资源简介

专题5 构造函数证明不等式
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的．
(一) 把证明转化为证明
此类问题一般简单的题目可以直接求出的最小值,复杂一点的题目是有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围
【例1】（2024届黑龙江省哈尔滨市三中学校高三下学期第五次模拟）已知函数（）.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,求证：.
【解析】（1）由题意可知,函数的定义域为,
导数,
当时,,；当时,,；；
综上,当时,函数在区间上单调递减；
当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
（2）由（1）可知,当时,
函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
所以函数,
要证,需证,
即需证恒成立.
令,则,
所以函数在区间单调递减,故,
所以恒成立,所以当时,.
【例2】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数.
(1)求证：当时,；
(2)求证：.
【解析】（1）证明：因为,则,,
当时,,,,函数单调递减,
则成立；当时,令,则,
因为函数、在上均为减函数,
所以,函数在上为减函数,
因为,,所以存在,使得,
且当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
而,所以,又因为,所以存在,使得,
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
因为,所以,,
所以,对任意的时,成立,综上,对任意的恒成立.
（2）证明：由（1）,对任意的,,则,
即,
对任意的,,
所以,,则,
所以,
从而可得,
上述两个不等式相加可得
,
所以,,
又由（1）,因为,则,
可得,
当且时,,
所以,,即,
所以,当时,,
从而有,
上述两个不等式相加得：
,
所以,,
当时,,即,
所以,对任意的,,
因此,.
(二) 把证明 转化为证明
此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式.
【例3】（2024届西省榆林市第十中学高三下学期一模）已知函数,其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时,证明：．
【解析】（1）,,
当时,,函数在上单调递增；
当时,由,得,
函数在区间上单调递增,
由,得,函数在区间上单调递减．
综上,当时,在上单调递增,无减区间.
当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）当时,,
要证,即证,
①当时,,,；
②当时,令,
则,设,则,
,,,,,
在上单调递增,,即,
在上单调递增,,
即．综上,当时,．
(三) 把证明 转化为证明
有时候把证明 转化为证明后,可能会出现的导函数很复杂,很难根据导函数研究的最值,而的最小值及的最大值都比较容易求,可考虑利用证明的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为未必有.
【例4】（2024届广东省部分学校高三上学期第二次联考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,证明：.
【解析】（1）由题意可得.
则时,由,得,由,得,
则在上单调递减,在上单调递增；
当时,由,得,由,得,
则在上单调递增,在上单调递减.
（2）因为,所以.
因为,所以.
要证,即证,即证.
设,则.当时,,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增.
故.
设,则.当时,,当时,,
则在上单调递增,在上单调递减.
故.因为,且两个最值的取等条件不同,
所以,即当时,.
(四) 把证明转化为证明
若直接证明比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如构造一个中间函数,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数,再通过证明来证明原不等式.
【例5】已知函数在区间上单调．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时,．
【解析】 (1)由已知得,,
要使函数在区间上单调,可知在区间上单调递增,
令,得,即,解得,（）,
当时满足题意,此时,在区间上是单调递增的,故的最在值为.
(2)当时,要证明,即证明,
而,故需要证明.先证：,（）
记,,
时,,所以在上递增,
,故,即.
再证：,（）令,
则则,
故对于,都有,因而在,上递减,
对于,都有,因此对于,都有.
所以成立,即成立,故原不等式成立.
(五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式
此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有：
①去分母,把分数不等式转化为整式不等式；
②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；
③不等式为类型,且的解集比较容易确定,可考虑两边同时除以；
④不等式中含有,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑不等式两边同时除以；
⑤通过换元把复杂的不等式转化为简单不等式.
【例6】（2024届河南省创新发展联盟5月月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,证明：.
【解析】（1）函数的定义域为,
求导得,
若,则,且当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减；
若,令,解得,
若,即,则恒成立,当时,,当时,,
即函数在上递减,在上递增；
若,即,则当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减；
若,即,则在上恒成立,函数在上递增；
若,即,则当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减,
所以当时,的递增区间为,递减区间为；
当时,的递增区间为和,递减区间为；
当时,的递增区间为,无递减区间；
当时,的递增区间为和,递减区间为；
当时,的递增区间为,递减区间为.
（2）要证,需证,
而,即有,
则只需证明,即证,即证,
令,则,当时,,当时,,
即函数在上单调递减,在上单调递增,则,
令,则,当时,,当时,,
函数在上单调递增,在上单调递减,则,
从而,即成立.
(六) 通过减元法构造函数证明不等式
对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数.
