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专题01 实数
掌握定义和按正负两种方式对实数进行分类。要能区分有理数和无理数，对于所给出的数能准确的判断其所属类别。
复习实数与数轴的关系，明确实数与数轴上的点是一一对应的关系。掌握实数的相反数、倒数、绝对值的概念以及性质。
能应用平方或立方运算求某些数的平方根和立方根。
能够对实数的大小进行比较。这里需要对实数的概念和性质有深入的了解。
明确有理数的的运算法则和运算律对实数仍然实用，能够运用这些运算法则和运算律对实数进行加、减、乘、除、乘方等运算。
对无理数进行估算，能正确的判断出无理数的整数部分和小数部分。
实数的概念： 和 统称为
实数的分类
用一条 上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴三要素： 、 、 。
比较实数大小，以0为中心， 的数比 的数大。
实数与数轴上的点是 关系。
只有 的两个数称互为相反数。和是一对互为相反数，叫做的相反数，叫做的相反数。注意：不一定是负数，不一定是正数，为实数。
两个互为相反数的实数和必满足。也可以说实数和满足，则这两个实数,互为相反数。
相反数的几何意义：在数轴上，到原点两边 的两个点表示的两个数是互为相反数，互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于 对称。
绝对值是指一个数在数轴上所对应点到 ，用“| |”来表示。或表示数轴上表示的点和表示的点的距离。
绝对值的性质： 和 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的 。
任何有理数的绝对值都是 ，也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。
除了0以外的数都存在 ， 分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。
如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根。的平方根记为，读作“正负二次根号”，叫做被开方数。其中正的那个平方根称为 （0的算数平方根是 ），求一个数的平方根的运算叫做 。
如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根，记为。求一个数的立方根的运算叫做开立方。
实数的运算包括 加法、 减法、 乘法、 除法、 乘方和 开方。
加法 ：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减法 ：减去一个数等于加上这个数的相反数。
乘法 ：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；多个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；负因数的个数决定积的符号。
除法 ：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0作除数无意义。
乘方 ：表示n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。
开方 ：非负数可以开平方，开方与乘方互为逆运算。
1.把一个数表示成 相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。
【经典例题1】（2024·甘肃嘉峪关·二模）若气温上升记作，则气温下降记作（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（2024·福建莆田·模拟预测）小华5月份体重增长，记作．小颖体重减少，记作（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（2024·湖南·模拟预测）我国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．若零上记作，则零下可记作( )
A． B． C． D．
【变式训练1-3】（2024·贵州贵阳·一模）如果收入500元记作元，那么元表示（ ）
A．收入300元 B．支出300元 C．收入200元 D．支出200元
【经典例题2】（2024·湖南长沙·模拟预测）下列各数中，是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（2023·山东日照·模拟预测）在实数中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-2】（2024·云南昭通·二模）在数，，，中，有理数的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练2-3】（2023·广东河源·二模）分别写有数字、、、、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到有理数的概率的是 ．
【经典例题3】（2024·吉林长春·模拟预测）若数轴上表示的点到原点的距离是1，则数轴上表示的点到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，整数在数轴上的位置如图所示，则它的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式训练3-2】（2023·贵州六盘水·一模）如图，已知数轴上有三点A，B，C，，点A对应的数是，点B对应的数是，点C对应的数是21，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练3-3】（2024·陕西·模拟预测）若点A在数轴上表示的数是，将点A向右平移2个单位长度，正好与点B重合，则点B表示的数是 ．
【经典例题4】（2022·四川达州·模拟预测）如图，点，，，在数轴上，点，点表示的数分别是和，且满足，则线段的中点所表示的数是（ ）

A． B． C． D．
【变式训练4-1】（2023·四川乐山·模拟预测）如图，数轴上的点A、B分别表示数和，且．若A、B两点间的距离为6，则点A表示的数 ．

【变式训练4-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，C是线段的中点，则点C所表示的数是 ．
【变式训练4-3】（2024·河南·模拟预测）如图，数轴上有A，B两点，但是现在不确定原点的位置，老师告诉同学们原点位于A，B之间，而且若将负半轴沿原点折叠到正半轴上，发现点A落在点B右侧6个单位长度处，则线段的中点表示的数为（ ）
A． B． C．2 D．3
【经典例题5】（2024·河北沧州·模拟预测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2．
(1)第______次按键后，点 M正好到达原点；
(2)第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少？
(3)第n次按键后，点M，N到达的点表示的数互为相反数，求n的值．
【变式训练5-1】（2024·河北保定·一模）如图，数轴上的A，B两点表示的数分别为，．把一张透明的胶片放置在数轴所在的平面上，并在胶片上描出线段（点A，B分别对应点，）．左右平移该胶片，平移后的点表示的数为a，点表示的数为b．
(1)计算：；
(2)若胶片向右平移m个单位长度，求的值（用含m的式子表示）．
【变式训练5-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，在数轴上对应的数分别为，b，3，某同学将刻度尺按图2方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5处，点C对齐刻度尺3.5处．
（1）数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ．
（2）有一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第四次跳动后，数轴上点所表示数为 ．
【经典例题6】（2024·湖南·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】（2024·江苏徐州·二模）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】（2024·广东广州·三模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】（2024·贵州贵阳·一模）三边长分别为a，b，c，已知数a，在数轴上的位置如图所示，则数c在数轴上对应的位置是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【经典例题7】（2024·广东广州·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式训练7-1】（2024·广东深圳·三模）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．3和 B．3和 C．和 D．和
【变式训练7-2】（2024·山东枣庄·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式训练7-3】（2024·广东汕头·一模）下列互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【经典例题8】（2023·四川自贡·模拟预测）若有理数，满足，则的值等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式训练8-1】（2023·广东湛江·模拟预测）若 ABC的内角满足，则 ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式训练8-2】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在数轴上，若点、分别表示数、，则表示点到原点的距离，表示、两点间的距离．以下说法正确的有（　　）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④函数与函数有三个交点．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练8-3】（2024·山东潍坊·模拟预测）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　 ）
A． B． C．0 D．1
【经典例题9】（2023·宁夏银川·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-1】（2022·山东淄博·一模）如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则化简|a-b|-|c-a|+|b-c|的结果是（ ）
A．2a-2c B．0 C．2a-2b D．2b-2c
【变式训练9-2】（2023·云南昆明·一模）在中，，是锐角，若，则的大小是 ．
【变式训练9-3】（2024·河北邢台·模拟预测）按要求完成下列各题
(1)在数轴上表示下列各数：，，1.5，；
(2)用“”将（1）题中的各数连接起来；
(3)a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简．
【经典例题10】阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　 　，数轴上表示﹣2和3的两点之间的距离是　 　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为　 　；
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【变式训练10-1】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示1和3两点之间的距离　 　．
(2)数轴上表示﹣12和﹣6的两点之间的距离是　 　．
(3)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为　 　．
(4)若x表示一个有理数，且﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝　 　．
【变式训练10-2】阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4；
例2：解方程．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若对应的
点在2的右边，如图可以看出；同理，若对应点在-1的左边，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在数轴上找出的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的值就满足，所以的解为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为　 　；
（2）方程的解为　 ；
（3）若，求的取值范围．
【经典例题11】（2023·广东·模拟预测）已知a是4的算术平方根，则方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．不能确定
【变式训练11-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）下列说法正确的是（　　）
