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九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.2.1 点和圆的位置关系
学习目标：
理解并掌握点与圆的位置关系及其应用；
掌握不在同一直线上的三点确定一个圆；
理解三角形的外接圆与三角形的外心的概念
了解反证法证明的一般步骤。
老师告诉你
点和圆的位置关系两点注意
1.等价关系：点和圆的位置关系 点到圆心的距离d和半径r的关系；即由位置关系可以判断数量关系，反过来，由数量关系可以确定位置关系。
2.数形结合思想：解决点和圆的位置关系问题的捷径是利用数形结合思想，借助图形进行判断。
一、知识点拨
知识点1 点和圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d＝r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【新知导学】
例1．如图，在中，，，.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答疑解惑
理解点和圆的位置关系的“两点”技巧：
（1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d）和半径（r）的数量关系．
（2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断．
【对应导练】
1．数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动速度为t，半径为4，若点A在外，则( )
A.或 B. C.琙 D.
2．圆圆在解答问题“在矩形ABCD中，，，以A为圆心作，使得B，C，D三点中至少有一点在内，至少有一点在外，求的半径r的取值范围”时，答案为“”.圆圆的答案对吗？如果错误，请写出正确的解答过程.
3．如图，在矩形ABCD中，，，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在内，则x的取值范围是___________.
知识点2 确定圆的条件
确定圆的条件：
圆心决定了圆的位置，半径决定了圆的大小。
不在同一直线上的三点确定一个圆．
【新知导学】
例2 .平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
答疑解惑
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．
“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【对应导练】
1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．如图,在的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A.点P B.点Q C.点R D.点M
3．如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O.（保留作图痕迹）
4．如图，在中，点D是的平分线上一点，于点D，过点D作交AB于点E.求证：点E是过A,B,D三点的圆的圆心.
知识点3 三角形的外接圆
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
【新知导学】
例3 .为的外接圆，，为的直径，若，则为 　　
A． B． C． D．
【对应导练】
1.如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C． D．
2.如图，内接于，且，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
3 .如图，点是的外接圆的圆心，若，则为　　
A． B． C． D．
4．如图，为外接圆的直径，，垂足为，的平分线交于点，连接，.
（1）求证：.
（2）请判断，，三点是否在以点为圆心、以长为半径的圆上，并说明理由.
知识点4 反证法
反证法的证明命题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→肯定”.即从否定结论开始,得出矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”. 证明步骤 (1)反设:假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)归谬:从这个命题出发,经过推理证明得出与定理、公理、定义、已知条件矛盾的结果，从而证明原命题正确。
【新知导学】
例4．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
已知：在中，.求证：，必为锐角.
答疑解惑
反证法基本步骤为：（1）否定：假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立
推理引出矛盾：从这个命题出发,经过推理证明得出与定理、公理、定义、已知条件矛盾的结果，
（3）肯定：否定假设不成立，从而证明原命题正确
【对应导练】
1．用反证法证明下列问题：
如图，在中，点D、E分别在、上，、相交于点O.求证：和不可能互相平分.
2．用反证法证明:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
3．求证:三角形中至少有一个角不大于60°.
二、题型训练
1.利用点和圆的位置关系判断点的位置
1.的半径为10cm,根据下列点P到圆心O的距离,判断点P和的位置关系:
(1)8cm;
(2)10cm;
(3)12cm.
2.在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
3．如图，在中，，，.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是___________.(写出一个值即可)
2.确定圆的条件在作图中的应用
4．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出其圆心.
（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O.
（2）写出作图的依据.
