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9第11 12章综合检测卷
(测试范围:第11章三角形一第12章全等三角形 解答参考时间:120分钟,满分:120分)
一．选择题（共12小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．5 cm，3 cm，1 cm B．2 cm，5 cm，8 cm
C．1 cm，3 cm，4 cm D．1.5 cm，2 cm，2.5 cm
2．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，则AC的长为（　　）
A．3 B．5 C．8 D．6
3．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，且外角∠ABD＝130°，则外角∠ACE的度数是（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
7．（3分）如图，已知∠MAN＝x°，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE为半径作弧，交前面的弧于点G；连接BG并延长交AM于点C，则∠BCM的度数为（　　）
A．x° B．2x° C．（180﹣x）° D．（180﹣2x）°
8．（3分）如图，在△ABC、△ACD中，BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACD＝56°，∠ACB＝68°，则∠BDC＝（　　）
A．56° B．58° C．22° D．28°
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（　　）
A．17 B．18 C．20 D．25
10．（3分）如图，在一个4×4的正方形网格中，△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在网格格点上的三角形），在所给的网格中，与△ABC全等的格点三角形（△ABC除外）共有（　　）个
A．35 B．31 C．27 D．15
二．填空题（共3小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 　 　．
12．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　 　．
13．（3分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x等于 　 　．
14．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为　 　．
15．（3分）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝30°，∠ACE＝25°，则∠ADE的度数为　 　．
16．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知等腰三角形的两边长为5cm和2cm，求它的周长．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠BDE＝35°，BD平分∠ABC交AC于D，DE∥AB交BC于E，求∠ABC和∠C的度数．
19．（8分）如图，已知：AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：∠B＝∠C
（2）若∠A＝70°，∠B＝30°，求∠BOC的度数．
20．（8分）如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交AB于点E，交BC于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF．
（1）若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；
（2）求证：PE＝PF．
21．（10分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C、D都是格点，点P是线段AB上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用线表示．
（1）在图1中，画出△ABC的中线AM和高线BN；
（2）在图2中，在边AC上取一点E，使得∠ABE＝45°；
22．（8分）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处测得E处的俯角为α，小华站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为β，发现α与β互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米．
（1）求证：AF＝CE；
（2）求单元楼AB的高．
23．（10分）已知：△ABC为等边三角形，D为线段CB上一点，E为射线AC上一点，AD＝DE．
（1）如图1，当点D为线段BC的中点，点E在AC的延长线上时，请直接写出BD、AB、AE之间的数量关系 　 　；
（2）如图2，当点D为线段BC上任意一点，点E在AC的延长线上时，BD、AB、AE之间有何数量关系？请说明理由；
（3）如图3，当点D在CB的延长线上，点E在线段AC上时，BD、AB、AE之间又有何数量关系？请直接写出结论 　 　．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，A（﹣6，0），B（0，6），C是y轴上一个动点，将线段AC绕点A顺时针旋转90°到线段AD（即AD＝AC，∠CAD＝90°）．
（1）如图1，当点C在线段OB上（点C不与O、B重合），求点D的纵坐标yD；
（2）如图2，当DA+DB取最小值时，请画出图形，并求出D点的坐标；
（3）如图3，点C在线段OB上（点C不与O、B重合），射线DC交x轴于点E，交射线AB于点F，且DE＝CF，求∠AED．中小学教育资源及组卷应用平台
9第11 12章综合检测卷
一．选择题（共10小题，满分12分，每小题3分）
1．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．5 cm，3 cm，1 cm B．2 cm，5 cm，8 cm
C．1 cm，3 cm，4 cm D．1.5 cm，2 cm，2.5 cm
【思路点拔】根据三角形的三边关系进行分析判断，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+1＜5，不能组成三角形；
B中，5+2＜8，不能组成三角形；
C中，1+3＝4，不能够组成三角形；
D中，1.5+2＞2.5，能组成三角形．
故选：D．
2．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，则AC的长为（　　）
A．3 B．5 C．8 D．6
【思路点拔】根据中线的定义知CD＝BD，结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝11cm，易求AC的长度．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝11cm，
∴AC＝8cm．
故选：C．
3．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【思路点拔】根据n边形的内角和公式为（n﹣2） 180°，由此列方程求n．
解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2） 180°＝540°，
解得n＝5，