【例7】（2024届江西省南昌市高三三模）定义：若变量,且满足：,其中,称是关于的“型函数”.
(1)当时,求关于的“2型函数”在点处的切线方程；
(2)若是关于的“型函数”,
（i）求的最小值：
（ii）求证：,.
【解析】（1）解：当时,可得,则,
所以,所求切线方程为,即.
（2）解：由是关于的“型函数”,可得,即,
（i）因为,
当且仅当即时取得最小值.
（ii）由,即,则,且,,
可设,,其中,
于是,
记,
可得,
由,得,记,当时,当时,,则
,所以.
(七) 与极值点或零点有关的多变量不等式的证明
此类问题通常是给出函数的零点或极值点或,与证明与或有关的不等式,求解时要有意识的利用方程思想代入消元（若是的零点,则,若是的极值点,则,）,减少变量个数.
【例8】（2024届湖南娄底市高三下学期高考考前仿真联考）已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性；
(2)若,
（i）证明：函数有三个不同的极值点；
（ii）记函数三个极值点分别为,且,证明：.
【解析】（1）函数的定义域为,当时,,则
,
令,则,
所以在上递增,所以,
所以当时,,当时,,
所以在上递减,在上递增；
（2）（i）因为,且,,
由,得（）,令,则
,当时,,当时,,
所以在上递减,在上递增,所以,
当时,在和上各有一个实数根,分别记为,则,设,
当或时,,当或时,,
所以在和上递减,在和上递增,
所以函数在上有三个不同的极值点,
（ii）由（i）,
所以是方程的两个不相等的实数根,即,,
所以,
同理,
所以
,
由,,得,
所以,
因为,
所以要证,只要证,
即证,即证,即证,
只需证,即,即,
由（i）可得,所以,
根据（i）中结论可知函数在上递减,
所以要证,即证,
因为,所以,所以只要证,即,得,
即,得,
令,则,
令,则,
所以在上递减,所以,所以,
所以在上递减,所以,所以得证.
(八) 与数列前n项和有关的不等式的证明
此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3,,n代换,然后用叠加法证明.
【例9】（2024届重庆市九龙坡区高三下学期5月质量抽测）已知函数,.
(1)当时,函数恒成立,求实数的最大值；
(2)当时,若,且,求证：；
(3)求证：对任意,都有.
【解析】（1）当时,恒成立,
即恒成立,只需即可,
令,,则,
令,,则,
当时,恒成立,在单调递增,所以,
所以在恒成立,在单调递增,
所以,所以,即实数的最大值为.
（2）当时,,,
所以,在上单调递增,
又,且,不妨设,
要证,即证明,
因为在上单调递增,即证,
因为,即证,
设
,,
令,则,则,,
由可得,在单调递增,
所以,即,
所以成立,所以.
（3）由（2）可知当时,在单调递增,且,
由得,即,
令,则,即,
所以,,,…,,
相加得.
（九）通过同构函数把复杂不等式化为简单不等式
此类问题通常是构造一个函数,把所证不等式转化为,再根据的单调性转化为证明一个较简单的不等式.
【例10】（2024届广东省广州市高中毕业班冲刺训练二）已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时,求证：.
【解析】（1）解：（）（）,令,则,
当时,,所以在区间上恒成立,在区间上单调递增,
所以,.
当时,,则当时,,在区间上单调递减；
当时,,在区间上单调递增,
所以,
而,.所以
综上所述,当时,,；
当时,所以,.
（2）因为,,所以,欲证,只需证明,
只需证明,
因此构造函数（）,,
当时,,在上单调递减；
当时,,在上单调递增：
所以,所以,所以,
因此.
【例1】（2024届内蒙古呼和浩特市高三第二次质量监测）对于函数,若实数满足,则称为的不动点．已知函数．
(1)当时,求证；
(2)当时,求函数的不动点的个数；
(3)设,证明．
【解析】（1）当时,有,
所以,所以
当且仅当,,即时,等号成立,
所以当时,,单调递增,
所以,所以得证.
（2）当时,,
根据题意可知：方程解的个数即为函数的不动点的个数,
化为,令,
所以函数的零点个数,即为函数的不动点的个数,
,令,即,解得,
单调递减 单调递增
因为,,所以在上有唯一一个零点,
又,所以在上有唯一一个零点,
综上所述,函数有两个不动点.
（3）由（1）知,,
令,则,即,
设,则满足,所以,即,
所以,
所以,即.
