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九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.1.4 圆周角2(圆内接四边形)
学习目标：
1.理解并掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形性质定理；
2.结合圆内接四边形的学习，进一步培养推论论证能力。
老师告诉你
圆内接四边形的三种关系：
对角互补，若四边形ABCD为的内接四边形，则∠A+∠C=180°,∠B+∠C=180°
四个内角的和是360°
任一个外角与其相邻内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于内对角。
一、知识点拨
知识点1 圆内接四边形及性质
1.圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．
注意：
内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系；
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆。
2.圆内接四边形性质
圆内接四边形的对角互补．如图，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据。
【新知导学】
例1 .如图,四边形ABCD内接于一圆,CE是边BC的延长线.求证:.

【对应导练】
1．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分，.
（1）求证DB平分，并求的大小.
（2）过点C作交AB的延长线于点F.若，，求此圆半径的长.
2．如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，.
(1)求的度数；
(2)求的度数.
3．如图，四边形ABCD是的内接四边形，对角线AC是的直径，，.求的半径长.
4．如图，的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F.
（1）若，求证：.
（2）若，求的度数.
5．如图，已知是圆内接四边形的一个外角，并且.求证：平分.
知识点2 圆内接四边形外角性质
圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
注意：
圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化，比如圆心角与圆周角之间的转化，同弧或等弧的圆周角之间的转化，连直径得直角三角形，通过两锐角互余进行转化，圆内接四边形外角与内对角的转化。
【新知导学】
例2 . 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
【对应导练】
1.如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
2.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数．
（2）求证：△ACM≌△BCP．
（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积
题型训练
利用圆内接四边形性质证明线段相等
1．如图（1），已知，，以边AB为直径的交BC于点D，交AC于点E，连接DE.
（1）求证：.
（2）如图（2），连接OE，将绕点D逆时针旋转，使的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G.试探究线段DF，DG的数量关系.
2．如图，四边形是的内接四边形，点在上，连接，延长到点，若.求证：.
利用圆内接四边形证明线段关系
3．方法选择
如图①,四边形是⊙的内接四边形,连接,求证：
小颖认为可用截长方法证明,在上截取,连接···
小军认为可用补短方法证明,延长至点,使得···
请你选择一种方法证明：
类比探究
【探究1】
如图②,四边形是⊙的内接四边形,连接是⊙的直径, ,试用等式表示线段之间的数量关系,并证明你的结论
【探究2】
如图③四边形是⊙的内接四边形,连接,若是⊙的直径, ,则线段之间的等量关系式是________
拓展猜想
如图④,四边形是⊙的内接四边形,连接若是⊙的直径,
,则线段之间的等量关系式是___________.
4．如图，点在同一个圆上，且C点为一动点(点C不在上，且不与点重合),.
(1)求证:是该圆的直径;
(2)连接，求证:.
利用圆内接四边形性质解决综合问题
5．如图,四边形是的内接四边形,且,,垂足分别为、,请问与有怎样的数量关系
6．已知内接于，，，点D是上一点.
（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小.
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图,的内接四边形中,,,的度数之比是,则的度数是( )
A. B. C. D.
2．如图,四边形是的内接四边形,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
3．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
4．如图,,点E是延长线上一点,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
5．如图,是半圆O的直径,点C,D在半圆O上.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
6．如图，四边形是的内接四边形，连接，.若，，则为( )
A. B. C. D.
7．如图，是四边形的外接圆，若，则( )
A. B. C. D.
8．如图，内接于，是的直径，，点是劣弧上一点，连接、，则的度数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图,已知四边形内接于,若,则______度.
10．如图,AB是的直径,点C,D,E在⊙O上,若,则的度数为______.
11．如图，在的内接四边形中，点A是的中点，连接，若，则_______°.
12．如图，四边形是的内接四边形，，弦，则的半径等于_______.
13．如图，四边形内接于半圆O，为半圆O的直径，连接，若点C为的中点，，则的度数为_____°.
