资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.2 阶段方法专训
证明圆的切线的七种常用方法
老师告诉你
证明一条切线是圆的切线的方法及辅助线作法
连半径，证垂直
当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径。简称“连半径。证垂直”。
作垂直，证半径
当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”。
类型一 有公共点：连半径证垂直
方法一 勾股定理逆定理法证垂直
典例剖析
例1．如图，点是上一点，点在直径的延长线上，的半径为3，，．求证：是的切线．

解题策略：题中给出相关线段长度证明切线时，考虑利用勾股定理的逆定理证垂直
针对训练1
1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝4，PB＝2，AB＝6，求证：PC是⊙O的切线．
2．如图，C是上一点，点D在直径的延长线上，的半径为6，，．求证：是的切线．
方法二 特殊角计算法证垂直
典例剖析
例2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°．
（1）判断CG与圆O的关系，并说明理由；
（2）若CD=6，求线段GF的长度．
解题策略：有特殊角时通过计算特殊角的和差证直角，证明垂直
针对训练2
1．已知：如图是圆O的直径，点D在的延长线上，，点C在圆上，，求证是圆O的切线．

2．如图，在中，为的直径，为弦、，．

(1)求的度数；
(2)在图（1）中，P为直径的延长线上一点，且，求证：为的切线．
方法三 等角代换法证垂直
典例剖析
例3．如图，点D为圆O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CAD＝∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB＝3，CD＝9，求ED的长．
解题策略：题目中有相等角时用相等角转换找角的和差证垂直，从而证明切线。
针对训练3
1．如图，的半径为1，C是直径延长线上一点，点D在上，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，点P在上方的上运动（不与点A，B重合），连接．
①求的度数；
②过点D作的垂线，交的延长线于点Q，求的最大长度．
2．如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)作的角平分线，交于点，交于点．
①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
②若，，求的长．
方法四 平行线性质法证垂直
典例剖析
例4．如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过点D作的垂线，垂足为E．
(1)求证：与相切；
(2)请探究线段之间的数量关系，并说明理由．
解题策略：当条件中有平行线时，利用平行线的性质找等角，寻找切线的判定的条件。
针对训练4
1．如图，为直径，点为上一点，平分，，垂足为，交于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的直径．
2． 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．

(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
方法五 全等三角形法证垂直
典例剖析
例5．如图，切于点，点在上，且．求证：是的切线．
解题策略：当条件中有切线，证明另一条切线，直线与圆的交点明确，考虑利用切线的性质构造全等三角形证明角相等。
针对训练5
1．如图，在中，，以为直径作为上一点，且，连接并延长交的延长线于点E．
(1)求证：直线与相切；
(2)若，求的长．
2．综合探究
如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
类型二无公共点：作垂直，证半径
方法六 角平分线性质法证半径
典例剖析
例6．如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．

解题策略：当条件中有角平分线，直线与圆的交点不明确，考虑作垂直，利用角平分线性质证线段相等。
针对训练6
1．如图，在中，，是角平分线，以点D为圆心，为半径的与相交于点E，求证：是的切线；
2．如图，在中，，平分交于点O，以O为圆心，为半径作半圆O．求证：直线与半圆O相切．

方法七 全等三角形法证半径
典例剖析
例7．如图，在四边形中，，，以为直径作，
求证：与相切．

解题策略：当条件中有线段数量关系时，直线与圆的交点不明确，考虑作垂直，证全等。
针对训练7
1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由．
（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积．
2．在数学课上，老师请同学们思考如下问题：
如图，四边形为正方形，以为直径作，请用无刻度直尺过点C作的切线（除外）
小超同学设计的作图过程是这样的：
①连接交于点E；
②连接并延长交于点M；
③连接，交于点N，连接，则直线为的切线．

(1)根据小超的设计，完成作图；
(2)你认为小超的设计正确吗？为什么？请说明理由．
3．已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得．
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求的半径．
九年级数学上点拨与精练
第24章 圆
24.2 阶段方法专训
证明圆的切线的七种常用方法（解析版）
老师告诉你
证明一条切线是圆的切线的方法及辅助线作法
连半径，证垂直
当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径。简称“连半径。证垂直”。
作垂直，证半径
当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”。
类型一 有公共点：连半径证垂直
方法一 勾股定理逆定理法证垂直
典例剖析
例1．如图，点是上一点，点在直径的延长线上，的半径为3，，．求证：是的切线．