故选：B．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，且外角∠ABD＝130°，则外角∠ACE的度数是（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【思路点拔】先根据三角形外角的性质求出∠ACB的度数，再由平角的定义即可得出结论．
解：∵，∠A＝90°，∠ABD＝130°，
∴∠ACB＝130°﹣90°＝40°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣40°＝140°．
故选：D．
5．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】根据全等三角形的对应边相等推知BD＝AC＝7，然后根据线段的和差即可得到结论．
解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
6．（3分）如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
【思路点拔】已知两边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．
解：如图,连接AB,CD,
在△OAB与△OCD中，
，
∴△OAB≌△ODC（SAS）．
故选：A．
7．（3分）如图，已知∠MAN＝x°，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE为半径作弧，交前面的弧于点G；连接BG并延长交AM于点C，则∠BCM的度数为（　　）
A．x° B．2x° C．（180﹣x）° D．（180﹣2x）°
【思路点拔】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．
解：由题意可知∠CAB＝∠CBA＝x，
∴∠MCB＝∠CAB+∠CBA＝2x°．
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC、△ACD中，BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACD＝56°，∠ACB＝68°，则∠BDC＝（　　）
A．56° B．58° C．22° D．28°
【思路点拔】根据角平分线的性质得∠DBC＝28°，由三角形内角和定理得∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠DBC，以此即可求解．
解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝56°，
∴∠DBC28°，
∵∠ACD＝56°，∠ACB＝68°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝124°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠DBC＝28°．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（　　）
A．17 B．18 C．20 D．25
【思路点拔】利用角平分线的性质得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝12，即可求得△BDE的周长
解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴ED＝CD，
在Rt△ADE和△RtADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AC＝AE，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝AB﹣AC+BC＝（13﹣5）+12＝20．
故选：C．
10．（3分）如图，在一个4×4的正方形网格中，△ABC为格点三角形（三角形的三个顶点都在网格格点上的三角形），在所给的网格中，与△ABC全等的格点三角形（△ABC除外）共有（　　）个
A．35 B．31 C．27 D．15
【思路点拔】根据全等三角形的判定知：在3×3的网格中，与△ABC全等的格点三角形一共有7个，而网格中共有3×3的网格4个，即可得出答案．
解：如图，在3×3的网格中，与△ABC全等的格点三角形一共有7个，
而网格中共有3×3的网格4个，
∴共有7×4+3＝31个，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 　八　．
【思路点拔】根据多边形的外角和是360°求解即可．
解：∵360÷45＝8（边），
∴多边形的边数为八，
故答案为：八．
12．（3分）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　3　．
【思路点拔】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝8，计算即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
13．（3分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x等于 　3　．
【思路点拔】根据全等三角形的对应边相等分两种情况讨论如下：①当5＝3x﹣2，7＝2x﹣1时，△ABC和△DEF全等，由此解出的x的值不相同，故不符合题意；当7＝3x﹣2，5＝2x﹣1时，△ABC和△DEF全等，由此解出的x的值相同，故符合题意；据此即可得出答案．
解∵△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，
∵△ABC和△DEF全等，
∴有以下分为两种情况：
①当5＝3x﹣2，7＝2x﹣1时，△ABC和△DEF全等，
由5＝3x﹣2，解得：x，
由7＝2x﹣1，解得：x＝4，
此时x的值不相同，故不符合题意，舍去；
②当7＝3x﹣2，5＝2x﹣1时，△ABC和△DEF全等，
由7＝3x﹣2，解得：x＝3，
由5＝2x﹣1，解得：x＝3，
此时x的值相等，故符合题意，
∴当x＝3时，△ABC和△DEF全等．
故答案为：3．
14．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），则点C的坐标为　（﹣3，2）　．
【思路点拔】先根据AAS判定△ACD≌△BAO，得出CD＝AO，AD＝BO，再根据点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），求得CD和OD的长，得出点C的坐标．
解：过C作CD⊥x轴于D，则∠CDA＝∠AOB＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠CAD+∠BAO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
在△ACD和△BAO中，
，
∴△ACD≌△BAO（AAS），
∴CD＝AO，AD＝BO，
又∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，1），
∴CD＝AO＝2，AD＝BO＝1，
∴DO＝3，
又∵点C在第三象限，
∴点C的坐标为（﹣3，2）．
15．（3分）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝30°，∠ACE＝25°，则∠ADE的度数为　55°　．
A．50° B．55° C．60° D．65°
【思路点拔】利用∠BAC＝∠DAE推出∠BAD＝∠CAE，由此证明△ABD≌△ACE（ SAS），得到∠ABD＝∠ACE＝25°，再根据三角形外角性质求出∠ADE的度数．
解：∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝25°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝25°+30°＝55°.