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，四边形是的内接四边形，点在上，连接，延长到点，若.求证：.
15．如图，四边形ABCD内接于，，四边形OBCD为菱形，连接AC.
(1)求证：AC平分；
(2)若，，求AD的长.
16．如图，正方形ABCD内接于，在劣弧AB上取一点E，连接DE,BE，过点D作交于点F，连接BF,AF，且AF与DE相交于点G.
求证：（1）四边形EBFD是矩形；
（2）.
17．如图，的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F.
（1）若，求证：.
（2）若，求的度数.
18．在中，，以为直径的与的交点分别为.
（1）如图①，求的大小；
（2）如图②，当时，求的大小.
19．如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°.求证:
（1）AD=CD;
（2）AB是⊙O的直径.
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.1.4 圆周角2(圆内接四边形)
学习目标：
1.理解并掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形性质定理；
2.结合圆内接四边形的学习，进一步培养推论论证能力。
老师告诉你
圆内接四边形的三种关系：
对角互补，若四边形ABCD为的内接四边形，则∠A+∠C=180°,∠B+∠C=180°
四个内角的和是360°
任一个外角与其相邻内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于内对角。
一、知识点拨
知识点1 圆内接四边形及性质
1.圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．
注意：
内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系；
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆。
2.圆内接四边形性质
圆内接四边形的对角互补．如图，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据。
【新知导学】
例1 .如图,四边形ABCD内接于一圆,CE是边BC的延长线.求证:.

答案：证明见解析
解析：证明：四边形ABCD内接于圆，
.
，
.
【对应导练】
1．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分，.
（1）求证DB平分，并求的大小.
（2）过点C作交AB的延长线于点F.若，，求此圆半径的长.
答案：(1)
(2)4
解析：(1)证明：，，
，.平分.
平分，.
又，，，
，，
BD垂直平分线段AC，，，
，.
(2)由(1)可知.又，是等边三角形，
，，.
，，.
又，，.
易知BD是直径，设圆心为O，则点O是BD的中点，如图，连接OC.
，，是等边三角形，
，即此圆半径的长为4.
2．如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，.
(1)求的度数；
(2)求的度数.
答案：(1)
(2)
解析：(1)，
，
，
；
(2)由圆周角定理得：，
，
四边形ABCD是的内接四边形，
.
3．如图，四边形ABCD是的内接四边形，对角线AC是的直径，，.求的半径长.
答案：解：AC是的直径，，
，
，
，，，
的半径长为.
4．如图，的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F.
（1）若，求证：.
（2）若，求的度数.
答案：（1）证明：由三角形的外角性质可知，，.
又，，
.
（2）解：由（1）知，.
四边形ABCD是的内接四边形，
，
.
，
.
5．如图，已知是圆内接四边形的一个外角，并且.求证：平分.
答案：四边形是圆内接四边形，
，
又，
.
，
又，
即平分.
知识点2 圆内接四边形外角性质
圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
注意：
圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化，比如圆心角与圆周角之间的转化，同弧或等弧的圆周角之间的转化，连直径得直角三角形，通过两锐角互余进行转化，圆内接四边形外角与内对角的转化。
【新知导学】
例2 . 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，求∠BCD的度数．
【答案】110°
【分析】先根据圆周角定理得到∠A=∠BOD=70°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．
解：∵∠BOD＝140°，
∴∠A＝∠BOD＝70°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质.