A．是的算术平方根 B．是的算术平方根
C．的算术平方根是1 D．的算术平方根是
【变式训练11-2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ．
【答案】
【变式训练11-3】（2024·广西·模拟预测）平方根等于它本身的数为a，算术平方根等于它本身的数为b，则的和为 ．
【经典例题12】（2023·浙江宁波·模拟预测）已知x，y为实数，且，则的平方根为（　　）
A． B．2 C． D．
【变式训练12-1】（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰 ABC的两条边的边长，则 ABC的周长是 ．
【变式训练12-2】若菱形的两对角线长分别为a、b，且满足 ，则该菱形的面积为 ．
【变式训练12-3】（2024·浙江湖州·二模）在平面直角坐标系中，当点不在坐标轴上时，我们定义的影子点为．已知点的坐标为，且满足方程组（为常数），若点的影子点是，已知点正好落在一次函数的图象上，则的值是 ．
【经典例题13】（2023·湖北荆州·一模）观察下列各式：，用你发现的规律直接写出下面式子的值＝ ．
【变式训练13-1】（2022·北京海淀·二模）由，，我们可以确定是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定个位上的数是 ，如果只看1225的前两位12，而，，我们能确定十位上的数是 ．
【变式训练13-2】（2023·安徽合肥·一模）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
(1)写出④______；
(2)猜想：______；
(3)由以上规律，计算的值．
【变式训练13-3】（2024·浙江嘉兴·一模）观察下面的等式：，，，，
(1)写出的结果；
(2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的．
【经典例题14】（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法中不正确的是（ ）
A．正数的平方根有两个，立方根也有两个； B．64的立方根是4；
C．3是27的立方根； D．任何一个数都有立方根．
【变式训练14-1】（2023·广东深圳·模拟预测）一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（ ）
A． B． C．16 D．4
【变式训练14-2】（2023·河北保定·模拟预测）已知，一个正数a的平方根为和，则正数a为 ，b的立方根为 ．
【变式训练14-3】（2021·福建福州·一模）若实数、满足：，．则的值是 ．
【经典例题15】如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？
【变式训练15-1】某快递公司为顾客邮寄的快递提供纸箱包装服务，现有一款底面积为，长，宽，高的比分别为的长方体包装纸箱．
(1)求这个长方体包装纸箱的长，宽，高各是多少？
(2)一顾客要邮寄甲乙两件正方体物品，它们的底面积分别为，，从节约材料的角度考虑，该快递公司的员工决定用这款长方体包装纸箱．如图所示，将甲乙两件正方体物品并排摆放在该长方体包装箱中．请问这名员工的想法能否实现，并说明理由．
【变式训练15-2】（2024·四川南充·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两个实数根为，，且，求的值．
【经典例题16】已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根．
【变式训练16-1】（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根．
（2）若x，y都是实数，且，求的立方根．
【变式训练16-2】已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是．
(1)求a，b，c的值：
(2)求的平方根和立方根．
【变式训练16-3】已知的立方根是，的算术平方根是，的小数部分为．
(1)分别求出a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【经典例题17】（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为，则该铁块棱长大小的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练17-1】（2024·重庆江津·模拟预测）估计的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【变式训练17-2】已知，；
(1)求的值．
(2)若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求的平方根．
【变式训练17-3】（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）；
(2)结合图中思路，解释该方法的合理性．
【变式训练17-4】（2022·江苏盐城·一模）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题：
(1)求的整数部分和小数部分；
(2)若m是的小数部分，n是的小数部分，且（x+1）2＝m+n，求x的值．
【经典例题18】（2024·湖南长沙·模拟预测）下列四个实数：， ， 9，，其中比0小的数是（ ）
A． B． C．9 D．3．14
【变式训练18-1】（2024·山东济南·模拟预测）实数中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【变式训练18-2】（2024·河北保定·二模）如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（ ）
A．m为有理数，n为无理数 B．m为无理数，n为有理数
C．m，n都为有理数 D．m，n都为无理数
【变式训练18-3】实数，，，，，中，有理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典例题19】如图，，则数轴上点所表示的数为（ ）

A． B． C． D．
【变式训练19-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【变式训练19-2】（2024·贵州贵阳·一模）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ．
【变式训练19-3】（2024·四川乐山·模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则实数a b．（用“>”、“<”或“=”号填空）
【经典例题20】（2024·北京房山·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练20-1】（2024·河北秦皇岛·一模）若，，则关于P与Q的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【变式训练20-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）．
【变式训练20-3】（2023·江苏盐城·模拟预测） （填“、或”）．
【经典例题21】（2023·湖南岳阳·模拟预测）计算：
【变式训练21-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）计算：．
【变式训练21-2】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）计算：
(1)；
(2)．
【变式训练21-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）计算： ．
【经典例题22】有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的y等于（　　）
A． B．8 C．2 D．
【变式训练22-1】（2023·山东烟台·一模）按如图所示的程序进行计算，若输入的值为6，则输出的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式训练22-2】（2023·贵州黔东南·一模）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是 ．
【变式训练22-3】（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是 ．
【经典例题23】（2024·湖南·模拟预测）对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为 ．
【变式训练23-1】规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么
例如：因为，所以．
规定：，比如：
(1)根据上述规定，填空：____________，____________，____________．
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：他给出如下的证明：设，则，而，所以，则，即，所以
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
(3)请你参照（2）的，写出一个成立的等式____________．
【变式训练23-2】（2024·北京·模拟预测）对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是（ ）
A．
B．函数的最大值为1，最小值为0
C．函数不存在对称轴
D．随着的增大，函数和函数越来越接近
【变式训练23-3】（2024·湖北·模拟预测）已知，则 ．
【经典例题24】（2023·四川攀枝花·中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名．
(1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）．
(2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
(3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
【变式训练24-1】（2022·重庆·一模）某高端酒店准备打造一个面积为450m2的长方形花园，现有墙AB长25m，篱笆长65m的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了如图所示的两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策．（决策依据如下：长方形的宽与长之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6）
(1)方案1：如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？
方案2：如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，其中BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长．
(2)根据（1）中的计算结果，请为该酒店作出合理的决策．
【变式训练24-2】我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题：
(1)如果，其中m、n为有理数，求m和n的值；
(2)如果，其中m、n为有理数，求的立方根；
(3)若m、n均为有理数，且，求的算术平方根．
【变式训练24-3】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：
(1)如果，其中a，b为有理数，那么 ， ．
(2)如果，其中a，b为有理数，求的值．
【经典例题25】（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
(1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：__________________．
(2)请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明．
【变式训练25-1】（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则：
(1)　　　　，　　　　　；
(2)求的值．
【变式训练25-2】（2024·安徽合肥·一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)填空：______=______；
(2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【变式训练25-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ．