【例2】（2024届四川省自贡市高三第三次诊断性考试）已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)函数有唯一零点,函数在上的零点为．证明：．
【解析】（1）函数的定义域为,且,
所以当时,当时,
所以的单调递减区间为,单调递增区间为；
（2）法一：由（1）可知若函数有唯一零点,则,即,
令,则,
当时,单调递减,当时,单调递增,
因为,,
所以,
,
当时,当时,
所以在上存在唯一零点,所以,即,
令,则,
所以在上单调递减,
故,
所以,又,
所以,
令,则,所以在上单调递增,
又,所以.
法二：因为,由（1）可知若函数有唯一零点,则,
即,
设,而在上单调递增,
所以,,所以在上单调递增,
又,
令,所以在上单调递增,
所以,而,
.
【例3】（2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数,.
(1)若函数,,讨论函数的单调性；
(2)证明：.（参考数据：,）
【解析】（1）由题意,所以,
当时,,所以在上为增函数；
当时,令得,
所以若时,,所以,所以在上为增函数,
若时,,且时,,时,,
所以在上为增函数,在上为减函数,
综上：当时,在上为增函数,
当时,在上为增函数,在上为减函数；
（2）等价于,
设,则
,
因为,所以,
设,则,则在上单调递增,
而,
所以存在,使,即,所以,即,
当时,,则在上单调递减,
当时,,则在上单调递增,
所以
,
设,则,
则在上单调递增,,
则,则不等式恒成立,
即不等式成立.
【例4】（2024届天津市滨海新区高考模拟检测）已知函数,其中为实数．
(1)当时,
①求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；
②若对任意的,均有,则称为在区间上的下界函数,为在区间上的上界函数．若,且为在上的下界函数,求实数的取值范围．
(2)当时,若,,且,设,．证明：．
【解析】（1）①当时,,所以,
所以函数的图像在处的切线斜率．
又因为,所以函数的图象在处的切线方程为,
②因为函数为在上的下界函数,
所以,即．
因为,所以,故．
令,,则．
设,,则,
所以当时,,从而函数在上单调递增,
所以,故在上恒成立,所以函数在上单调递增,
从而．
因为在上恒成立,所以在上恒成立,
故,即实数的取值范围为．
（2）当时,,,,
要证,
即证,
因为,
所以只要证,
即证,
因为,,
即证,
令,即证,
因为,即证（*）,
令,则．构造函数：
则,
令,
则,
因为,,,
所以．所以在单调递增．
得到,可知在单调递减,．
所以（*）成立,原命题成立．
【例5】（2024届河北省沧州市泊头市第一中学等校高三下学期5月模拟）对于函数和,设,若存在使得,则称和互为“零点相邻函数”.设,,且和互为“零点相邻函数”.
设,则,则,
设,则,
令,则,
所以在上单调递减,
又,所以,即,所以在上单调递减,
又,所以,得证.
1．（2024浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月联考）已知函数,
(1)当时,求的最小值；
(2)若在定义域内单调递增,求实数a的取值范围；
(3)当时,设为函数的极大值点,求证：.
2．（2024届广东省肇庆市德庆县香山中学高三下学期五月月考）已知函数,．
(1)讨论的单调性；
(2)设．
（i）证明：的导函数存在唯一零点；
（ii）证明：．
3．（2025届河北省“五个一”名校联盟高三第一次联）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时,.
4．（2024届上海市格致中学高三下学期三模）已知,,是自然对数的底数.
(1)当时,求函数的极值；
(2)若关于的方程有两个不等实根,求的取值范围；
(3)当时,若满足,求证：.
5．（2024届福建省南平市建阳区年高三预测绝密卷模拟）已知函数,其中为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不同的根．
(i)求的取值范围；
(ii)证明：．
6．（2024届江苏省徐州市高三考前打靶卷）已知函数,.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程；
(2)当时,证明：.
7．（2024届宁夏吴忠市吴忠中学高三下学期第五次模拟）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时,．
8．（2024届北京市十一学校高三下学期三模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立,求实数的取值范围；
(3)求证：．（且）
9．（2024届天津高考数学真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立,求的值；
(3)若,证明．
10．（2024届辽宁省凤城市第一中学高三下学期期初考试）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求证：.
11．（2024届山东省智慧上进高三下学期5月大联考）已知函数,其中．
(1)当时,判断的单调性；
(2)若存在两个极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：时,．
12．（2024届湖南省衡阳市祁东县高三下学期考前仿真联考）已知正项数列的前项和为,首项.
(1)若,求数列的通项公式；
(2)若函数,正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
14．（2024届陕西省安康市高新中学、安康中学高新分校4月联考）已知函数,.
(1)求的极值；
(2)证明：.