5.如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）．
3.三角形的外接圆在探究线段数量关系中的应用
6.如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
7. 如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC　 　∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．
三.课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1.已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
如图，内接于，且，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
以坐标原点为圆心，5为半径作圆，则下列各点中，一定在内的是（ ）
A． B． C． D．
已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（ ）．
A．(2,0) B．(2,1) C．(3,0) D．(3,1)
5.如图，在中，已知，点是的中点，以点为圆心作一个半径为的圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定
6 .如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8 .如图，O是的外心，则　　
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 在中，，，，D是边的中点，以点C为圆心，为半径作圆，则点D与的位置关系是 ．
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．若点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，则符合条件的点有_______________________个．
11 .一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
12 .如图，在矩形中，，，是上的一动点（不与点重合）．连接，过点作，垂足为，则线段长的最小值为 ．
13 .如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为___________．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由．
15 .如图，在 ，，尺规作图：求作，使得经过三点． （保留作图痕迹，不写作法）
16 .如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　；
（2）这个圆的半径为　　；
（3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M　　（填内、外、上）．
17 . 在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（1，0），C（3，2），仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题
（1）在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形；
（2）在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）；
（3）△ABC外接圆的圆心M的坐标为　 　．
18．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
19 .综合探究
小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整．
(1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据．
(2)【验证】如图1，在四边形中，，请在图1中作出过点三点的，并直接判断点D与的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法）
(3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，，
求证：点四点共圆．
证明：过三点作，假设点D不在上，
则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）．
假设点D在内时，如图2，延长交于点E，连结AE，
是的外角，，
四边形ABCE是的内接四边形，，
又，．
这与相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在内．
请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在外”（如图3）的情形
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.2.1 点和圆的位置关系
学习目标：
理解并掌握点与圆的位置关系及其应用；
掌握不在同一直线上的三点确定一个圆；
理解三角形的外接圆与三角形的外心的概念
了解反证法证明的一般步骤。
老师告诉你
点和圆的位置关系两点注意
1.等价关系：点和圆的位置关系 点到圆心的距离d和半径r的关系；即由位置关系可以判断数量关系，反过来，由数量关系可以确定位置关系。
2.数形结合思想：解决点和圆的位置关系问题的捷径是利用数形结合思想，借助图形进行判断。
一、知识点拨
知识点1 点和圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d＝r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
【新知导学】
例1．如图，在中，，，.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：C
解析：在中，由勾股定理得.
点C在内且点B在外，，故选C.
答疑解惑
理解点和圆的位置关系的“两点”技巧：
（1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d）和半径（r）的数量关系．
（2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断．
【对应导练】
1．数轴上有两个点A和B，点B表示实数16，点A从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动速度为t，半径为4，若点A在外，则( )
A.或 B. C.琙 D.
答案：A
解析：由题意得，点A表示的数为，
，
半径为4，点A在外，
，
，
或，
或，
故选：A.
2．圆圆在解答问题“在矩形ABCD中，，，以A为圆心作，使得B，C，D三点中至少有一点在内，至少有一点在外，求的半径r的取值范围”时，答案为“”.圆圆的答案对吗？如果错误，请写出正确的解答过程.
答案：圆圆的答案不正确
解析：连接AC，如图，
四边形ABCD为矩形，，
根据勾股定理得，
，C，D三点中至少有一点在内，至少有一点在外，
点B在内，点C，D在外或点B，D在内，点C在外，
，
圆圆的答案不正确.
3．如图，在矩形ABCD中，，，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在内，则x的取值范围是___________.
答案：
解析：连接BD，在中，，.，点A和点B有且只有一个点在内，.
4．已知的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P与的位置关系是______________.
答案：点P在外
解析：解方程，得或-1.
，.的半径为4，，点P在外.
知识点2 确定圆的条件
确定圆的条件：
圆心决定了圆的位置，半径决定了圆的大小。
不在同一直线上的三点确定一个圆．
【新知导学】
例2 .平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当、、、四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆画出图形，即可得出答案．
【解答】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时，
②当三点在一直线上时，如图2，
分别过、、或、、或、、作圆，共3个圆，即，
③当、、、四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，
分别过、、或、、或、、或、、作圆，共4个圆，即此时，
即不能是2，
故选：．
答疑解惑
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．
“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
【对应导练】
1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
2．如图,在的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A.点P B.点Q C.点R D.点M
答案：B
解析：作AB的垂直平分线,作BC的垂直平分线,如图,
它们都经过Q,所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心.
故选：B.
3．如图，点A、B、C在上且，，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O.（保留作图痕迹）
答案：见解析
解析：如图，点O即为所求.
4．如图，在中，点D是的平分线上一点，于点D，过点D作交AB于点E.求证：点E是过A,B,D三点的圆的圆心.
答案：证明：设，
，如图.
点D在的平分线上，
.