【经典例题26】（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练26-1】（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练26-2】（2023·四川资阳·中考真题）毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练26-3】（2023·江苏南京·中考真题）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【经典例题27】（2024·西藏·中考真题）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练27-1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练27-2】（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练27-3】（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
【经典例题28】（2024·湖北孝感·模拟预测）将有理数用四舍五入法精确到千位是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练28-1】（2024·河北邢台·模拟预测）截至2024年3月21日，已有150家疏解单位7025名职工在雄安新区缴存住房公积金，缴存金额达5.02亿元．下列关于5.02亿说法正确的是（ ）
A．5.02亿用科学记数法表示为 B．5.02亿
C．5.02亿是一个九位数 D．5.02亿精确到十万位
【变式训练28-2】（2024·山东泰安·二模）下列说法正确的有（　　）
①近似数7.4与7.40是一样的
②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0
③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0
④由四舍五入法得到的近似数精确到千分位，有3个有效数字
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练28-3】（2024·湖北宜昌·模拟预测）某会议参会人数准确数为人，新闻报道参会人数约为百人，下列说法正确的是（ ）
A．人数统计精确到百位 B．人数统计精确到十位
C．人数统计精确到个位 D．人数统计精确到十分位中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 实数
掌握定义和按正负两种方式对实数进行分类。要能区分有理数和无理数，对于所给出的数能准确的判断其所属类别。
复习实数与数轴的关系，明确实数与数轴上的点是一一对应的关系。掌握实数的相反数、倒数、绝对值的概念以及性质。
能应用平方或立方运算求某些数的平方根和立方根。
能够对实数的大小进行比较。这里需要对实数的概念和性质有深入的了解。
明确有理数的的运算法则和运算律对实数仍然实用，能够运用这些运算法则和运算律对实数进行加、减、乘、除、乘方等运算。
对无理数进行估算，能正确的判断出无理数的整数部分和小数部分。
实数的概念：有理数和无理数统称为实数
实数的分类
用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴三要素：原点、单位长度、正方向。
比较实数大小，以0为中心，右边的数比左边的数大。
实数与数轴上的点是一一对应关系。
只有符号不同的两个数称互为相反数。和是一对互为相反数，叫做的相反数，叫做的相反数。注意：不一定是负数，不一定是正数，为实数。
两个互为相反数的实数和必满足。也可以说实数和满足，则这两个实数,互为相反数。
相反数的几何意义：在数轴上，到原点两边距离相等的两个点表示的两个数是互为相反数，互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称。
绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。或表示数轴上表示的点和表示的点的距离。
绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
任何有理数的绝对值都是非负数，也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。
除了0以外的数都存在倒数， 分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。
如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根。的平方根记为，读作“正负二次根号”，叫做被开方数。其中正的那个平方根称为算术平方根（0的算数平方根是0），求一个数的平方根的运算叫做开平方。
如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根，记为。求一个数的立方根的运算叫做开立方。
实数的运算包括 加法、 减法、 乘法、 除法、 乘方和 开方。
加法 ：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减法 ：减去一个数等于加上这个数的相反数。
乘法 ：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；多个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；负因数的个数决定积的符号。
除法 ：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0作除数无意义。
乘方 ：表示n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。
开方 ：非负数可以开平方，开方与乘方互为逆运算。
1.把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。
【经典例题1】（2024·甘肃嘉峪关·二模）若气温上升记作，则气温下降记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正负数的意义，利用正数和负数表示具有相反意义的量．根据正负数的意义，气温上升记为“+”，则气温下降记为“-”，据此解答即可得到答案．
【详解】解：若气温上升记作，则气温下降记作，
故选：C．
【变式训练1-1】（2024·福建莆田·模拟预测）小华5月份体重增长，记作．小颖体重减少，记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，根据正数和负数是一组具有相反意义的量求解即可．
【详解】解：小华5月份体重增长，记作．小颖体重减少，记作．
故选：B
【变式训练1-2】（2024·湖南·模拟预测）我国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．若零上记作，则零下可记作( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正负数的意义解决实际问题，根据题意，直接利用正负数的意义表示即可得到答案，熟记正负数的意义是解决问题的关键．
【详解】解：若零上记作，则零下可记作，
故选：C．
【变式训练1-3】（2024·贵州贵阳·一模）如果收入500元记作元，那么元表示（ ）
A．收入300元 B．支出300元 C．收入200元 D．支出200元
【答案】B
【分析】本题主要考查正数和负数，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．
【详解】解：“正”和“负”相对，
所以，如果收入500元记作元，那么元表示支出300元．
故选：B．
【经典例题2】（2024·湖南长沙·模拟预测）下列各数中，是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数的定义和无理数的定义，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称；无理数就是无限不循环小数，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数，也考查了绝对值，零指数幂．
【详解】，
故选：D．
【变式训练2-1】（2023·山东日照·模拟预测）在实数中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
【详解】解：在实数中，有理数是，
所以，有理数的个数为2，
故选：B
【变式训练2-2】（2024·云南昭通·二模）在数，，，中，有理数的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的概念，掌握“整数和分数统称有理数”是解题的关键．
根据有理数的定义，结合所给的数据即可得出答案．
【详解】解：有理数有：，，，因此有3个，
故选：B．
【变式训练2-3】（2023·广东河源·二模）分别写有数字、、、、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到有理数的概率的是 ．
【答案】
【分析】找出有理数的个数，结合概率公式计算即可．
【详解】解：∵数字、、、、中，、、是有理数，即个数中有个有理数，
∴从中任意抽取一张，抽到有理数的概率．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率公式以及有理数的识别，正确识别有理数是解题的关键．
【经典例题3】（2024·吉林长春·模拟预测）若数轴上表示的点到原点的距离是1，则数轴上表示的点到原点的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上的有理数的表示是解题的关键；由题意易得a所表示的数为，则有表示的数也为，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可知a所表示的数为，则有表示的数也为，所以数轴上表示的点到原点的距离是1；
故选B．
【变式训练3-1】（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，整数在数轴上的位置如图所示，则它的相反数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的相反数，根据数轴可知整数表示的数为，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，整数表示的数为，则它的相反数是2，
故选：A．
【变式训练3-2】（2023·贵州六盘水·一模）如图，已知数轴上有三点A，B，C，，点A对应的数是，点B对应的数是，点C对应的数是21，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据数轴上两点间距离可得：，从而可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：∵点A对应的数是，点B对应的数是，点C对应的数是21，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故选：B．
【变式训练3-3】（2024·陕西·模拟预测）若点A在数轴上表示的数是，将点A向右平移2个单位长度，正好与点B重合，则点B表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，直接用点A表示的数加上向右移动的距离即可得到答案．
【详解】∵点A在数轴上表示的数是，将点A向右平移2个单位长度，正好与点B重合，
∴点B表示的数是：，
故答案为：．
【经典例题4】（2022·四川达州·模拟预测）如图，点，，，在数轴上，点，点表示的数分别是和，且满足，则线段的中点所表示的数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，两点中点计算公式，先根据两点距离计算公式得到，再根据线段之间的关系求出，，进而得到，再分别求出点B和点C表示的数即可得到答案．
【详解】解：∵点，点表示的数分别是和，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A表示的数为，
∴点B表示的数为，点C表示的数为，
∴线段的中点所表示的数是，
故选：A．
【变式训练4-1】（2023·四川乐山·模拟预测）如图，数轴上的点A、B分别表示数和，且．若A、B两点间的距离为6，则点A表示的数 ．

【答案】
【分析】本题考查数轴上点的位置以及相反数，根据，、两点间的距离为6判断出点、分别表示的数即可，解题关键是找到点、分别所在的位置．
【详解】解：，
、互为相反数，
、两点间的距离为6，
点、分别在距离原点3的位置上，
点表示的数为．
故答案为：．
【变式训练4-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，C是线段的中点，则点C所表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，先计算出，则由线段中点的定义得到，据此根据数轴上两点距离公式求解即可．
【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，
∴，
∵C是线段的中点，
∴，
∴点C所表示的数为，
故答案为：．
【变式训练4-3】（2024·河南·模拟预测）如图，数轴上有A，B两点，但是现在不确定原点的位置，老师告诉同学们原点位于A，B之间，而且若将负半轴沿原点折叠到正半轴上，发现点A落在点B右侧6个单位长度处，则线段的中点表示的数为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴、折叠以及线段的中点问题．先根据题意画出图形，求出的长即可得出线段的中点表示的数．
【详解】解：如图，点A落在点处，点C是线段的中点，，
设点A表示的数为，则，
∴．
∴．
∴．
即线段的中点表示的数为．
故选：A．
【经典例题5】（2024·河北沧州·模拟预测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2．