【答案】见解析
【分析】可以证明得是直角三角形，即，是的切线．
【详解】证明：连接，

的半径为3，，
，，
，
，
是直角三角形，
，
是的半径，
是的切线．
【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理逆定理，掌握切线的判定定理是解决问题的关键．
解题策略：题中给出相关线段长度证明切线时，考虑利用勾股定理的逆定理证垂直
针对训练1
1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝4，PB＝2，AB＝6，求证：PC是⊙O的切线．
【答案】证明见解析
【分析】连接OC，在△OCP中，用勾股定理的逆定理证明△OCP是直角三角形，得∠PCO=90°，问题得证．
【详解】证明：连接OC，
在△OCP中，PC＝4，OC＝AB＝3，
∵PB=2，OA=OB=OC，
∴OP＝OB＋BP＝3＋2＝5，
∵PC=4，
∴，
∴△OCP是直角三角形，且∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切线．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定以及勾股定理的逆定理的知识，证明△OCP是直角三角形是解答本题的关键．
2．如图，C是上一点，点D在直径的延长线上，的半径为6，，．求证：是的切线．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理的逆定理，连接，根据边长之间的关系，证明出来为直角三角形，即，掌握切线的判定定理是解题的关键．
【详解】证明：连接，如图所示：
，
∵的半径为6，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴是的切线．
方法二 特殊角计算法证垂直
典例剖析
例2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°．
（1）判断CG与圆O的关系，并说明理由；
（2）若CD=6，求线段GF的长度．
【答案】（1）CG是圆O的切线，证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180-∠D-∠G=120，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；
（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出GF的长即可．
【详解】解：
（1）证明：连接OC．
∵OC＝OD，∠D＝30，
∴∠OCD＝∠D＝30，
∵∠G＝30，
∴∠DCG＝180﹣∠D﹣∠G＝120，
∴∠GCO＝∠DCG﹣∠OCD＝90，
∴OC⊥CG．
又∵OC是⊙O的半径．
∴CG是⊙O的切线．
（2）∵∠D＝∠G＝30，
∴CG＝CD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝CD＝3．
∵在Rt△OCE中，∠CEO＝90，∠OCE＝30，
∴EO＝CO，，
设EO＝x，则CO＝2x．
∴（2x）2＝x2+32．
解得x＝（舍负值）．
∴CO＝．
∴FO＝．
在△OCG中，
∵∠OCG＝90，∠G＝30，
∴GO＝2CO＝．
∴GF＝GO﹣FO＝．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，掌握勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系是解题的关键.
解题策略：有特殊角时通过计算特殊角的和差证直角，证明垂直
针对训练2
1．已知：如图是圆O的直径，点D在的延长线上，，点C在圆上，，求证是圆O的切线．

【答案】见解析
【分析】连接、，如图，利用圆周角定理得到，则可计算出，于是可判断 是等边三角形，则，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质计算出，从而得到，然后根据切线的判定定理可得到结论．
【详解】证明：连接、，如图，

∵是的直径，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
又，
，
，而，
，
，
，
是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的判定与性质．
2．如图，在中，为的直径，为弦、，．

(1)求的度数；
(2)在图（1）中，P为直径的延长线上一点，且，求证：为的切线．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据圆的基本性质以及等边三角形的判定与性质求解即可；
（2）作于点，通过面积计算确定，从而求得，进而证得，最终结合点为半径的外端点，证得结论．
【详解】（1）解：在中，，则为等腰三角形，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
（2）证：如图所示，作于点，

