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2024-2025学年天津市南开区翔宇中学九年级（上）期中数学模拟试卷
第Ⅰ卷
注意事项：
每题选出答案后，用2B铅笔把、“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．如图，是的直径，是的弦，连接、，若，则的度数为（ ）度．
A．15 B．25 C．35 D．45
4．某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列关于抛物线的判断中，正确的是（ ）
A．形状与抛物线相同
B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而增大
D．该抛物线与轴没有交点
6．如图，在中，将绕顶点顺时针旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
8．已知，，是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
9．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
10．已知：不在同一直线上的三点，，，求作：，使它经过点，，，作法：如图．
（1）连接，作线段的垂直平分线；
（2）连接，作线段的垂直平分线，与直线交于点；
（3）以为圆心，长度为半径作，则即为所求．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论正确的是（ ）
A．连接，则点是的内心
B．若与直线，分别交于点，，则
C．连接，，则接，不是的半径
D．连接，则点在线段的垂直平分线上
11．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好在线段上，为中点，且平分，记线段与线段的交点为．下列结论中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论：
①S与x之间的函数关系式为；
②x的取值范围是；
③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为．
其中，正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③ D．①
第Ⅱ卷
注意事项：用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔），
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．平面直角坐标系中，与关于原点对称，已知点的坐标为，则其对应点的坐标为 ．
14．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的正整数解为 ．
15．如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为 ．
16．若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ．
17．如图，正方形中，，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点P，则线段的最小值为 ．
18．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．
（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）．
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若，求的值．
21．已知二次函数．
(1)将其化为的形式为_______________；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象；
(3)抛物线与x轴交点坐标为_______________；
(4)时，y的取值范围是_______________．
22．已知四边形内接于，．
(1)如图1，连接，若的半径为6，，求的长；
(2)如图2，连接，若，，对角线平分，求的长．
23．一家商店于国庆后购进了一批新款秋装，每件进价为元，从销售中记录发现，当每件售价为元时，每天可售出件．为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．市场调研认为，若每件降价元，则每天就可多售出件．
(1)若活动期间每件秋装的售价为元，这款秋装每天销售多少件？
(2)要想每天销售这款秋装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？
(3)每天销售这款秋装盈利的最大值是多少元？
24．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转得到，点A、旋转后的对应点为、，记旋转角为．
(1)如图①，若，求的长；
(2)如图②，若，求点的坐标；
(3)如图③，P为AB上一点，且，连接、，在绕点B逆时针旋转一周的过程中，求的面积的最大值和最小值（直接写出结果可）．
25．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为．
①当时，求点P的坐标；
②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；
③当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的t的值．
2024-2025学年天津市南开区翔宇中学九年级（上）期中数学模拟试卷答案解析
1．C
【详解】解：A.选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C. 选项中的图案是中心对称图形，故此选项符合题意；
D. 选项中的图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．B
【详解】解：∵，
∴，
则该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
3．B
【详解】解：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
【详解】解：若增长率为，
依题意，得：．
故选：D．
5．B
【详解】解：A、抛物线与抛物线二次项系数绝对值不相等，所以形状不同，故该选项错误；
B、该抛物线对称轴为，故该选项正确；
C、该抛物线的对称轴为，开口向下，所以当时，随的增大而增大，故该选项错误；