(1)第______次按键后，点 M正好到达原点；
(2)第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少？
(3)第n次按键后，点M，N到达的点表示的数互为相反数，求n的值．
【答案】(1)3
(2)18
(3)
【分析】本题考查数轴，相反数，解一元一次方程，根据题意列出点M、N表示的数是本题的关键．
（1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是，因为点M正好到达原点，所以，解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点；
（2）第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为，可得点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少；
（3）由题意得，M点表示的数是，N点表示的数是，因为点M，N到达的点表示的数互为相反数，所以，可解得n的值．
【详解】（1）解：设进行a次按键，
由题意得，M点表示的数是，
点M正好到达原点，
，
解得：，第3次按键后，点M正好到达原点，
故答案为：3；
（2）解：第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为，
，
第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大18；
（3）解：由题意得，第n次按键后，M点表示的数是，N点表示的数是，
点M，N到达的点表示的数互为相反数，
，
解得：．
【变式训练5-1】（2024·河北保定·一模）如图，数轴上的A，B两点表示的数分别为，．把一张透明的胶片放置在数轴所在的平面上，并在胶片上描出线段（点A，B分别对应点，）．左右平移该胶片，平移后的点表示的数为a，点表示的数为b．
(1)计算：；
(2)若胶片向右平移m个单位长度，求的值（用含m的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可以理解为胶片向右平移1个单位长度，即可求解；
（2）根据、向右平移m个单位长度，得到、的值，代入即可求解；
本题考查了，数轴上的动点，解题的关键是：表示出平移后的数．
【详解】（1）解：，
故答案为：，
（2）解：根据题意得：，
故答案为：．
【变式训练5-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，在数轴上对应的数分别为，b，3，某同学将刻度尺按图2方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5处，点C对齐刻度尺3.5处．
（1）数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ．
（2）有一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第四次跳动后，数轴上点所表示数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键．
（1）根据点、是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解；
（2）根据线段的长度及刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现你点对齐刻度尺，点对齐刻度尺处，即可通过比例关系求出的值，然后分别先求出线段的长度，既可以根据线段中点的概念进行求解．
【详解】解：（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，3，
；
，
数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，
故答案为：；
（2）刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度尺处，点对齐刻度尺处，，
，
数轴上点对应的数为，
，
一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处，
点表示的数为，
第二次从点跳动到的中点处，
点表示的数为，
第三次从点跳动到的中点处，
点表示的数为，
第四次从点跳动到的中点处，
点表示的数为．
故答案为：．
【经典例题6】（2024·湖南·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用数轴表示数以及不等式的性质，加法与乘法法则，依次判断选项即可．
【详解】解：从题图中得出，，，
所以，，，，
故选项B、C、D错误，选项A正确，
故选：A．
【变式训练6-1】（2024·江苏徐州·二模）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是数轴与有理数的大小比较，绝对值的性质，会利用数轴比较有理数的大小是解决问题的关键．
首先由数轴得到，进而得到，，判断即可．
【详解】由数轴可得，，故A错误；
∴，故B正确；
∴，故C错误；
∴，故D错误．
故选：B．
【变式训练6-2】（2024·广东广州·三模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
故正确的是C选项，
故选C．
【变式训练6-3】（2024·贵州贵阳·一模）三边长分别为a，b，c，已知数a，在数轴上的位置如图所示，则数c在数轴上对应的位置是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系逐个判断即可．本题考查了数轴，三角形的三边关系是本题的解题关键．
【详解】解：∵三角形三边长分别为a，b，c，
，
由图得，和，小于，大于，
、、不符合题意，
符合题意，
故选：C
【经典例题7】（2024·广东广州·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【分析】本题考查了相反数和绝对值，解题的关键是掌握相反数的定义．根据相反数的定义即可解答．
【详解】解：A中、和互为相反数，符合题意；
B中、，不是互为相反数，故不符合题意；
C中、，不是互为相反数，故不符合题意；
D中、和不是互为相反数，不符合题意；
故选：A．
【变式训练7-1】（2024·广东深圳·三模）下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．3和 B．3和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．利用相反数的定义判断．
【详解】解：3和不互为相反数，选项不符合题意；
3和互为相反数，选项符合题意；
，两个数不互为相反数，选项不符合题意；
，两个数不互为相反数，选项不符合题意．
故选：．
【变式训练7-2】（2024·山东枣庄·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】根据互为相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵与互为倒数，
∴项不符合题意；
∵和不是只有符号不同，
∴项不符合题意；
∵与互为相反数，
∴项符合题意；
∵和符号相同，
∴项不符合题意．
故选．
【变式训练7-3】（2024·广东汕头·一模）下列互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查相反数和绝对值的定义，符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此逐项判断即可，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：A、，所以和不是互为相反数，故选项不符合题意；
B、，所以和互为相反数，故选项符合题意；
C、，所以和不是互为相反数，故选项不符合题意；
D、，所以和不是互为相反数，故选项不符合题意；
故选：B．
【经典例题8】（2023·四川自贡·模拟预测）若有理数，满足，则的值等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，利用完全平方公式化简是解题的关键．
利用完全平方公式化简后再根据绝对值和平方的非负性即可得出结果．
【详解】解：，
化简得，，
，
．
故选：C．
【变式训练8-1】（2023·广东湛江·模拟预测）若的内角满足，则的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记特殊角的三角函值是解答本题的关键．由非负数的性质得，求出即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
即的形状是直角三角形．
故选：A．
【变式训练8-2】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在数轴上，若点、分别表示数、，则表示点到原点的距离，表示、两点间的距离．以下说法正确的有（　　）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④函数与函数有三个交点．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】利用非负数的性质得出，，代入即可判断①；解绝对值方程求得的值即可判断②；由知，，或，，或，，，分别求解即可判断③；作出函数与函数的图像，根据函数的图像即可判断④．
【详解】解：①∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
故说法①正确；
②∵，
∴或，
当时，方程无解；
当时，，
故说法②错误；
③若，则，，或，，或，，，
当，，时，则，，，
∴；
当，，时，则，，，
∴；
当，，时，则，，，
∴；
故说法③正确；
④当时，即，；
当时，即或，；
作出函数的图像如图：
由图像可知，函数与函数有三个交点，故说法④正确，
∴说法正确的有个．
故选：C．
【点睛】本题考查非负数的性质，解绝对值方程，绝对值的代数意义，分式的化简求值，二次函数的图像及一次函数的图像．作出分段函数的图像，采用数形结合的方法确定答案是解题的关键．
【变式训练8-3】（2024·山东潍坊·模拟预测）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（　　 ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据图形得到，，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
【详解】解：，，
原式．
故选：C．
【经典例题9】（2023·宁夏银川·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是实数与数轴，绝对值，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据数轴可知，，，可得，因此．
【详解】解：由数轴可知，，，
，
，
故选：D．
【变式训练9-1】（2022·山东淄博·一模）如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则化简|a-b|-|c-a|+|b-c|的结果是（ ）
A．2a-2c B．0 C．2a-2b D．2b-2c
【答案】B
【分析】根据数轴，得到信息为a＜b＜0＜c，化简绝对值即可．
【详解】∵a＜b＜0＜c，
∴a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，
∴|a-b|-|c-a|+|b-c|
=b-a-c+a+c-b
=0，
故选B．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，绝对值的化简，正确读取数轴信息，准确进行绝对值的化简是解题的关键．
【变式训练9-2】（2023·云南昆明·一模）在中，，是锐角，若，则的大小是 ．
【答案】/75度
【分析】本题考查了非负数的意义、三角形内角和定理及由特殊三角函数值求角度，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．本题根据非负数的意义求出、，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴， ，
∴，，
∴．
故答案为：
【变式训练9-3】（2024·河北邢台·模拟预测）按要求完成下列各题
(1)在数轴上表示下列各数：，，1.5，；
(2)用“”将（1）题中的各数连接起来；
(3)a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了数轴，整式的加减，绝对值以及有理数加减符号，解题关键是运用有理数运算法则进行符号的判断．
（1）先化简多重符号，去绝对值，然后在数轴上表示出各数即可；
（2）根据数轴上的数右边的比左边的大，进行连接即可
（3）先根据数轴确定，，的符号，再根据绝对值意义，去掉绝对值号，化简即可．
【详解】（1）解：，，
∴把数表示在数轴上：
；
（2）解：用“”连接起来为：
（3）解：∵，，，
∴．
【经典例题10】阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　 　，数轴上表示﹣2和3的两点之间的距离是　 　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为　 　；
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）4，5；（2）|x+1|；（3）5.