【对应导练】
1.如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；
（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
证明：（1），
，
，
，
又,
四边形是平行四边形．
（2）如图，连接
，
四边形是的内接四边形
【点拨】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
2.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求∠APC和∠BPC的度数．
（2）求证：△ACM≌△BCP．
（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积
【答案】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，
由同弧所对的圆周角相等可得：
∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°。
（2）解：如图，∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60°∴∠M=180°－∠BPM=180°－120°=60°∴∠M=∠BPC=60°∵A、P、B、C四点共圆，∴∠MAC=∠PBC又∵AC=BC，
∴△ACM≌△BCP（AAS）
（3）解：∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP=2
又∠M=60°，
∴△PCM为等边三角形
∴CM=PM=1+2=3
作PH⊥CM于H，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，PM=3
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质和同弧所对的圆周角相等可得∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）由平行线的性质可得∠PCM=∠PCA+∠ACM=∠BPC=60°=∠MPC，根据有两个角是60°的三角形是等边三角形可得三角形PCM是等边三角形，则CM=CP；而∠BCA=∠BCP+∠PCA=60°，所以∠BCP=∠ACM，CA=CB，用边角边可证得△ACM≌△BCP；
（3）作PH⊥CM于H，由（2）可得三角形PCM是等边三角形，△ACM≌△BCP，所以AM=BP，则CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB，在Rt△PMH中，用勾股定理可求得PH的长，则SPBCM=(PB+CM)×PH可求解。
题型训练
利用圆内接四边形性质证明线段相等
1．如图（1），已知，，以边AB为直径的交BC于点D，交AC于点E，连接DE.
（1）求证：.
（2）如图（2），连接OE，将绕点D逆时针旋转，使的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G.试探究线段DF，DG的数量关系.
答案：（1）证明：四边形ABDE内接于，
.，
.，，
，.
（2）解：.理由如下：
四边形ABDE内接于，.
，.
，.
，，
.
，
，
即.
又，.
旋转得到，，
，
即.，
，.
2．如图，四边形是的内接四边形，点在上，连接，延长到点，若.求证：.
答案：证明：连接，如图，
，
，
，
，
而，
，
，
.
解析：连接，如图，根据圆内接四边形的性质得到，再利用得到，从而得到结论.
利用圆内接四边形证明线段关系
3．方法选择
如图①,四边形是⊙的内接四边形,连接,求证：
小颖认为可用截长方法证明,在上截取,连接···
小军认为可用补短方法证明,延长至点,使得···
请你选择一种方法证明：
类比探究
【探究1】
如图②,四边形是⊙的内接四边形,连接是⊙的直径, ,试用等式表示线段之间的数量关系,并证明你的结论
【探究2】
如图③四边形是⊙的内接四边形,连接,若是⊙的直径, ,则线段之间的等量关系式是________
拓展猜想
如图④,四边形是⊙的内接四边形,连接若是⊙的直径,
,则线段之间的等量关系式是___________.
答案：截长法,如图一,在上截取,连接
,为等边三角形
,
,
为等边三角形,
,
,
,
,
补短法:如图二,延长到点,是,连接
,为等边三角形,
,
四边形是圆内接四边形
,
为等边三角形,
,
,即,
,
.
【探究1】
截长法一:如图三,在上截取,连接
是圆心的直径,,
,
,
,
,
在中,
.
截长法二：如图四,过点做垂直,交于点,
通过证明,得出,
通过解得出,从而得出结论,
其他解法：
【探究2】
,
,
,
,
【探究3】
,
,
,
4．如图，点在同一个圆上，且C点为一动点(点C不在上，且不与点重合),.
(1)求证:是该圆的直径;
(2)连接，求证:.
答案：证明:(1)
是该圆的直径.
(2)延长至点E，使得,连接.
在和中,
是等腰直角三角形.
利用圆内接四边形性质解决综合问题
5．如图,四边形是的内接四边形,且,,垂足分别为、,请问与有怎样的数量关系
答案：.理由如下:
如图,连接并延长,与相交于点,连接,则,
∵,∴,
∵是直径,∴,
∴,
∴,∵,∴,
∴是的中位线,
∴,故.
6．已知内接于，，，点D是上一点.
（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，若，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小.
答案：（Ⅰ）BD为的直径，
.
在中，，
；
，，
.
.
（Ⅱ）如图，连接OD.
，
.
四边形ABCD是圆内接四边形，，
.
.
.
是的切线，
，即.
.
课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．如图,的内接四边形中,,,的度数之比是,则的度数是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：设为,则为,为,
∵四边形为圆内接四边形,
∴,,
∴,
解得：,
∴,
∴,
故选：C.