15．（2024届安徽省合肥市第六中学高三最后一卷）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若,为函数的两个零点,求证：．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题5 构造函数证明不等式
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的．
(一) 把证明转化为证明
此类问题一般简单的题目可以直接求出的最小值,复杂一点的题目是有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围
【例1】（2024届黑龙江省哈尔滨市三中学校高三下学期第五次模拟）已知函数（）.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,求证：.
【解析】（1）由题意可知,函数的定义域为,
导数,
当时,,；当时,,；；
综上,当时,函数在区间上单调递减；
当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
（2）由（1）可知,当时,
函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
所以函数,
要证,需证,
即需证恒成立.
令,则,
所以函数在区间单调递减,故,
所以恒成立,所以当时,.
【例2】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数.
(1)求证：当时,；
(2)求证：.
【解析】（1）证明：因为,则,,
当时,,,,函数单调递减,
则成立；当时,令,则,
因为函数、在上均为减函数,
所以,函数在上为减函数,
因为,,所以存在,使得,
且当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
而,所以,又因为,所以存在,使得,
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
因为,所以,,
所以,对任意的时,成立,综上,对任意的恒成立.
（2）证明：由（1）,对任意的,,则,
即,
对任意的,,
所以,,则,
所以,
从而可得,
上述两个不等式相加可得
,
所以,,
又由（1）,因为,则,
可得,
当且时,,
所以,,即,
所以,当时,,
从而有,
上述两个不等式相加得：
,
所以,,
当时,,即,
所以,对任意的,,
因此,.
(二) 把证明 转化为证明
此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式.
【例3】（2024届西省榆林市第十中学高三下学期一模）已知函数,其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时,证明：．
【解析】（1）,,
当时,,函数在上单调递增；
当时,由,得,
函数在区间上单调递增,
由,得,函数在区间上单调递减．
综上,当时,在上单调递增,无减区间.
当时,在上单调递增,在上单调递减.
（2）当时,,
要证,即证,
①当时,,,；
②当时,令,
则,设,则,
,,,,,
在上单调递增,,即,
在上单调递增,,
即．综上,当时,．
(三) 把证明 转化为证明
有时候把证明 转化为证明后,可能会出现的导函数很复杂,很难根据导函数研究的最值,而的最小值及的最大值都比较容易求,可考虑利用证明的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为未必有.
【例4】（2024届广东省部分学校高三上学期第二次联考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,证明：.
【解析】（1）由题意可得.
则时,由,得,由,得,
则在上单调递减,在上单调递增；
当时,由,得,由,得,
则在上单调递增,在上单调递减.
（2）因为,所以.
因为,所以.
要证,即证,即证.
设,则.当时,,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增.
故.
设,则.当时,,当时,,
则在上单调递增,在上单调递减.
故.因为,且两个最值的取等条件不同,
所以,即当时,.
(四) 把证明转化为证明
若直接证明比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如构造一个中间函数,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数,再通过证明来证明原不等式.
【例5】已知函数在区间上单调．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时,．
【解析】 (1)由已知得,,
要使函数在区间上单调,可知在区间上单调递增,
令,得,即,解得,（）,
当时满足题意,此时,在区间上是单调递增的,故的最在值为.
(2)当时,要证明,即证明,
而,故需要证明.先证：,（）
记,,
时,,所以在上递增,
,故,即.
再证：,（）令,
则则,
故对于,都有,因而在,上递减,
对于,都有,因此对于,都有.
所以成立,即成立,故原不等式成立.
(五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式
此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有：
①去分母,把分数不等式转化为整式不等式；
②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；
③不等式为类型,且的解集比较容易确定,可考虑两边同时除以；
④不等式中含有,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑不等式两边同时除以；
⑤通过换元把复杂的不等式转化为简单不等式.
【例6】（2024届河南省创新发展联盟5月月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时,证明：.
【解析】（1）函数的定义域为,
求导得,
若,则,且当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减；
若,令,解得,
若,即,则恒成立,当时,,当时,,
即函数在上递减,在上递增；
若,即,则当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减；
若,即,则在上恒成立,函数在上递增；
若,即,则当时,,当时,,
即函数在上递增,在上递减,
所以当时,的递增区间为,递减区间为；
当时,的递增区间为和,递减区间为；
当时,的递增区间为,无递减区间；
当时,的递增区间为和,递减区间为；
当时,的递增区间为,递减区间为.
（2）要证,需证,
而,即有,
则只需证明,即证,即证,
令,则,当时,,当时,,
即函数在上单调递减,在上单调递增,则,
令,则,当时,,当时,,
函数在上单调递增,在上单调递减,则,
从而,即成立.