D、因为，顶点坐标为，开口向下，所以与轴有交点，故该选项错误；
故选：B．
6．A
【详解】解：∵将绕顶点顺时针旋转，得到．
∴，旋转角，
∴，
∵，
∴
∴．
故选：A
7．D
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
当的值最小时，的值最大，
∴当时，最小，即此时的值最大，此时D、B两点重合，
∴，
即的最大值为1，
故选：D．
8．C
【详解】解：∵抛物线解析式为，，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，，是抛物线上的点，且，
∴，
故选：C．
9．B
【详解】①当时，，解得：
②当时，关于x的方程有实数根
∴
∴且
综上所述，k的取值范围为：．
故选：B．
10．D
【详解】解：如图，连接，，
、由作图方法可知点是三条线段垂直平分线的交点，
∴点是外心，不一定是内心，故说法错误，不符合题意；
、∵，，
∴，，
∵不一定成立，
∴不一定成立，
∴不一定成立，故说法错误，不符合题意；
、由题意可得，是的半径，故说法错误，不符合题意；
、∵，（线段垂直平分线的性质），
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，故说法正确，符合题意；
故选：．
11．A
【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到，
∴，而不能确定，
故选项A错误，符合题意；
由旋转可知，，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
故选项B正确，不合题意；
由旋转可知，，
由（2）可知，，
∵，
∴，
故选项C正确，不合题意；
∵，
∴，
∵为中点，
∴，
又，
∴，即为中点，
∴，
故选项D正确，不符合题意；
答案：A．
12．D
【详解】解：根据题意得：，故①正确；
设这个菜园垂直于墙的一边的长为．则的长为，
墙长为，，
解得，
的取值范围为，故②错误；
根据题意得：，
解得，，
，
，
的长有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③错误．
故选：D．
13．
【详解】解：∵与关于原点对称，点的坐标为，
∴对应点的坐标为．
答案：．
14．，
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
∴符合条件的正整数为：，；
故答案为：，
15．5
【详解】解：连接，
设的半径为，则，
，为的直径，，
，
由勾股定理得，，
即，
解得，，
则的半径为5，
故答案为：5．
16．或
【详解】解：二次函数的对称轴是，
，二次函数开口向下，
①当对称轴，即，即，
∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
②当时，即，
∴当时，二次函数有最大值为，
解得或，
由于，故；
③当时，，即，
当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
∵，故此种情况无解；
综上①②③所述，得，，
故答案为：或．
17．
【详解】解：如图：
，动点，的速度相同，
，
又正方形中，，
，
在和中，
，
∴，
．
，
，
，
点在运动中保持，
点的路径是一段以为直径的弧，
设的中点为，连接交弧于点，此时的长度最小，，
在中，，
即线段的最小值为，
故答案为：．
18． 或/或
【详解】解：（1）观察图象可知，点D的坐标为（6，6），
故答案为：（6，6）；
（2）当点A与C对应，点B与D对应时，如图：
此时旋转中心P的坐标为（4，2）；
当点A与D对应，点B与C对应时，如图：
此时旋转中心P的坐标为（1，5）；
故答案为：（4，2）或（1，5）．
19．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：
∴
∴，
（2）解：
∴，
20．(1)见解析
(2)，
【详解】（1）解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，即，
∴，
整理得，
解得，．
21．(1)
(2)图象见详解
(3)
(4)
【详解】（1）解：.
故答案为：；
（2）如图所示；
（3）令时，，
解得：，
∴抛物线与x轴交点坐标为，
故答案为：；
（4）由（1）可知，
∴当时，y有最小值为.
∵，距离对称轴越远越大，
当是，y有最大值为5．
所以y的取值范围是．
22．(1)
(2)AC
【详解】（1）解：，
是直径，
∵的半径为6，
．
在中，由勾股定理，得，
∵
∴，
；
（2）解：如图2，连接，作于H，
，，，
．
平分，
，
，
．
四边形内接于，，
，
在中，由根据勾股定理，得，
∴，
∴．
，
∴是等腰直角三角形，
同理可得．
在中，，
．
23．(1)件
(2)元
(3)元
【详解】（1）解：，
答：每天销售件；
（2）解：设每件应降价元，
由题意得，，
整理得，，
解得，，
∵尽量减少库存，
∴，
答：每件应降价元；
（3）解：设每天盈利为元，每件应降价元，
由题意得，，
∵，
∴当时，取最大值，最大值为，
答：每天销售这款秋装盈利的最大值是元．
24．(1)
(2)
(3)，
【详解】（1）解：连接，过点作轴，如图所示：
把绕点逆时针旋转得到，且点，点，
得，，
∴，AD=OA-OD=4-3=1，
．
（2）过点作于点H，连接，如图所示：
把绕点逆时针旋转得到，且旋转角α=60°，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
．
（3）设P到的距离为h，
∴，
∵△ABO绕点B逆时针旋转，
∴O是在以B为圆心的圆上运动，
如图所示：
当时，的面积最小；时，的面积最大；
∵，，
①当时，，
∴，
②当时，，
∴，
∴的面积的最大值和最小值分别为和．
25．(1)
(2)①；②，S有最大值6；③满足条件的t的值为或或．
【详解】（1）解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，
∵抛物线与x轴的另一交点为，
设所求抛物线的函数表达式为，
把点代入，得，
解得，
∴所求抛物线的函数表达式为，即；
（2）解：①，则，
∴，，
当时，，
解得：或（与A重合，舍去），
当时，，
故；
②∵，，
∴
，
，
∵，
∴当时，S有最大值6；
③∵，
分三种情况讨论：
当时，，
解得或（舍）；
当时，过点C作交于M，则M为的中点，如图1，
∴，
解得或（舍）；
当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述：满足条件的t的值为或或．

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