【分析】（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；
（2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；
（3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解.
【详解】（1）|1﹣（﹣3）|＝4；|3﹣（﹣2）|＝5；
故答案为：4；5；
（2）|x﹣（﹣1）|＝|x+1|或|（﹣1）﹣x|＝|x+1|，
故答案为：|x+1|；
（3）有最小值，
当x＜﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣1，
当﹣3≤x≤2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5，
当x＞2时，|x﹣2|+|x+3|＝x﹣2+x+3＝2x+1，
在数轴上|x﹣2|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到2的距离之和，所以当﹣3≤x≤2时，它的最小值为5．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．
【变式训练10-1】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示1和3两点之间的距离　 　．
(2)数轴上表示﹣12和﹣6的两点之间的距离是　 　．
(3)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为　 　．
(4)若x表示一个有理数，且﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝　 　．
【答案】(1)2；(2)6；(3)|x﹣1|；(4)6.
【分析】（1）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，即可得到结果．
（2）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，即可得到结果．
（3）依据在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，即可得到结果．
（4）依据﹣4＜x＜2，可得表示x的点在表示﹣4和2的两点之间，即可得到|x﹣2|+|x+4|的值即为|﹣4﹣2|的值．
【详解】(1)数轴上表示1和3两点之间的距离为|3﹣1|＝2；
(2)数轴上表示﹣12和﹣6的两点之间的距离是|﹣6﹣(﹣12)|＝6；
(3)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为|x﹣1|；
(4)∵﹣4＜x＜2，
∴|x﹣2|+|x+4|＝|﹣4﹣2|＝6，
故答案为2，6，|x﹣1|，6．
【点睛】本题考查的是绝对值的几何意义，两点间的距离，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键．
【变式训练10-2】阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4；
例2：解方程．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若对应的
点在2的右边，如图可以看出；同理，若对应点在-1的左边，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在数轴上找出的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的值就满足，所以的解为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为　 　；
（2）方程的解为　 ；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）x=2或x=-8（2）x=-2或x=2018（3）x≥5或x≤-6
【详解】试题分析：1）分类讨论：x<-3，x≥-3，可化简绝对值，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：x<-1，-1≤x<2017，x≥2017，根据绝对值的意义，可化简方程，根据解方程，可得答案；
（3）表示的几何意义分情况讨论即可求解.
试题解析：（1）当x< 3时，原方程等价于 x 3=5.解得x= -8；
当x 3时，原方程等价于x+3=5，解得x=2，
故答案为x=2或x=-8；
（2）当x< 1时，原方程等价于 x+2017 x-1=2020，解得x= 2，
当 1 x<2017时，原方程等价于 x+2017 +x+1=2020，不存在x的值；
当x 2017时，原方程等价于x 2017+x+1=2020，解得x=2018，
综上所述：x=-2或x=2018是方程的解；
（3）∵表示的几何意义是在数轴上分别与-4和3的点的距离之和，
而-4与3之间的距离为7，
当在-4和3时之间，
不存在，使成立，
当在3的右边时，
如图所示，
易知当时，满足，
当在-4的左边时，
如图所示，易知当时，满足，
所以的取值范围是或．
点睛：本题主要考查了绝对值，通过阅读材料，理解绝对值的几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目..
【经典例题11】（2023·广东·模拟预测）已知a是4的算术平方根，则方程的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根和一元二次方程根的判别式，根据a是4的算术平方根求得的值，代入到，然后利用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可．
【详解】解：是4的算术平方根，
，
方程化为，
，
所以此方程没有实数根．
故选：A．
【变式训练11-1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）下列说法正确的是（　　）
A．是的算术平方根 B．是的算术平方根
C．的算术平方根是1 D．的算术平方根是
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根的定义．根据一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，逐项分析即可求解．
【详解】解：A、∵，故是的算术平方根，A选项错误；
B、∵，故是的算术平方根，B选项错误；
C、，且，故的算术平方根是，C选项正确；
D、负数没有算术平方根，D选项错误．
故选：C．
【变式训练11-2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）若是的算术平方根，而的算术平方根是，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根，代数式求值等知识点，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
先根据算术平方根的定义求出、的值，然后即可求出的值．
【详解】解：是的算术平方根，
，
又的算术平方根是，
，
，
故答案为：．
【变式训练11-3】（2024·广西·模拟预测）平方根等于它本身的数为a，算术平方根等于它本身的数为b，则的和为 ．
【答案】0或1
【分析】本题考查的是平方根，算术平方根，解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做它的算术平方根．同时注意0和的特殊性．
根据平方根，算术平方根的定义即可得到结果．
【详解】解：∵平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1，
∴或1，
∴或1，
故答案为：0或1．
【经典例题12】（2023·浙江宁波·模拟预测）已知x，y为实数，且，则的平方根为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出x，y的值，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵x，y满足，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
故选：D．
【变式训练12-1】（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足，且m，n恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是 ．
【答案】17
【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性可得：，从而可得，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，从而进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，
∴的周长；
当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，
∵，
∴不能组成三角形；
综上所述：的周长是17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
【变式训练12-2】若菱形的两对角线长分别为a、b，且满足 ，则该菱形的面积为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了根据菱形性质求面积，绝对值，二次根式的非负性，先根据非负性求出a，b的值，再利用菱形的面积为两对角线相乘再乘以二分之一求面积即可．
【详解】解：，
，
，
，
则该菱形的面积为，
故答案为：1．
【变式训练12-3】（2024·浙江湖州·二模）在平面直角坐标系中，当点不在坐标轴上时，我们定义的影子点为．已知点的坐标为，且满足方程组（为常数），若点的影子点是，已知点正好落在一次函数的图象上，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了非负数性质和新定义运算，待定系数法求函数解析式．由题意得，继而求得，，得点的坐标为，根据定义知点的坐标为，再利用待定系数法即可求解．解题关键是利用方程变形和非负数性质得出，．
【详解】解：∵，即
∴，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
∴点的影子点的坐标为，即点的坐标为，
将点代入一次函数得：，
解得：，
故答案为：．
【经典例题13】（2023·湖北荆州·一模）观察下列各式：，用你发现的规律直接写出下面式子的值＝ ．
【答案】406
【分析】观察各式，找出规律，即可求解．
【详解】解：∵，
∴===406，
故答案为：406．
【点睛】本题主要考查算术平方根，找出各式的变换规律是关键．
【变式训练13-1】（2022·北京海淀·二模）由，，我们可以确定是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定个位上的数是 ，如果只看1225的前两位12，而，，我们能确定十位上的数是 ．
【答案】 5 3
【分析】根据题意，以题目给出的思路和方法进行推理得出答案，5的任何次方尾数均是5，则可求解①，根据题意确定1225的平方根是两位数，再根据3的平方和4的平方即可确定②．
【详解】∵5的任何次方尾数均是5，
∴1225的平方根的个位数是5，
∵，，9＜12＜16，
∴1225的平方根的十位数是3，
故答案为：5，3．
【点睛】考查了实数的意义，平方根的意义以及尾数的特征等知识，阅读理解题目提供的解题方法是解答本题的关键．
【变式训练13-2】（2023·安徽合肥·一模）观察下列等式：
①；
②；
③；
…
(1)写出④______；
(2)猜想：______；
(3)由以上规律，计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察已知等式找到规律，即可求解；
（2）根据规律直接得出结果即可；
（3）利用（2）中结论及有理数的混合运算进行计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：根据规律可知，，
故答案为： ；
（3）
．
【点睛】题目主要考查算术平方根及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键．
【变式训练13-3】（2024·浙江嘉兴·一模）观察下面的等式：，，，，
(1)写出的结果；
(2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索．
（1）由上述等式得，；
（2）观察上面的等式可得规律，（n为正整数）；