16．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为 　5　．
【思路点拔】在BD上截取BF＝CD，连接AF，设BD与AC的交点为G，根据三角形内角和定理及已知条件得出∠ACD＝∠ABF，再证△ABF和△ACD全等得出AF＝AD，根据等腰三角形三线合一的性质得出FE＝DE，即可求出BE的长．
解：如图，在BD上截取BF＝CD，连接AF，设BD与AC的交点为G，
∵∠BDC＝∠BAC，∠DGC＝∠AGB，
∴∠ACD＝∠ABF，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF＝AD，
∵AE⊥BD，
∴FE＝DE＝3，
∵BF＝CD＝2，
∴BE＝BF+FE＝5，
故答案为：5．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知等腰三角形的两边长为5cm和2cm，求它的周长．
【思路点拔】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为2cm或是腰长为5cm两种情况．
解：等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，
当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，2cm，5+2＞5，满足三角形的三边关系，三角形的周长是5+5+2＝12（cm）；
当腰长是2cm时，三角形的三边是2cm，2cm，5cm，2+2＜5，不满足三角形的三边关系．
综上，三角形的周长为12cm．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠BDE＝35°，BD平分∠ABC交AC于D，DE∥AB交BC于E，求∠ABC和∠C的度数．
【思路点拔】先利用三角形的内角和定理求出∠ABC，再利用角平分线的定义和平行线的性质得结论．
解：∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE＝35°
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝70°，
∵∠A+∠C+∠ABC＝180°
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC
＝180°﹣80°﹣70°
＝30°．
19．（8分）如图，已知：AB＝AC，AD＝AE．
（1）求证：∠B＝∠C
（2）若∠A＝70°，∠B＝30°，求∠BOC的度数．
【思路点拔】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得结论；
（2）由外角的性质可求解．
（1）证明：在△ABE 和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C；
（2）解：∠A＝70°，∠B＝30°，
∴∠BEC＝∠A+∠B＝100°，
由（1）得∠C＝∠B＝30°，
∴∠BOC＝∠BEC+∠C＝130°．
20．（8分）如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交AB于点E，交BC于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF．
（1）若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；
（2）求证：PE＝PF．
【思路点拔】（1）根据垂直的定义和四边形的内角和解答即可；
（2）根据角平分线的性质得出ED＝FD，再利用全等三角形的判定和性质证明即可．
解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∵∠EDF＝124°，
∴∠ABC＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°；
（2）∵BM平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ED＝FD，∠EDB＝∠FDB，
∴∠EDP＝∠FDP，
在△EDP和△FDP中，
，
∴△EDP≌△FDP（SAS），
∴PE＝PF．
21．（10分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C、D都是格点，点P是线段AB上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用线表示．
（1）在图1中，画出△ABC的中线AM和高线BN；
（2）在图2中，在边AC上取一点E，使得∠ABE＝45°；