由（1）知为等边三角形，
∵，
∴，，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点为半径的外端点，
∴为的切线．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，切线的判定等，掌握圆的基本性质以及切线的判定方法是解题关键．
方法三 等角代换法证垂直
典例剖析
例3．如图，点D为圆O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CAD＝∠BDC，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CB＝3，CD＝9，求ED的长．
【答案】（1）见解析；（2）ED＝36.
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDB+∠BDO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据切线长定理求出AC，进而求得OC和OD，根据证得OCD∽△ECA，得到，求出EC，即可求得ED的长．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠DBA＝∠BDO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDB＝∠CAD，
∴∠CDB+∠BDO＝90°，
即OD⊥CE，
∵D为⊙O的一点，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BC AC，
∵CB＝3，CD＝9，
∴92＝3AC，
∴AC＝27，
∴AB＝AC﹣BC＝27﹣3＝24，
∵AB是圆O的直径，
∴OD＝OB＝12，
∴OC＝OB+BC＝15，
∵过点A作的⊙O切线交CD的延长线于点E，
∴EA⊥AC，
∵OD⊥CE，
∴∠ODC＝∠EAC＝90°，
∵∠OCD＝∠ECA，
∴△OCD∽△ECA，
∴，即，
∴EC＝45，
∴ED＝EC﹣CD＝45﹣9＝36．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，切线长定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
解题策略：题目中有相等角时用相等角转换找角的和差证垂直，从而证明切线。
针对训练3
1．如图，的半径为1，C是直径延长线上一点，点D在上，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，点P在上方的上运动（不与点A，B重合），连接．
①求的度数；
②过点D作的垂线，交的延长线于点Q，求的最大长度．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）如图：连接OD．根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，然后再根据角的和差和等量代换可得即可证明结论；
（2）①先说明，进而得到，然后根据圆周角定理即可解答；②先说明，由直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得；再根据当达到最大长度时，达到最大长度，最后求解即可．
【详解】（1）证明：如图：连接OD．
∵，
∴．
∵是直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∵OD是半径，
∴直线是的切线．
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
∴．
∵与都是所对的圆周角，
∴；
②∵，，
∴，
∴．
在中，根据勾股定理可得，
∴当达到最大长度时，达到最大长度．
∵的最大长度为2，
∴的最大长度为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
2．如图，是半圆的直径，点是半圆上一点（不与点，重合），连接，．点为线段延长线上一点，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)作的角平分线，交于点，交于点．
①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的性质得出即可；
（2）①按照尺规作图方法画图即可；
②证明，得出为等腰直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
是半圆的直径，
，
即，
，
，
，
，
即，
，
为的半径，
为的切线；
（2）解：①如图，为所作；
②平分，
，
，，
而，
，
，
为等腰直角三角形，
．
【点睛】本题考查了切线的证明和等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明，利用等腰三角形的性质得出为等腰直角三角形．
方法四 平行线性质法证垂直
典例剖析
例4．如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过点D作的垂线，垂足为E．
(1)求证：与相切；
(2)请探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的判定与性质，等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）连接，先证，再根据，可得，即可得证结论．
（2）过点作于，根据证，再根据证，再利用等量代换即可得出．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
为的半径，
与相切；
（2）解：，理由如下：
过作于，则，
平分，，，
，，
在与中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
解题策略：当条件中有平行线时，利用平行线的性质找等角，寻找切线的判定的条件。
针对训练4
1．如图，为直径，点为上一点，平分，，垂足为，交于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的直径．
【答案】(1)见解析
(2)的直径长为20．
【分析】（1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出，利用平行线的性质判定可得出，利用平行线的性质可得出，然后利用切线的判定即可得证；
（2）作于点I，由垂径定理得，再证明四边形是矩形，得，，则，由勾股定理得，求得，即可求的直径．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
又是的半径；
∴直线是的切线；
（2）解：作于点I，则，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴的直径长为20．
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
2． 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．

(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)2．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可；
（2）由，得到，由（1）有，可得，从而，根据“等角对等边”证得；
（3）在中，求得，又由（2）有，可得是等边三角形，从而，，因此在中，，根据“三线合一”可得，再求出，证得，从而．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴在中，．
∵，平分，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形，平行线的判定与性质等知识．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
方法五 全等三角形法证垂直
典例剖析
例5．如图，切于点，点在上，且．求证：是的切线．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，连接，则，由切线的性质可得，再证明可得，根据切线的判定即可求证，掌握切线的性质和判定是解题的关键．
【详解】解：连接，则，
∵切于点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
∵为的半径，
∴是的切线．
解题策略：当条件中有切线，证明另一条切线，直线与圆的交点明确，考虑利用切线的性质构造全等三角形证明角相等。
针对训练5
1．如图，在中，，以为直径作为上一点，且，连接并延长交的延长线于点E．
(1)求证：直线与相切；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、切线的判定、勾股定理等知识点，灵活运用切线的性质成为解题的关键．
（1）如图：连接，再证明可得即可证明结论；
（2）设，则；在中运用勾股定理列方程求得，即；设，在中，，即，解得，则；最后在中运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图：连接．
∵点D在圆上，
，
，
∴，
，
，
∴直线与相切．
（2）解：设，
，
在中，，即，解得，
．
是圆的切线，
∴设，在中，，
即，解得，
，
∴在中，．
2．综合探究
如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件先证明，然后利用即可证明．
（2）由（1）可得，由已知条件可得，得出，推出，再由平行线的性质可得．
（3）连接，可得，且，进一步求得和，即可求得．
【详解】（1）证明：∵以为直径的交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
；
（2）解：由（1）可知，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（3）解：连接，如图，
∵，且以为直径
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
则．
【点睛】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定．
类型二无公共点：作垂直，证半径
方法六 角平分线性质法证半径
典例剖析
例6．如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．