（3）计算是否等于．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
，
∴；
（2）解：观察上面的等式可得规律（n为正整数）；
（3）证明：
，
因此归纳正确．
【经典例题14】（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法中不正确的是（ ）
A．正数的平方根有两个，立方根也有两个； B．64的立方根是4；
C．3是27的立方根； D．任何一个数都有立方根．
【答案】A
【分析】题目主要考查平方根及立方根，熟练掌握二者的性质是解题关键．
根据平方根、立方根的定义并逐项进行判断即可．
【详解】解：A．正数的平方根有两个，立方根有一个，选项错误，符合题意；
B．64的立方根是4，选项正确，不符合题意；
C．3是27的立方根，选项正确，不符合题意；
D．任何一个数都有立方根，选项正确，不符合题意；
故选：A．
【变式训练14-1】（2023·广东深圳·模拟预测）一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（ ）
A． B． C．16 D．4
【答案】C
【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数列得，求出，即可得到这个数．
【详解】解：由题意得，得，
∴
∴这个数是，
故选：C．
【点睛】此题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，熟记性质是解题的关键．
【变式训练14-2】（2023·河北保定·模拟预测）已知，一个正数a的平方根为和，则正数a为 ，b的立方根为 ．
【答案】 16
【分析】根据“一个正数的两个平方根互为相反数”列出方程求出b，从而得出这个正数a，继而得解．
【详解】解：∵一个正数a的平方根为和，
∴，
解得，
∴，
∴这个正数a为16，b的立方根为．
故答案为：16，．
【点睛】本题考查平方根和立方根，掌握“一个正数的两个平方根互为相反数”是解题的关键．
【变式训练14-3】（2021·福建福州·一模）若实数、满足：，．则的值是 ．
【答案】32
【分析】根据算术平方根和立方根的性质得到a+b=4，a－b=8，进而直接代入求解即可．
【详解】解：∵实数、满足：，，
∴a+b=4，a－b=8，
∴=4×8=32，
故答案为：32．
【点睛】本题考查了算式平方根、立方根、代数式求值，理解算式平方根和立方根的性质是解答的关键．
【经典例题15】如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形．
(1)求拼成的大正方形纸片的边长；
(2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？
【答案】(1)
(2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析
【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案．
【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形，
大正方形的边长为；
（2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．
理由如下：
设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为，
∵，不符合题意，
∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．
【变式训练15-1】某快递公司为顾客邮寄的快递提供纸箱包装服务，现有一款底面积为，长，宽，高的比分别为的长方体包装纸箱．
(1)求这个长方体包装纸箱的长，宽，高各是多少？
(2)一顾客要邮寄甲乙两件正方体物品，它们的底面积分别为，，从节约材料的角度考虑，该快递公司的员工决定用这款长方体包装纸箱．如图所示，将甲乙两件正方体物品并排摆放在该长方体包装箱中．请问这名员工的想法能否实现，并说明理由．
【答案】(1)这个长方体包装纸箱的长，宽，高分别为，，
(2)这名员工的想法能实现，理由见解析
【分析】本题考查了长方体的表面积，正方形的面积，平方根的应用，无理数的估算，理解题意得出要求包装的纸箱的尺寸范围是解题的关键．
（1）设这个长方体包装纸箱的长为，则宽为，高为，根据长方体的底面积等于长宽列方程，求解即可；
（2）根据甲乙两件礼品的底面积大小，可以估计这两件礼品的底面边长大小，然后与三款包装纸箱的尺寸比较，从而找到合适的纸箱．
【详解】（1）解：设这个长方体包装纸箱的长为，则宽为，高为，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
则
答：这个长方体包装纸箱的长，宽，高分别为，，．
（2）解：设甲正方体物品棱长为，乙正方体物品棱长为，
由题意得：，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∵
∴，长方体纸箱长满足条件，
∵，
∵，
∴，长方体纸箱宽、高均满足条件，
∴这名员工的想法能实现．
【变式训练15-2】（2024·四川南充·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两个实数根为，，且，求的值．
【答案】(1)且；
(2)或．
【分析】（）根据及一元二次方程的定义解答即可求解；
（）利用一元二次方程根和系数的关系可得，，进而由得到，即，解方程即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形运算，掌握一元二次方程根的判别式及根和系数的关系是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得，
，且，
解得且；
（2）解：根据根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，，
经检验，是原方程的根，
∴的值为或．
【经典例题16】已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根．
【答案】6
【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分，
，，
，，
又，
∴，
的整数部分，
当，，时，，
的算术平方根为6．
【变式训练16-1】（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根．
（2）若x，y都是实数，且，求的立方根．
【答案】（1）5；（2）3
【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握概念是解题的关键．
（1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可；
（2）根据算术平方根的含义求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可．
【详解】解：（1）的平方根是，的算术平方根是4，
，，
，，
，
的算术平方根为5；
（2）由可知，，
，，
，
的立方根为3．
【变式训练16-2】已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是．
(1)求a，b，c的值：
(2)求的平方根和立方根．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据算术平方根，平方根和立方根的概念分别计算出、、即可；
（2）利用（1）的结论直接求值即可．
本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键．
【详解】（1）解： 的算术平方根是1，
，
解得；
的立方根是，
，
；
的平方根是，
，
．
（2）解：由（1）知，，，，
，
的平方根是；
的立方根是．
【变式训练16-3】已知的立方根是，的算术平方根是，的小数部分为．
(1)分别求出a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小确定出a，b，c的值；
（2）求出的值，再根据平方根的意义求出答案即可．
【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
∵的小数部分为，
∴；
（2）解：∵，
∴的平方根为．
【经典例题17】（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为，则该铁块棱长大小的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用立方根知识进行估算求解．
【详解】由题意得，该铁块棱长是，
∵
，
该铁块棱长大小的范围是，
故选：B．
【变式训练17-1】（2024·重庆江津·模拟预测）估计的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式运算，无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
先将化简为，只需要估算的大小即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，即，
∴，
故选：A．
【变式训练17-2】已知，；
(1)求的值．
(2)若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求的平方根．
【答案】(1)21
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式、分母有理化、估算无理数的大小、平方根等知识点，能求出和的值是解（1）的关键，能估算出x、y的范围是解（2）的关键．
（1）先分母有理化求出x、y的值，再求出和的值，最后根据完全平方公式进行变形，代入求出即可；
（2）先求出x、y的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可．
【详解】（1）解：， ，
，
∴；
（2）解；∵，
∴，，
∵的小数部分为，的整数部分为，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
【变式训练17-3】（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）；
(2)结合图中思路，解释该方法的合理性．
【答案】(1)6.6
(2)见解析
【分析】本题考查的是无理数的估算，新定义的含义，完全平方公式的应用，理解新定义的含义是解本题的关键；
（1）根据新定义的法则进行估算即可．
（2）设，其中，再变形，结合完全平方公式可得结论．
【详解】（1）解：由新定义可得：
；
（2）解：设，其中．
则．
将两边平方，得．
∵ ，
∴ 的值会更接近于0，不妨近似为0．
∴ ．
∴ ，
即．
【变式训练17-3】（2022·江苏盐城·一模）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题：
(1)求的整数部分和小数部分；
(2)若m是的小数部分，n是的小数部分，且（x+1）2＝m+n，求x的值．
【答案】(1)3；
(2)x＝0或x＝﹣2
【分析】（1）用夹逼法根据无理数的估算即可得出答案；
（2）根据无理数的估算求出m，n的值，根据平方根的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，小数部分为；
（2）解：∵m是的小数部分，n是的小数部分，，
∴m＝，n＝，
∴，
∴，
解得：x＝0或x＝﹣2．
【点睛】本题考查了无理数的估算、平方根，明确无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【经典例题18】（2024·湖南长沙·模拟预测）下列四个实数：， ， 9，，其中比0小的数是（ ）
A． B． C．9 D．3．14
【答案】B
【分析】本题考查了实数，解答此题的关键是要明确实数分为正实数，0，负实数，即：正实数负实数．根据实数的分类进行判断即可．
【详解】解：， ， ，，
∴四个实数：， ， 9，，其中比0小的数是，
故选B．
【变式训练18-1】（2024·山东济南·模拟预测）实数中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键．
根据实数的分类可得，即可求解．
【详解】有理数有，有6个；
无理数有，有2个；
即，
，
故选：C．
【变式训练18-2】（2024·河北保定·二模）如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（ ）
A．m为有理数，n为无理数 B．m为无理数，n为有理数
C．m，n都为有理数 D．m，n都为无理数