，
.
，
，
.
过A,B,D三点确定一个圆，且，
AB是A,B,D所在的圆的直径，
点E是过A,B,D三点的圆的圆心.
解析：要证点E是过A,B,D三点的圆的圆心，需证.
知识点3 三角形的外接圆
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
【新知导学】
例3 .为的外接圆，，为的直径，若，则为 　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答．
【解答】解：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【对应导练】
1.如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵的外心为O，
，
，
，
、是方格纸格线的交点，
、的位置如图所示，
．
故选：D．
2.如图，内接于，且，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据圆周角定理，三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：如图，设于，
，
，
，
，
，
故选：．
3 .如图，点是的外接圆的圆心，若，则为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据圆周角定理即可得到的度数．
【解答】解：点是的外接圆的圆心，
、同对着，
，
，
故选：．
4．如图，为外接圆的直径，，垂足为，的平分线交于点，连接，.
（1）求证：.
（2）请判断，，三点是否在以点为圆心、以长为半径的圆上，并说明理由.
答案：（1）为外接圆的直径，，
.
（2），，三点在以点为圆心、以长为半径的圆上.理由如下：
由（1）知，，.
平分，
又，
.
由（1）知，，
，，三点在以点为圆心、以长为半径的圆上.
知识点4 反证法
反证法的证明命题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→肯定”.即从否定结论开始,得出矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”. 证明步骤 (1)反设:假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)归谬:从这个命题出发,经过推理证明得出与定理、公理、定义、已知条件矛盾的结果，从而证明原命题正确。
【新知导学】
例4．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角.
已知：在中，.求证：，必为锐角.
答案：见解析
解析：假设结论不成立，则，为直角或钝角，
，
，
当为直角时，，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾；
当为钝角时，，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾.
综上所述，假设不成立，
，必为锐角.
答疑解惑
反证法基本步骤为：（1）否定：假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立
推理引出矛盾：从这个命题出发,经过推理证明得出与定理、公理、定义、已知条件矛盾的结果，
（3）肯定：否定假设不成立，从而证明原命题正确
【对应导练】
1．用反证法证明下列问题：
如图，在中，点D、E分别在、上，、相交于点O.求证：和不可能互相平分.
答案：见解析
解析：证明：连接，
假设和互相平分，
四边形是平行四边形，
，
在中，点D、E分别在、上，
不可能平行于，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即和不可能互相平分.
2．用反证法证明:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
答案：已知:如图,直线及外一点
求证:过点有且只有一条直线与平行.
证明:假设过点有两条直线与平行,如图,
∵,∴,这与、相交(、都过点)矛盾,
故假设不成立,因此过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
解析：
3．求证:三角形中至少有一个角不大于60°.
答案：已知: .
求证: 、、中至少有一个角不大于.
证明:假设中的、、都大于,
则,
这与三角形内角和定理相矛盾,所以假设不成立,
故三角形中至少有一个角不大于.
二、题型训练
1.利用点和圆的位置关系判断点的位置
1.的半径为10cm,根据下列点P到圆心O的距离,判断点P和的位置关系:
(1)8cm;
(2)10cm;
(3)12cm.
答案：（1）点在圆内
（2）点在圆上
（3）点在圆外
解析：设P到圆心O的距离为d，
（1）OP=8<10,所以P在点在圆内
（2）OP=10等于半径，所以P在点在圆上
（3）OP=12>10，所以P在点在圆外
2.在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
答案：B
解析：如图，过点O作于点A，连接，
，，
当点P为的延长线与的交点时，点P到直线l的距离最大，最大距离为，
故选：B.
3．如图，在中，，，.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的值可能是___________.(写出一个值即可)
答案：4(答案不唯一)
解析：在中，，，，.当点C在内且点B在外时，.
2.确定圆的条件在作图中的应用
4．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出其圆心.
（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O.
（2）写出作图的依据.
答案：解：（1）如图所示，点O即为所求作的圆心.
