.
答案：或
解析：如图,
连接.弦将分为两部分,
则;
∴,;
故这条弦所对的圆周角的度数为或.
12．如图，是的直径，是弦，点E是的中点，交于点D.连接.若，则的长为 .
答案：8
解析：连接，如图所示
点E是的中点，
,
设的半径为r，则
，即
,
，解得.
,.
13．如图，点在的边上，过三点的圆的圆心为点E，过三点的圆的圆心为点D.如果,那么 .
答案：
解析：连接，如图，设
而，
,
即得，故答案为.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）如图，中，弦AB与CD相交于点E，，连接AD，BC.
求证：（1）；
（2）.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1），
，即，
；
（2），
，
又，，
，
.
15．（7分）如图，以等边三角形的边为直径作交于点，交于点，判断，，之间的大小关系，并说明理由.
答案：.理由如下：
如图，连接，
为等边三角形，，
又，
与都是等边三角形，
，
，
，
.
16．（7分）如图，已知AB是的直径，M，N分别是AO，BO的中点，.
求证：.
答案：证明：连接OC，OD.
M，N分别是AO，BO的中点，
，且.
又，.
.
解析：
17．（8分）如图，在中，，于点D.求证：.
答案：证明：延长AD交于点E，
，
，，
，
，
，
.
18．（9分）如图，在中，点C是优弧ACB的中点，D,E分别是OA,OB上的点，且，弦CM,CN分别过点D,E.
（1）求证：.
（2）求证：.
答案：(1)如图，连接OC.
点C是优弧ACB的中点，，
.
，，.
，，
.
(2)如图，连接OM，ON.
,
，.
,
，,
.
,,
,.
19．（9分）如图，AB是的直径，P，C是上的点，，弦PC交AB于点D，连接OC.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
答案：（1）证明：如答图，连接OP.
.
在和中，
，
.
（2）设，则.
.
，
.
在中，，解得.
.
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