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根、实数的分类，先根据正方形面积公式求得边长m、n，再根据实数的分类判断即可．
【详解】解：由题意，，，
∴，，
∴m为有理数，n为无理数，
故选：A．
【变式训练18-3】实数，，，，，中，有理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查实数的分类，有理数包括整数和分数，无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，据此逐个判断即可．
【详解】解：是有限小数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
是无理数；
是无限不循环小数，属于无理数，
综上，有理数的个数有4个，
故选D．
【经典例题19】如图，，则数轴上点所表示的数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理与实数．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，从而得出，再根据点A表示的数为，求出C点表示的数即可．
【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为：，
∵，
∴，
∵点A表示的数为，
∴点C所表示的数为：．
故选：B．
【变式训练19-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴．先根据数轴分析出的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：由数轴知，
，
．
故选：A．
【变式训练19-2】（2024·贵州贵阳·一模）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出，即可得的值．
【详解】解：由图可得，，
表示的数比表示的数小，
，
，
，
，
的值最接近的整数是，
故答案为：．
【变式训练19-3】（2024·四川乐山·模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则实数a b．（用“>”、“<”或“=”号填空）
【答案】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．据当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大，可得．
【详解】解：根据图示，可得．
故答案为：．
【经典例题20】（2024·北京房山·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，实数比较大小，数形结合是解题的关键．根据数轴可得，，进一步得出，，即可判断答案．
【详解】解：，
，
又，
，
选项正确，符合题意；
，
，
，
选项错误，不符合题意；
C选项错误，不符合题意；
D选项错误，不符合题意；
故选A．
【变式训练20-1】（2024·河北秦皇岛·一模）若，，则关于P与Q的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题考查实数的大小比较，先把P与Q用平方差公式和完全平方公式化简，再进行比较．
【详解】
∴
故选：A．
【变式训练20-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查二次根式比较大小，先取、的绝对值，再平方，比较大小即可得到答案，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，且，
，则，
故答案为：．
【变式训练20-3】（2023·江苏盐城·模拟预测） （填“、或”）．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式比较大小的方法，熟练掌握比较大小的方法是解题关键．先对根式平方，然后比较大小即可确定．
【详解】解：
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【经典例题21】（2023·湖南岳阳·模拟预测）计算：
【答案】4
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
【变式训练21-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值等等，先代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
【变式训练21-2】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、零指数幂、含特殊角的三角函数值、负整数指数幂、化简绝对值等知识，熟练掌握相关运算法则和性质是解题关键．
（1）首先根据算术平方根、零指数幂、含特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则进行计算，然后相加减即可；
（2）首先根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质进行运算，然后相加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练21-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）计算： ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【经典例题22】有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的y等于（　　）
A． B．8 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据程序进行计算即可．
【详解】解：输入时，取算术平方根为，是有理数，
输入时，取算术平方根为，是无理数，输出，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，根据程序设计进行计算是解题的关键．
【变式训练22-1】（2023·山东烟台·一模）按如图所示的程序进行计算，若输入的值为6，则输出的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】把代入程序流程图进行计算即可．
【详解】解：把代入，得，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了程序设计与实数运算，解题的关键是按照题中箭头的方向依次计算，遇到判断框时，注意判断清楚满足否和是哪个路径的要求．
【变式训练22-2】（2023·贵州黔东南·一模）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的性质，根据题意，先求出的算术平方根，在再求出立方根，即可．
【详解】解：计算程序可得，，
∴取算术平方根为，
∴取的立方根为，
∴．
故答案为：．
【变式训练22-3】（2023·陕西咸阳·二模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，当输入的值为64时，输出的值是 ．
【答案】
【分析】根据程序框图进行运算求解即可．
【详解】解：由题意知，，取算术平方根为，
8是有理数，取立方根，
2是有理数，取算术平方根，
是无理数，输出，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，无理数、有理数，程序框图．解题的关键在于理解框图以及对知识的熟练掌握．
【经典例题23】（2024·湖南·模拟预测）对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为 ．
【答案】或3
【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，以及解一元二次方程的方法和步骤．根据题目所给新定义，列出方程求解即可．
【详解】解：， ，
∴，即，
解得：，
故答案为：或3．
【变式训练23-1】规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么
例如：因为，所以．
规定：，比如：
(1)根据上述规定，填空：____________，____________，____________．
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：他给出如下的证明：设，则，而，所以，则，即，所以
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
(3)请你参照（2）的，写出一个成立的等式____________．
【答案】(1)3；0；
(2)证明见解析
(3)（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，幂的乘方计算：
（1）根据新定义进行求解即可；
（2）设，则，则由同底数幂乘法计算法则得到，则，据此可证明结论；
（3）类似于（2）写出符合题意的式子即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：3；0；；
（2）证明：设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，证明如下：
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式训练23-2】（2024·北京·模拟预测）对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（ ）
A．
B．函数的最大值为1，最小值为0
C．函数不存在对称轴
D．随着的增大，函数和函数越来越接近
【答案】B
【分析】本题考查了函数的函数值问题，解题的关键是理解的含义，通过取特殊值法来进行判断．
【详解】解：A．正确，不符合题意；
B．函数没有最大值，最小值为0，故表述错误，符合题意；
C．当时，，当时，，故函数不存在对称轴，正确，不符合题意；
D．随着的增大，函数和函数的函数值越来越接近0，正确，不符合题意；
故选：B．
【变式训练23-3】（2024·湖北·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算，令，将首尾两项依次组合即可化简求值．
【详解】解：，令，
原式
，
∴原式
故答案为：
【经典例题24】（2023·四川攀枝花·中考真题）2022年卡塔尔世界杯共有32支球队进行决赛阶段的比赛．决赛阶段分为分组积分赛和复赛．32支球队通过抽签被分成8个小组，每个小组4支球队，进行分组积分赛，分组积分赛采取单循环比赛（同组内每2支球队之间都只进行一场比赛），各个小组的前两名共16支球队将获得出线资格，进入复赛；进入复赛后均进行单场淘汰赛，16支球队按照既定的规则确定赛程，不再抽签，然后进行决赛，决赛，最后胜出的4支球队进行半决赛，半决赛胜出的2支球队决出冠、亚军，另外2支球队决出三、四名．
(1)本届世界杯分在组的4支球队有阿根廷、沙特、墨西哥、波兰，请用表格列一个组分组积分赛对阵表（不要求写对阵时间）．
(2)请简要说明本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
(3)请简要说明本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了多少场比赛？
【答案】(1)组分组积分赛对阵表见解答过程；
(2)本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
(3)本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
【分析】（1）根据同组内每2支球队之间都只进行一场比赛列表即可；
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，即可得到答案；
（3）分组积分赛48场，决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场，相加即可．
【详解】（1）组分组积分赛对阵表：
阿根廷 沙特 墨西哥 波兰
阿根廷 阿根廷：沙特 阿根廷：墨西哥 阿根廷：波兰
沙特 沙特：阿根廷 沙特：墨西哥 沙特：波兰
墨西哥 墨西哥：阿根廷 墨西哥：沙特 墨西哥：波兰
波兰 波兰：阿根廷 波兰：沙特 波兰：墨西哥
（2）冠军阿根廷队分组积分赛踢了3场，决赛，决赛，半决赛，决赛又踢了4场，
一共踢了（场），
本届世界杯冠军阿根廷队在决赛阶段一共踢了7场比赛；
（3）分组积分赛每个小组6场，8个小组一共（场）；