（2）作图的依据：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
5.如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）．
(1)在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹．
(2)在图2中找到一个格点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的外接圆与外心、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为外接圆的圆心；
（2）由图可得，取格点，使，且，则，即．
【详解】（1）如图1，点即为所求；
（2）如图2，点即为所求．
3.三角形的外接圆在探究线段数量关系中的应用
6.如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
【答案】（1）证明见解析（2）4
【详解】
解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC．
又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等边三角形．
（2）连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心．
∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4．
（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于60°，从而得证．
（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×=4
7. 如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．
（1）判断：∠ABC　 　∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；
（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．
【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°
【分析】
（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；
（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．
【详解】
解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，
而∠ADC+∠EDC＝180°，
∴∠ABC＝∠PDC．
故答案是：＝；
（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD．
由（1）知：∠ABC＝∠PDC，
又∵BC＝DC，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AC＝CE．
又∵∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；
（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，
∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，
而45°＜α＜135°，
故：45°＜α＜90°．
【点睛】
本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．
三.课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1.已知的半径为4，点A到圆心O的距离为4，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∴点A在圆上
故选B
如图，内接于，且，若，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据圆周角定理，三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：如图，设于，
，
，
，
，
，
故选：．
以坐标原点为圆心，5为半径作圆，则下列各点中，一定在内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，计算圆心（坐标原点）到各个选项中点的距离，然后与半径比较，当距离时，点在圆内，熟记两点之间距离公式是解决问题的关键．
【详解】解：A、坐标原点到的距离为，一定在内，符合题意；
B、坐标原点到的距离为，在上，不符合题意；
C、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意；
D、坐标原点到的距离为，在外，不符合题意；
故选：A．
已知△ABC在网格中的位置如图，那么△ABC对应的外接圆的圆心坐标是（ ）．
A．(2,0) B．(2,1) C．(3,0) D．(3,1)
【答案】A
【分析】
利用坐标系结合网格得出线段AB以及线段BC的垂直平分线交点，即为△ABC对应的圆心．
【详解】
解：如图所示：△ABC对应的圆心坐标是（2，0）．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了垂径定理推论以及三角形外接圆圆心位置确定方法，正确掌握三角形外接圆作法是解题关键．
5.如图，在中，已知，点是的中点，以点为圆心作一个半径为的圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．连接，由等腰三角形三线合一得，求出，根据勾股定理求出，和半径比较即可得出答案．
【详解】解：连接，
∵，，D是的中点，
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
∵的半径为，
∴点A在上，
故选B．
6 .如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求．
【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求，
的外心坐标为，
故选：D．
7.如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用外心的性质，得到OA是∠BAC的平分线，OA=OC，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质计算即可．
【详解】
∵为的外心，，，
∴OA是∠BAC的平分线，
∴，
∵，∴，
∴，
∵为正三角形，
∴，
∴，
又∵为的外角，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形外心的意义，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质并灵活计算是解题的关键．
8 .如图，O是的外心，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
如图，
，
，
同理，，，
，
，
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 在中，，，，D是边的中点，以点C为圆心，为半径作圆，则点D与的位置关系是 ．
【答案】点D在外
【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
根据勾股定理可求出，再根据直角三角形的性质求得，比较与的半径即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵中，，，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
即点D到圆心C的距离为，
∵的半径为，而，
∴点D在外．
故答案为：点D在外
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．若点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，则符合条件的点有_______________________个．
【答案】3
【分析】
由勾股定理求出，由点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，得出，即可得出点的坐标．
【详解】
解：如图，
点、、的坐标分别为，，．
，
点在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，是的外心，
，
则点的坐标为或或，即：共3个．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
11 .一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆，先求出解一元二次方程的根，再分和是直角三角形的两直角边和是直角边，是斜边两种情况解答，根据直角三角形的外接圆的直径即为斜边长即可求解，明确直角三角形的外接圆的直径即为斜边长并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
当和是直角三角形的两直角边时，
直角三角形的斜边，
∴此直角三角形的外接圆的直径为；
当是直角边，是斜边时，
此直角三角形的外接圆的直径为；
综上，此直角三角形的外接圆的直径为或，
故答案为：或．
12 .如图，在矩形中，，，是上的一动点（不与点重合）．连接，过点作，垂足为，则线段长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，三角形的三边关系等知识，首先证明点的运动轨迹是以为直径的 ，连接，利用三角形的三边关系即可得出结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，利用三角形的三边关系解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的，连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
13 .如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为___________．
【答案】（6，6）
【分析】
如图：由题意可得M在AB、BC的垂直平分线上，则BN=CN；证得ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.