2．如图,四边形是的内接四边形,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵四边形是的内接四边形,,
∴,
∴,
故选：A.
3．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：如图，连接，
是的直径，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
故选：B.
4．如图,,点E是延长线上一点,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：,
点B、C、D在以A为圆心,为半径的圆上,
如下图,在优弧上任取一点F,连接,,
,
,
,,
,
故答案为：A.
5．如图,是半圆O的直径,点C,D在半圆O上.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵是半圆O的直径,
∴,
∵,
∴,
∵四边形ABDC是圆内接四边形,
∴,
∴；
故选D.
6．如图，四边形是的内接四边形，连接，.若，，则为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：是的内接四边形，
，
，
，
，
，
故选：A.
7．如图，是四边形的外接圆，若，则( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：是四边形的外接圆，，
，
故选：B.
8．如图，内接于，是的直径，，点是劣弧上一点，连接、，则的度数是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴.
故选：C.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图,已知四边形内接于,若,则______度.
答案：98
解析：∵四边形内接于,
∴；
又.
∴.
故答案为：98.
10．如图,AB是的直径,点C,D,E在⊙O上,若,则的度数为______.
答案：130°
解析：连接BE,
是直径,
,
,
故答案为:130°.
11．如图，在的内接四边形中，点A是的中点，连接，若，则_______°.
答案：25
解析：的内接四边形中，，
，
点A是的中点，
，
，
故答案为：25.
12．如图，四边形是的内接四边形，，弦，则的半径等于_______.
答案：2
解析：连接OA，OC，
四边形ABCD是的内接四边形，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
即的半径为2.
故答案为：2.
13．如图，四边形内接于半圆O，为半圆O的直径，连接，若点C为的中点，，则的度数为_____°.
答案：70
解析：四边形内接于半圆O，
，
，
，
点C为的中点，
，
是半的直径，
，
.
故答案为：70.
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．如图，四边形是的内接四边形，点在上，连接，延长到点，若.求证：.
答案：证明：连接，如图，
，
，
，
，
而，
，
，
.
解析：连接，如图，根据圆内接四边形的性质得到，再利用得到，从而得到结论.
15．如图，四边形ABCD内接于，，四边形OBCD为菱形，连接AC.
(1)求证：AC平分；
(2)若，，求AD的长.
答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：四边形OBCD为菱形，，.
，平分.
(2)解：连接AO，
，，
又，，，
，
，.
16．如图，正方形ABCD内接于，在劣弧AB上取一点E，连接DE,BE，过点D作交于点F，连接BF,AF，且AF与DE相交于点G.
求证：（1）四边形EBFD是矩形；
（2）.
答案：（1）如答图，连接BD.
四边形ABCD是正方形，，
BD是的直径，
.
，
，
四边形EBFD是矩形.
（2）如答图，连接OA.
四边形ABCD是正方形，
.
四边形EBFD是矩形，，
，
.
17．如图，的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F.
（1）若，求证：.
（2）若，求的度数.
答案：（1）证明：由三角形的外角性质可知，，.
又，，
.
（2）解：由（1）知，.
四边形ABCD是的内接四边形，
，
.
，
.
18．在中，，以为直径的与的交点分别为.
（1）如图①，求的大小；
（2）如图②，当时，求的大小.
答案：（1）四边形是圆内接四边形，
四边形的任意一个外角等于它的内对角，
.
，.
（2）连接，
，
，
.
为直径，
.
.
.
19．如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°.求证:
（1）AD=CD;
（2）AB是⊙O的直径.
答案：（1）.∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ADC=180°-∠B=130°.
∵∠ACD=25°,
∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=180°-130°-25°=25°.
∴∠DAC=∠ACD.
∴AD=CD.
（2）.∵∠BAC=∠BAD-∠DAC=65°-25°=40°,∠B=50°,
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-40°=90°.
∴AB是⊙O的直径.
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