决赛一共8场，决赛一共4场，半决赛2场，冠、亚军决赛和三、四名决赛各1场；
一共踢了（场）；
本届世界杯32支球队在决赛阶段一共踢了64场比赛．
【点睛】本题考查数学在实际生活中的应用，解题的关键是读懂题意，理解世界杯比赛的对阵规则．
【变式训练24-1】（2022·重庆·一模）某高端酒店准备打造一个面积为450m2的长方形花园，现有墙AB长25m，篱笆长65m的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了如图所示的两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策．（决策依据如下：长方形的宽与长之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6）
(1)方案1：如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？
方案2：如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，其中BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长．
(2)根据（1）中的计算结果，请为该酒店作出合理的决策．
【答案】(1)CF的长度为20m，BF的长为5m
(2)方案二中的矩形，比较美观
【分析】（1）设CF的长度为xm，则CD＝m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙AB的长为25m，即可确定x的值；
（2）设BF的长为ym，则AD＝（20﹣y）m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】（1）解：方案一：设CF的长度为xm，则CD＝m，
依题意得：x ＝450，
解得：x1＝20，x2＝45．
∵墙AB的长为25m，
∴x＝45不合题意，舍去，
∴CF＝20．
答：在墙AB上借用的CF的长度为20m．
方案二：设BF的长为ym，则AD＝＝（20﹣y）m，
依题意得：（25+y）（20﹣y）＝450，
解得：y1＝5，y2＝﹣10（不合题意，舍去），
∴BF＝5m．
答：BF的长为5m．
（2）解：≈0.9，＝0.5，
∴方案二中的矩形，比较美观，更接近黄金比．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练24-2】我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数，x为无理数，那么，运用上述知识解决下列问题：
(1)如果，其中m、n为有理数，求m和n的值；
(2)如果，其中m、n为有理数，求的立方根；
(3)若m、n均为有理数，且，求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)2
(3)或
【分析】本题考查了实数的运算、立方根与算术平方根、二元一次方程组的应用，熟练掌握实数的运算法则是解题关键．
（1）根据实数的运算法则可得，由此即可得；
（2）先根据实数的运算法则可得，解方程组可得的值，再根据立方根的性质求解即可得；
（3）先根据实数的运算法则可得，解方程组可得的值，再根据算术平方根的性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵为有理数，
∴为有理数，
∵，
∴，
解得．
（2）解：∵，
∴，
∵为有理数，
∴，
解得，
∴，
则的立方根是．
（3）解：∵，
∴，
∵为有理数，
∴，
解得或，
则或，
所以的算术平方根是或．
【变式训练24-3】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：
(1)如果，其中a，b为有理数，那么 ， ．
(2)如果，其中a，b为有理数，求的值．
【答案】(1)2，
(2)
【分析】本题考查了无理数与有理数、二元一次方程组的应用，熟练掌握无理数的运算是解题关键．
（1）根据无理数的运算可得，由此即可得；
（2）将已知等式可得，从而可得，解方程组即可得．
【详解】（1）解：∵为有理数，
∴为有理数，
∵，
∴，
解得，
故答案为：2，．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵为有理数，
∴，
解得，
∴．
【经典例题25】（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
(1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：__________________．
(2)请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式的规律是解题的关键．
（1）根据题中给出的等式的规律即可写出第4个等式；
（2）根据（1）中等式的规律即可写出第n个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
故第4个等式为：．
（2）第n个等式：．
证明：左边，
右边．
左边=右边，
等式成立．
【变式训练25-1】（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则：
(1)　　　　，　　　　　；
(2)求的值．
【答案】(1)2，
(2)
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索．
（1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为；
（2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可．
【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为，
第2幅图中★的个数为，
第3幅图中★的个数为，
，
以此类推，第n幅图中★的个数为；
（2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为，
，
，
，
，
以此类推，可知，
∴
．
【变式训练25-2】（2024·安徽合肥·一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)填空：______=______；
(2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)，
(2)，详见解析
【分析】本题考查的是数字的变化规律和列代数式，从题目中找出数字与等式的变化规律是解题的关键．
（1）计算，根据上述等式规律可得；
（2）根据上述等式，得出规律，，且为整数），再证明即可．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
；
故答案为：，；
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
猜想第n个等式（用含n的等式表示）为：，，且为整数）
证明：
；
∴左边右边，
∴等式成立．
【变式训练25-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【经典例题26】（2024·山东日照·中考真题）交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：B．
【变式训练26-1】（2024·山东淄博·中考真题）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
【详解】解：万，
则，
故选：B．
【变式训练26-2】（2023·四川资阳·中考真题）毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定和的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：489万．
故选：A．
【变式训练26-3】（2023·江苏南京·中考真题）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，当原数大于或等于时，原数变为时，小数点向左移动了几位，的值就是几，由此即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
【经典例题27】（2024·西藏·中考真题）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：将0.0000007用科学记数法表示应为，
故选：C．
【变式训练27-1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可．
【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为，
故选：C．
【变式训练27-2】（2024·山东威海·中考真题）据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：百万分之一．
故选：B．
【变式训练27-3】（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可．
【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知，
43阿秒秒，
故答案为：．
【经典例题28】（2024·湖北孝感·模拟预测）将有理数用四舍五入法精确到千位是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查近似数及科学记数法，根据一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字到精确到的数位为止所有数字都是有效数字，根据精确度找出最后一位上的有效数字所在的数位，再写成科学记数法形式即可得到答案；
【详解】解：；
故答案为：C．
【变式训练28-1】（2024·河北邢台·模拟预测）截至2024年3月21日，已有150家疏解单位7025名职工在雄安新区缴存住房公积金，缴存金额达5.02亿元．下列关于5.02亿说法正确的是（ ）
A．5.02亿用科学记数法表示为 B．5.02亿
C．5.02亿是一个九位数 D．5.02亿精确到十万位
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法和精确度，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】A. 5.02亿用科学记数法表示为，原说法错误；
B. 5.02亿，原说法错误；
C. 5.02亿是一个九位数，说法正确；
D. 5.02亿精确到百万位，原说法错误；
故选C．
【变式训练28-2】（2024·山东泰安·二模）下列说法正确的有（　　）
①近似数7.4与7.40是一样的
②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0
③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0
④由四舍五入法得到的近似数精确到千分位，有3个有效数字
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查了近似数、有效数字和科学记数法，熟练掌握知识点是解题的关键．根据一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位可判断①；根据一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字，可判断②③；根据科学记数法的定义和近似数的定义，可判断④．
【详解】解：①7.4精确到十分位，7.40精确到百分位，原说法错误；
②近似数8.0精确到十分位，有效数字是8、0，说法正确；
③近似数9.60精确到百分位，有效数字是9、6、0，说法正确；
④近似数精确到千位，有3个有效数字，故错误；
综上，正确的有②③；
故选：C．
【变式训练28-3】（2024·湖北宜昌·模拟预测）某会议参会人数准确数为人，新闻报道参会人数约为百人，下列说法正确的是（ ）
A．人数统计精确到百位 B．人数统计精确到十位
C．人数统计精确到个位 D．人数统计精确到十分位
【答案】A
【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数精确到哪一位是解题的关键，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
运用近似数概念的定义解答即可．
【详解】解：∵报道参会人数约为百人，末位数字为，
∴在人中，在百位上，则精确到了百位，
故选：．

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