(六) 通过减元法构造函数证明不等式
对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数.
【例7】（2024届江西省南昌市高三三模）定义：若变量,且满足：,其中,称是关于的“型函数”.
(1)当时,求关于的“2型函数”在点处的切线方程；
(2)若是关于的“型函数”,
（i）求的最小值：
（ii）求证：,.
【解析】（1）解：当时,可得,则,
所以,所求切线方程为,即.
（2）解：由是关于的“型函数”,可得,即,
（i）因为,
当且仅当即时取得最小值.
（ii）由,即,则,且,,
可设,,其中,
于是,
记,
可得,
由,得,记,当时,当时,,则
,所以.
(七) 与极值点或零点有关的多变量不等式的证明
此类问题通常是给出函数的零点或极值点或,与证明与或有关的不等式,求解时要有意识的利用方程思想代入消元（若是的零点,则,若是的极值点,则,）,减少变量个数.
【例8】（2024届湖南娄底市高三下学期高考考前仿真联考）已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性；
(2)若,
（i）证明：函数有三个不同的极值点；
（ii）记函数三个极值点分别为,且,证明：.
【解析】（1）函数的定义域为,当时,,则
,
令,则,
所以在上递增,所以,
所以当时,,当时,,
所以在上递减,在上递增；
（2）（i）因为,且,,
由,得（）,令,则
,当时,,当时,,
所以在上递减,在上递增,所以,
当时,在和上各有一个实数根,分别记为,则,设,
当或时,,当或时,,
所以在和上递减,在和上递增,
所以函数在上有三个不同的极值点,
（ii）由（i）,
所以是方程的两个不相等的实数根,即,,
所以,
同理,
所以
,
由,,得,
所以,
因为,
所以要证,只要证,
即证,即证,即证,
只需证,即,即,
由（i）可得,所以,
根据（i）中结论可知函数在上递减,
所以要证,即证,
因为,所以,所以只要证,即,得,
即,得,
令,则,
令,则,
所以在上递减,所以,所以,
所以在上递减,所以,所以得证.
(八) 与数列前n项和有关的不等式的证明
此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3,,n代换,然后用叠加法证明.
【例9】（2024届重庆市九龙坡区高三下学期5月质量抽测）已知函数,.
(1)当时,函数恒成立,求实数的最大值；
(2)当时,若,且,求证：；
(3)求证：对任意,都有.
【解析】（1）当时,恒成立,
即恒成立,只需即可,
令,,则,
令,,则,
当时,恒成立,在单调递增,所以,
所以在恒成立,在单调递增,
所以,所以,即实数的最大值为.
（2）当时,,,
所以,在上单调递增,
又,且,不妨设,
要证,即证明,
因为在上单调递增,即证,
因为,即证,
设
,,
令,则,则,,
由可得,在单调递增,
所以,即,
所以成立,所以.
（3）由（2）可知当时,在单调递增,且,
由得,即,
令,则,即,
所以,,,…,,
相加得.
（九）通过同构函数把复杂不等式化为简单不等式
此类问题通常是构造一个函数,把所证不等式转化为,再根据的单调性转化为证明一个较简单的不等式.
【例10】（2024届广东省广州市高中毕业班冲刺训练二）已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时,求证：.
【解析】（1）解：（）（）,令,则,
当时,,所以在区间上恒成立,在区间上单调递增,
所以,.
当时,,则当时,,在区间上单调递减；
当时,,在区间上单调递增,
所以,
而,.所以
综上所述,当时,,；
当时,所以,.
（2）因为,,所以,欲证,只需证明,
只需证明,
因此构造函数（）,,
当时,,在上单调递减；
当时,,在上单调递增：
所以,所以,所以,
因此.
【例1】（2024届内蒙古呼和浩特市高三第二次质量监测）对于函数,若实数满足,则称为的不动点．已知函数．
(1)当时,求证；
(2)当时,求函数的不动点的个数；
(3)设,证明．
【解析】（1）当时,有,
所以,所以
当且仅当,,即时,等号成立,
所以当时,,单调递增,
所以,所以得证.
（2）当时,,
根据题意可知：方程解的个数即为函数的不动点的个数,
化为,令,
所以函数的零点个数,即为函数的不动点的个数,
,令,即,解得,
单调递减 单调递增
因为,,所以在上有唯一一个零点,
又,所以在上有唯一一个零点,
综上所述,函数有两个不动点.
（3）由（1）知,,
令,则,即,
设,则满足,所以,即,
所以,
所以,即.