【答案】证明过程见解析；
【分析】题目并没有说明直线与有没有交点，所以过点作于点，然后证明即可．
【详解】证明：如图：过点作于点，

是的角平分线，，，
，
是的切线．
【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
解题策略：当条件中有角平分线，直线与圆的交点不明确，考虑作垂直，利用角平分线性质证线段相等。
针对训练6
1．如图，在中，，是角平分线，以点D为圆心，为半径的与相交于点E，求证：是的切线；
【答案】见解析
【分析】作，再根据角平分线的性质得，即可得出答案.
【详解】证明：过点D作于点F，
∵，平分，
∴．
∵是的半径，，
∴是的切线．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键．即过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线．
2．如图，在中，，平分交于点O，以O为圆心，为半径作半圆O．求证：直线与半圆O相切．

【答案】见详解
【分析】作交于，可证，即可求证．
【详解】解：如图，作交于，
，
，
平分，
，
是的半径，
是的半径，
直线与半圆O相切．
【点睛】本题考查了用圆的切线的判定，“作垂直，证半径”，角平分线的性质定理，掌握定理及证法是解题的关键．
方法七 全等三角形法证半径
典例剖析
例7．如图，在四边形中，，，以为直径作，
求证：与相切．

【答案】见解析
【分析】延长交于点，过点作，证、即可求证．
【详解】解：延长交于点，过点作

∵
∴
又
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即圆心到的距离等于圆的半径
∴与相切．
【点睛】本题考查求证某条直线是圆的切线，涉及了全等三角形的判定与性质．熟记相关几何结论进行几何推理是解题关键．
解题策略：当条件中有线段数量关系时，直线与圆的交点不明确，考虑作垂直，证全等。
针对训练7
1．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由．
（2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）
【分析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF= BA，即可证明CD与圆B相切；
(2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合得到∠ABD= 30°，求出AD，再利用阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE求出阴影部分面积．
【详解】解：(1) 过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∴∠BFD=90°，
∵ADBC，∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BFD，
∵ADBC，
∴∠ADB= ∠CBD，
∴CB= CD，
∴∠CBD= ∠CDB，
∴∠ADB = ∠CDB，
在△ABD和△FBD中 ，
，
∴△ABD≌△FBD (AAS)，
∴BF= BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；
(2) ∵∠BCD= 60°，CB= CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD = 60°，
∵ BF⊥CD，
∴∠ABD= ∠DBF= ∠CBF= 30 °，
∴∠ABF= 60 °，
∵ AB= BF= 6，
∴AD= DF= АВ· tan30° = 2，
∴阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE
=
= ．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线．
2．在数学课上，老师请同学们思考如下问题：
如图，四边形为正方形，以为直径作，请用无刻度直尺过点C作的切线（除外）
小超同学设计的作图过程是这样的：
①连接交于点E；
②连接并延长交于点M；
③连接，交于点N，连接，则直线为的切线．

(1)根据小超的设计，完成作图；
(2)你认为小超的设计正确吗？为什么？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)小超的设计正确，理由见解析
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）连接，，如图所示，先由圆周角定理得到，即，再由正方形的性质得到，，则三点共线，即可得到，证明，得到，进而证明四边形为平行四边形，证明，进一步证明，得到，由此即可证明直线为的切线．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：小超的设计正确．
理由如下：连接，，如图所示，

∵是直径，
∴，即，
∵四边形为正方形，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线为的切线．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，正方形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质性质与判定， 圆周角定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得．
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)1.5
【分析】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法是解决问题的前提，转化到直角三角形中利用边角关系求解是常用的方法．
（1）连接，根据切线的判定方法，只要证明即可；
（2）证出是的中位线，进而求出，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可．
【详解】（1）如图，连接、，
在和中，
，，，
，
，
是的切线；
（2），
，
，
，
，
，
，
又，
，
在中，由勾股定理得，
，
即：的半径为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