【思路点拔】（1）根据网格线的特征及中线和高线的定义作图；
（2）根据网格线的特征及等腰直角三角形的性质作图；
解：（1）如图1：AM，BN即为所求；
（2）点E即为所求；
22．（8分）如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处测得E处的俯角为α，小华站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为β，发现α与β互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米．
（1）求证：AF＝CE；
（2）求单元楼AB的高．
【思路点拔】（1）过点F作FG⊥AB，垂足为G，根据题意可得：∠AGF＝∠EDC＝90°，BG＝EF＝1米，FG＝BE＝20米，∠AFG＝β，∠CED＝α，从而可得∠CED+∠ECD＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠ECD＝β＝∠AFG，然后利用AAS证明△AGF≌△EDC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质可得AG＝ED＝BD﹣BE＝38米，最后进行计算即可解答．
解：（1）过点F作FG⊥AB，垂足为G，
由题意得：
∠AGF＝∠EDC＝90°，BG＝EF＝1米，FG＝BE＝20米，∠AFG＝β，∠CED＝α，
∴∠CED+∠ECD＝90°，
∵α+β＝90°，
∴∠ECD＝β＝∠AFG，
∵BE＝CD＝20米，
∴FG＝CD＝20米，
∴△AGF≌△EDC（AAS），
∴AF＝CE；
（2）∵△AGF≌△EDC，
∴AG＝ED＝BD﹣BE＝58﹣20＝38（米），
∴AB＝AG+GB＝39（米），
∴单元楼AB的高为39米．
23．（10分）已知：△ABC为等边三角形，D为线段CB上一点，E为射线AC上一点，AD＝DE．
（1）如图1，当点D为线段BC的中点，点E在AC的延长线上时，请直接写出BD、AB、AE之间的数量关系 　BD+AB＝AE　；
（2）如图2，当点D为线段BC上任意一点，点E在AC的延长线上时，BD、AB、AE之间有何数量关系？请说明理由；
（3）如图3，当点D在CB的延长线上，点E在线段AC上时，BD、AB、AE之间又有何数量关系？请直接写出结论 　AB＝BD+AE　．
【思路点拔】（1）由点D为线段BC的中点和等边三角形的性质得出AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，BD＝CD，∠CAD＝30°，证∠CDE＝∠E，得出CD＝CE，即可得出结果；
（2）在AB上取BH＝BD，连接DH，易证△BDH为等边三角形，再由ASA证得△AHD≌△DCE，得出DH＝CE，即可得出结果；
（3）在AB上取AF＝AE，连接DF、EF，易证△AFE是等边三角形，EF∥BC，再由SSS证得△AFD≌△EFD，推出△BDF是等腰三角形，即可得出结论．
解：（1）BD、AB、AE之间的数量关系：BD+AB＝AE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵点D为线段BC的中点，
∴BD＝CD，∠CAD∠BAC＝30°，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠CAD＝30°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE，
∴AE＝AC+CE＝AB+CD＝AB+BD，
∴BD+AB＝AE，
故答案为：BD+AB＝AE；
（2）BD、AB、AE之间的数量关系为：BD+AB＝AE，理由如下：
在AB上取BH＝BD，连接DH，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵BH＝BD，∠B＝60°，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠BHD＝60°，BD＝DH，
∴AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠CAD，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，
即∠DAH＝∠CDE，
∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，
∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，
即∠AHD＝∠DCE，
在△AHD和△DCE中，
，
∴△AHD≌△DCE（ASA），
∴DH＝CE，
∴BD＝CE，
∴AE＝AC+CE＝AB+BD，
∴BD+AB＝AE；
（3）BD、AB、AE之间的数量关系：AB＝BD+AE，理由如下：