【例2】（2024届四川省自贡市高三第三次诊断性考试）已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)函数有唯一零点,函数在上的零点为．证明：．
【解析】（1）函数的定义域为,且,
所以当时,当时,
所以的单调递减区间为,单调递增区间为；
（2）法一：由（1）可知若函数有唯一零点,则,即,
令,则,
当时,单调递减,当时,单调递增,
因为,,
所以,
,
当时,当时,
所以在上存在唯一零点,所以,即,
令,则,
所以在上单调递减,
故,
所以,又,
所以,
令,则,所以在上单调递增,
又,所以.
法二：因为,由（1）可知若函数有唯一零点,则,
即,
设,而在上单调递增,
所以,,所以在上单调递增,
又,
令,所以在上单调递增,
所以,而,
.
【例3】（2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数,.
(1)若函数,,讨论函数的单调性；
(2)证明：.（参考数据：,）
【解析】（1）由题意,所以,
当时,,所以在上为增函数；
当时,令得,
所以若时,,所以,所以在上为增函数,
若时,,且时,,时,,
所以在上为增函数,在上为减函数,
综上：当时,在上为增函数,
当时,在上为增函数,在上为减函数；
（2）等价于,
设,则
,
因为,所以,
设,则,则在上单调递增,
而,
所以存在,使,即,所以,即,
当时,,则在上单调递减,
当时,,则在上单调递增,
所以
,
设,则,
则在上单调递增,,
则,则不等式恒成立,
即不等式成立.
【例4】（2024届天津市滨海新区高考模拟检测）已知函数,其中为实数．
(1)当时,
①求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；
②若对任意的,均有,则称为在区间上的下界函数,为在区间上的上界函数．若,且为在上的下界函数,求实数的取值范围．
(2)当时,若,,且,设,．证明：．
【解析】（1）①当时,,所以,
所以函数的图像在处的切线斜率．
又因为,所以函数的图象在处的切线方程为,
②因为函数为在上的下界函数,
所以,即．
因为,所以,故．
令,,则．
设,,则,
所以当时,,从而函数在上单调递增,
所以,故在上恒成立,所以函数在上单调递增,
从而．
因为在上恒成立,所以在上恒成立,
故,即实数的取值范围为．
（2）当时,,,,
要证,
即证,
因为,
所以只要证,
即证,
因为,,
即证,
令,即证,
因为,即证（*）,
令,则．构造函数：
则,
令,
则,
因为,,,
所以．所以在单调递增．
得到,可知在单调递减,．
所以（*）成立,原命题成立．
【例5】（2024届河北省沧州市泊头市第一中学等校高三下学期5月模拟）对于函数和,设,若存在使得,则称和互为“零点相邻函数”.设,,且和互为“零点相邻函数”.
(1)求的取值范围；
(2)令（为的导函数）,分析与是否互为“零点相邻函数”；
(3)若,证明：.
【解析】（1）令,得,令,得,
①,解得,②,解得,
所以的取值范围为.
（2）,则,
令,得,当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以,
又,当时,无零点,
所以与不互.为“零点相邻函数”；
当时,,函数的零点为,
所以与互为“零点相邻函数”；
当时,,又因为,
所以此时在区间内存在零点,所以与互为“零点相邻函数”；
当时,,又因为,
所以在区间内存在零点,所以与互为“零点相邻函数”.
综上,当时,与不互为“零点相邻函数”,
当时,与互为“零点相邻函数”.
（3）当时,,
设,则,则,
设,则,
令,则,
所以在上单调递减,
又,所以,即,所以在上单调递减,
又,所以,得证.
1．（2024浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月联考）已知函数,
(1)当时,求的最小值；
(2)若在定义域内单调递增,求实数a的取值范围；
(3)当时,设为函数的极大值点,求证：.
【解析】（1）当时,,定义域为,
则,记
由,可得在单调递增,且,
故时,,单调递减；时,,单调递增,
则的最小值为.
（2）若在定义域内单调递增,则在上恒成立,
,
令,则,且可知,
下证时,,由关于单调递增,则,
令,则,故在上单调递增,且,
则在上单调递减,在上单调递增,所以,
综上所述,时,在定义域上单调递增.
（3）,记,,
易知在上单调递增,且x趋于0时,趋于,,
所以存在唯一,使得,
故在上单调递减,单调递增,其中,
根据函数在上单调递增且,得,
又,所以,
因为当x趋于0时,趋于,所以存在唯一极大值点,满足,
又,则,
由,故,
,
令,,
则,趋于0时,,时,,
所以,即.