【详解】
解：如图∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）．
故答案为（6，6）．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，其中判定△OMN为等腰直角三角形是解答本题的关键．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14 .如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．求得到圆心的距离，与圆的半径进行比较即可作出判断．
【详解】解：连接．
C在上；
在直角中，，
则A在的外部；
，则E在内部；
，则在直角中，，则F在的外部．
15 .如图，在 ，，尺规作图：求作，使得经过三点． （保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查三角形的外接圆以及尺规作线段的垂直平分线，掌握直角三角形外接圆的圆心就是它的斜边中点是解题的关键．作的垂直平分线，找到的中点，则以为直径作圆就是三角形的外接圆．
【详解】解：如图所示，即为所求．
16 .如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　；
（2）这个圆的半径为　　；
（3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M　　（填内、外、上）．
【答案】（1）（2，0）；（2）；（3）内
【分析】
（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出即可；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【详解】
解：（1）如图，圆心的坐标为；
（2），，
，
即的半径为；
（3），，
，
，
点在内．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
17 . 在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（1，0），C（3，2），仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题
（1）在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形；
（2）在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）；
（3）△ABC外接圆的圆心M的坐标为　 　．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于点D的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；
（2）找出AB边和BC边的垂直平分线即可；
（3）分别求出直线AD和直线EF的解析式，联立即可求得M的坐标；
【详解】
解：（1）如图，△A'B'C′为所求；
（2）如图，取格点E、F、D，连接EF和AD相交于点M；
∵AE∥BF，
∴∠AEN=∠BFN，
∵AE=BF，∠ANE=∠BNF，
∴△AEN≌△BFN，
∴AN=BN，
∵，，
∴，，
∴，
∴∠BNF=90°，
∴EF垂直平分AB，
根据正方形的性质可得：AD垂直平分BC，
∴点M为△ABC的外接圆的圆心；
（3）设直线AD的解析式为y=kx+b，则有；
解得：；
∴直线AD的解析式为y=-x+3，
设直线EF的解析式为y=mx+n，则有；
解得：；
∴直线AD的解析式为，
∴；解得：
∴
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，中心对称，三角形的外心、一次函数与一元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
【答案】（1）证明见解析（2）4
【详解】
解：（1）证明：∵∠APC和∠ABC是同弧所对的圆周角，∴∠APC=∠ABC．
又∵在△ABC中，∠BAC=∠APC=60°，∴∠ABC=60°．
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°．
∴△ABC是等边三角形．
（2）连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心．
∴BO平分∠ABC．∴∠OBD=30°.∴OD=8×=4．
（1）根据同弧所对的圆周角相等的性质和已知∠BAC=∠APC=60°可得△ABC的每一个内角都等于60°，从而得证．
（2）根据等边三角形三线合一的性质，得含30度角直角三角形OBD，从而根据30度角所对边是斜边一半的性质，得OD=8×=4
19 .综合探究
小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整．
(1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据．
(2)【验证】如图1，在四边形中，，请在图1中作出过点三点的，并直接判断点D与的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法）
(3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，，
求证：点四点共圆．
证明：过三点作，假设点D不在上，
则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）．
假设点D在内时，如图2，延长交于点E，连结AE，
是的外角，，
四边形ABCE是的内接四边形，，
又，．
这与相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在内．
请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在外”（如图3）的情形
【答案】(1)对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）
(2)图见解析，点D在上
(3)详见解析
【分析】本题考查了反证法，命题与定理及线段的垂直平分线的性质及有关圆的性质是解题的关键．
（1）根据逆命题与原命题是条件、结论互换解答．
（2）根据作过不共线的三个点的圆作法作图，先确定圆心再确定半径；
（3）根据反证法的步骤进行证明．
【详解】（1）解：对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）．
（2）解：如图1，为所求．
点D在上．
（3）证明：假设点D在外时，如图3，
CD交于点E，连结，
是的外角，
．
四边形是的内接四边形，
又，
．
这与相矛盾，所以假设不成立，
所以点D不可能在外．
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