在AB上取AF＝AE，连接DF、EF，如图3所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴∠FAE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，AF＝EF，
∴∠AFE＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DEF，
在△AFD和△EFD中，
，
∴△AFD≌△EFD（SSS），
∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，
∵∠EDB＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠DFB，
∴DB＝BF，
∵AB＝AF+FB，
∴AB＝BD+AE．
故答案为：AB＝BD+AE．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，A（﹣6，0），B（0，6），C是y轴上一个动点，将线段AC绕点A顺时针旋转90°到线段AD（即AD＝AC，∠CAD＝90°）．
（1）如图1，当点C在线段OB上（点C不与O、B重合），求点D的纵坐标yD；
（2）如图2，当DA+DB取最小值时，请画出图形，并求出D点的坐标；
（3）如图3，点C在线段OB上（点C不与O、B重合），射线DC交x轴于点E，交射线AB于点F，且DE＝CF，求∠AED．
【思路点拔】（1）过D点作DP⊥AO于点P，证明△ADP≌△CAO，问题即可作答；
（2）在（1）中求出yD＝﹣6，即可知点D在直线y＝﹣6上，作点A关于直线y＝﹣6的对称点A′，连接A′B，此时DA+DB＝DA′+DB＝A′B有最小值，根据对称性可得A′（﹣6，﹣12），再利用待定系数法求出直线A′B的解析式为y＝3x+6，问题随之得解；
（3）过F点作TF⊥x轴于点T，过D点作DS⊥y轴于点S，过C点作CW⊥FT于点W，连接CT，先证明△DCS≌△EFT，即有CS＝FT，可得OC+OS＝FT，再证明四边形COTW是矩形，接着证明△AOB、△AFT是等腰直角三角形，即可得AO+OT＝FT，进而可得OC＝OT，即有矩形COTW是正方形，则有∠CTO＝∠CTW＝45°，再证明△CTA≌△CTF，可得CA＝CF，进而可得，问题随之得解．
解：（1）过D点作DP⊥AO于点P，如图1，
∵DP⊥AO，
∴∠DPA＝∠AOC＝90°，
∴∠DAP+∠D＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAP+∠PAC＝90°，
∴∠PDA＝∠PAC，
∵AD＝AC，
∴△ADP≌△CAO（AAS），
∴DP＝AO，
∵A（﹣6，0），
∴DP＝AO＝6，
∴点D的纵坐标yD＝﹣6；
（2）在（1）中求出yD＝﹣6，即可知点D在直线y＝﹣6上，作点A关于直线y＝﹣6的对称点A′，连接A′B，此时DA+DB＝DA′+DB＝A′B有最小值，如图2，
∵A（﹣6，0），点A与点A′关于直线y＝﹣6的对称，
∴A′（﹣6，﹣12），
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
∵B（0，6），
∴，
解得：，
∴直线A′B的解析式为y＝3x+6，
当y＝﹣6时，3x+6＝﹣6，
解得：x＝﹣4，
即D（﹣4，﹣6）；
（3）过F点作TF⊥x轴于点T，过D点作DS⊥y轴于点S，过C点作CW⊥FT于点W，连接CT，如图3，
∵DE＝CF，
∴DE+EC＝CF+EC，
∴DC＝FE，
∵TF⊥x轴，DS⊥y轴，
∴∠DSC＝∠ETF＝90°，FT∥BS，
∴∠DCS＝∠EFT，
∴△DCS≌△EFT（AAS），
∴CS＝FT，
∴OC+OS＝FT，
∵TF⊥x轴，CW⊥FT，BO⊥ET，
∴四边形COTW是矩形，
∴CO＝TW，
∵A（﹣6，0），B（0，6），yD＝﹣6，
∴AO＝BO＝OS＝6，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠FAT＝45°，
∴△AFT是等腰直角三角形，
∴AT＝FT，
∴AO+OT＝FT，
∴OC+OS＝FT＝AO+OT，
∴OC＝OT，
∴矩形COTW是正方形，
∴∠CTO＝∠CTW＝45°，
∵AT＝FT，CT＝CT，
∴△CTA≌△CTF，
∴CA＝CF，
∴∠AFC＝∠FAC，
∵AC＝AD，∠DAC＝90°，
∴∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠AFC+∠FAC＝∠ACD＝45°，
∴，
∴∠AED＝∠AFC+∠FAO＝67.5°．

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