2．（2024届广东省肇庆市德庆县香山中学高三下学期五月月考）已知函数,．
(1)讨论的单调性；
(2)设．
（i）证明：的导函数存在唯一零点；
（ii）证明：．
【解析】（1）的定义域为,,
当时,则在内恒成立,可知在内单调递减；
当时,令,解得；令,解得；
可知在内单调递减,在内单调递增；
综上所述：当时,在内单调递减；
当时,在内单调递减,在内单调递增．
（2）（i）,由可知,
设,,因为,在内单调递增,
则在内单调递增,且,,
可知在内存在唯一零点,从而知存在唯一零点；
（ii）由（i）知：当,则,即,单调递减,
当,则,即,单调递增,
则,
又因为,则,,,
可得,即．
3．（2025届河北省“五个一”名校联盟高三第一次联）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时,.
【解析】（1）由题函数定义域为,,
故当时,恒成立,所以函数在上单调递减；
当时,在上单调递减,令,
则时,；时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
综上,当时,函数在上单调递减；当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
（2）由（1）当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
故在上恒成立,
故证证,
即,
令,则,
故当时,；时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以在上恒成立,故,
所以当时,.
4．（2024届上海市格致中学高三下学期三模）已知,,是自然对数的底数.
(1)当时,求函数的极值；
(2)若关于的方程有两个不等实根,求的取值范围；
(3)当时,若满足,求证：.
【解析】（1）当时,,定义域为,求导可得,
令,得,
当时,,函数在区间上单调递减,
当时,,函数在区间上单调递增,
所以在处取到极小值为0,无极大值.
（2）方程,当时,显然方程不成立,
所以,则,
方程有两个不等实根,即与的图象有2个交点,
,当或时,,
在区间和上单调递减,
并且时,,当时,,
当时,,在区间上单调递增,
时,当时,取得最小值,,
作出函数的图象,如图所示：
因此与有2个交点时,,故的取值范围为.
（3）证明：,由,得,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
由题意,且,则,.
要证,只需证,而,且函数在上单调递减,
故只需证,
又,所以只需证,即证,
令,
即,
,
由均值不等式可得,
当且仅当,即时,等号成立.所以函数在上单调递增.
由,可得,即,
所以,
又函数在上单调递减,所以,即得证.
5．（2024届福建省南平市建阳区年高三预测绝密卷模拟）已知函数,其中为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不同的根．
(i)求的取值范围；
(ii)证明：．
【解析】（1）由题意得,,则,
由,解得．显然,
若,则当时,单调递增,当时,单调递减；
若,则当时,单调递减,当时,单调递增．
综上,当时,在区间内单调递增,在区间内单调递减；
当时,在区间内单调递减,在区间内单调递增．
（2）（i）由,得,
设,由(1)得在区间内单调递增,在区间内单调递减,
又,当时,,且当时,,
所以当时,方程有两个不同的根,即方程有两个不同的根,故的取值范围是．
（ii）不妨设,则,且．
解法一：
当时,,即； 当时,．
设
则
所以在区间内单调递增,则,即,
所以
又在区间内单调递减,
所以,即,又,所以,
故,所以,得证．
解法二：
设,,
则,
所以在区间内单调递增,
又,所以,即．
又,所以,
又在区间内单调递减．
所以,即,又,所以,得证．
6．（2024届江苏省徐州市高三考前打靶卷）已知函数,.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程；
(2)当时,证明：.
【解析】（1）当时,,,
则,又因为,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
（2）当时,有,所以,
因为,所以.
令,
则,
当时,,在上单调递减；
当时,,在上单调递增.
所以.故.
7．（2024届宁夏吴忠市吴忠中学高三下学期第五次模拟）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时,．
【解析】（1）由题意知,
当时,,所以在上单调递减；
当时,令,解得,令,解得,
所以在上单调递减,在上单调递增
（2）由（1）得,
要证,即证,即证,
令,则,
令,解得,令,解得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
则恒成立,所以当时,.
8．（2024届北京市十一学校高三下学期三模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立,求实数的取值范围；
(3)求证：．（且）
【解析】（1）函数的定义域为．．
①时,,的递增区间为,无递减区间；
③时,令得；令得,
所以的递增区间为,递减区间为．
（2）由（1）知,时,在上递增,,不合题意,
故只考虑的情况,由（1）知
即，综上,的取值范围为．
（3）由（2）知：当时,恒成立,所以,
所以当恒成立,令,
进而,
即,．
所以．（且）
即．（且）
9．（2024届天津高考数学真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立,求的值；
(3)若,证明．
【解析】（1）由于,故.
所以,,所以所求的切线经过,且斜率为,故其方程为.
（2）设,则,从而当时,当时.
所以在上递减,在上递增,这就说明,即,且等号成立当且仅当.
设,则
.
当时,的取值范围是,所以命题等价于对任意,都有.
一方面,若对任意,都有,则对有
,
取,得,故.
再取,得,所以.
另一方面,若,则对任意都有,满足条件.
综合以上两个方面,知的值是2.
（3）先证明一个结论：对,有.
证明：前面已经证明不等式,故,
且,
所以,即.
由,可知当时,当时.
所以在上递减,在上递增.
不妨设,下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当时,有,结论成立；
情况二：当时,有.
对任意的,设,则.
由于单调递增,且有
,
且当,时,由可知
.
所以在上存在零点,再结合单调递增,即知时,时.
故在上递减,在上递增.
①当时,有；
②当时,由于,故我们可以取.
从而当时,由,可得
.
再根据在上递减,即知对都有；
综合①②可知对任意,都有,即.
根据和的任意性,取,,就得到.
所以.
情况三：当时,根据情况一和情况二的讨论,可得,.
而根据的单调性,知或.
故一定有成立.综上,结论成立.
10．（2024届辽宁省凤城市第一中学高三下学期期初考试）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求证：.
【解析】（1）因为函数,所以,
记,,
所以在上单调递增,且,
所以当时,,即,所以在单调递减；
当时,,即,所以在单调递增,且,
所以.
（2）要证,
只需证明：对于恒成立,
令,则,
当时,令,则,在上单调递增,
即在上为增函数,
又因为,,
所以存在使得,由,
得即即即,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
令,则,
所以在上单调递增,所以,
所以,所以,
即.
11．（2024届山东省智慧上进高三下学期5月大联考）已知函数,其中．
(1)当时,判断的单调性；
(2)若存在两个极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：时,．
【解析】（1）函数的定义域为,
则,令,,则,
所以当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得极小值,即最小值,所以,
所以在上恒成立,所以在上单调递增；
（2）（ⅰ）由（1）可知在上的最小值为,
当时,当时,
若存在两个极值点,则有两个不相等的实数根,
所以,解得,又,所以,
且当时,即,则单调递增,
当时,即,则单调递减,
当时,即,则单调递增,
所以为的极大值点,为的极小值点,
因为,所以,
要证,即证,又,
只需证,即证,即证,
令,则,
所以在上单调递增,所以,即成立,
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知,,
且当时,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
令,则,
所以在上单调递增,
所以,即,
所以,
所以.
12．（2024届湖南省衡阳市祁东县高三下学期考前仿真联考）已知正项数列的前项和为,首项.
(1)若,求数列的通项公式；
(2)若函数,正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
【解析】（1）正项数列中,,,,当时,,
两式相减得,即,
而,则,因此数列是首项为1,公差为2的等差数列,
所以数列的通项公式为.
（2）（i）令,求导得,当时,,当时,,
即函数在上单调递减,在上单调递增,则,即,
于是,
即,即,
当时,,
当时,因此,
所以
因为,
令,则,
①当时,,则在上单调递减,
所以在上单调递增,,
②当时,,则在上单调递减,所以,
综上,符合题意．所以恒成立时,.
（3）由（2）可知,,当且仅当时取等号,
当时,,所以,
,
因为
,
所以即证,令,则,当时,,,
所以即证：,
令,则,
所以时,单调递减,所以,即,
综上,.
14．（2024届陕西省安康市高新中学、安康中学高新分校4月联考）已知函数,.
(1)求的极值；
(2)证明：.
【解析】（1）,,
当时,,当时,,
所以在单调递增,在单调递减,
所以当时,取得极大值,无极小值.
（2）解：令,
则,令,
则在上恒成立,所以在上单调递增,
又,,
所以存在,使得,即,
所以时,,,单调递减,
时,,,单调递增,
,
令,则在上恒成立,
所以在上单调递减,所以,
所以,所以．
15．（2024届安徽省合肥市第六中学高三最后一卷）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若,为函数的两个零点,求证：．
【解析】（1）,．
当时,,则在上单调递增．
当时,令,得,解得．
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增．
综上：当时,在上单调递增；
当时,在上单调递减,在上单调递增．
（2）设,则,,
所以,
所以,,
记,要证,只需证,
只需证,只需证．
记,,则,
记,,
由（1）可知,取,则,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以,即,所以在上单调递增,
又,所以,所以成立．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