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湖南省郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设集合 则 A∩B=
A.(6,+∞) B. (-3,1) C. (-3,6) D. (1,3)
2.设复数 则z的共轭复数 z 在复平面内对应点的坐标为
A. (0,1) B. (1,0) C. (-1,0) D. (0,-1)
3.设 x∈R, 向量 则 x=-2 是ā⊥b 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知 则 sin(α-β)=
A. B. C. D.
5.函数 的图像大致为
6.已知函数 在R上单调递减，则a的取值范围是
A. (-∞,0] B. [-l,0] C. [-1,1] D. [l,+∞)
7.已知正方体 中, 点E、F满足 则平面AEF截正方体 形成的截面图形为
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
高三数学试题第1页(共5 页)
8.已知 若 f(x) 有两个零点，则实数m的取值范围为
二、多项选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列命题中正确的是
A. 已知随机变量 则 E(2X+1)=4
B. 已知随机变量
C. 数据1, 3, 4, 5, 7, 8, 10的第80百分位数是8
D. 样本甲中有m件样品，其方差为s ，样本乙中有n件样品，其方差为： ，则由甲乙组成的总体样本的方差为
10.已知曲线 则下列说法正确的是
A. 若 cosθ=0, 则曲线 C表示两条直线
B. 若 cosθ>0, 则曲线 C是椭圆
C. 若 cosθ<0, 则曲线 C是双曲线
D. 若 cosθ=-sinθ, 则曲线 C 的离心率为 .
11.在正三棱台 ABC-DEF 中, AB=6, DE=2, 且等腰梯形所在的侧面与底面ABC所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有
A. 正三棱台 ABC-DEF 的高为
B. 正三棱台 ABC-DEF 的体积为
C. AD与平面ABC所成角的正切值为 l
D. 正三棱台 ABC-DEF 外接球的表面积为
高三数学试题第2页(共5页)
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知 为等差数列{ 的前n项和，若 则
13.从数字1，2，3，4中随机取一个数字，第一次取到的数字为 ,再从数字1,…,i中随机取一个数字，则第二次取到数字为3 的概率是 .
14.已知抛物线 从抛物线内一点 发出平行于x轴的光线经过抛物线上点B 反射后交抛物线于点 C，则 △ABC 的面积为 .
四、解答题(本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
若锐角 △ABC 中, A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且 的面积为
(1)求B;
(2)求 的取值范围.
16. (本小题满分15分)
如图, 在四面体 A-BCD 中, M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且
(1)证明: PQ ∥平面BCD;
(2)求二面角A-PC-M的余弦值.
17.(本小题满分15分)
已知椭圆E的离心率为 椭圆E上一点P到左焦点的距离的最小值为
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知直线l与椭圆E交于M、N两点， 且( 求 面积的取值范围.
18.(本小题满分17分)
已知函数 其中a为常数.
(1)当 时, 试讨论 f(x) 的单调性;
(2)若函数 f(x) 有两个不相等的零点.
(i)求a的取值范围；
( ii)证明:
19.(本小题满分17分)
已知数列 是正整数1，2，3，…，n的一个全排列，若对每个 都有 或3，则称为 H 数列
(1)列出所有 H 数列. 的情形；
(2)写出一个满足 的 H 数列 的通项公式；
(3)在 H 数列 中，记 若数列 是公差为 d 的等差数列，求证： 或
郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷数学参考答案
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1-5 DABCC 6-8 DBA
二、选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9-11 ABC、ACD、BCD
6.【解】因为f(x)在R上单调递减, 且x≥0时, 单调递减，有最大值1; 当x<0时, 函数. 的对称轴a≥0，单调递减有最小值a, 则要满足a≥1, 故a≥1即a的范围是[1,+∞).故选: D.
7【解】如图, 设AB=6, 分别延长AE、A B 交于点G, 此时 连接FG交 B C 于 H , 连接EH ,
设平面AEF与平面DCC D 的交线为l, 则F∈l,
因为平面ABB A ∥平面DCC D ,平面AEF∩平面, 平面AEF∩平面
所以l∥AE, 设l∩D D=I, 则FI∥AE,此时△FD I∽△ABE ,故 连接AI,所以五边形AIFHE为所求截面图形，
故选: B.
8.【解】由f(x)=0, 得 即
∵m≥0,∴lnx≥0,mx≥0,∴x≥1
设
在 上单调递增
∴mx= lnx,即
设
令g'(x)>0,解得1e
∴g(x)在(1, e)上单调递增, 在(e,+∞)上单调递减,
时，g(x)>0
时, f(x)有两个零点.故选: A.
11.【答案】BCD
【详解】解: 取EF的中点G, BC的中点H, 连接DG, GH, AH, 过D点作垂线与AH相交于点 X，过G点作垂线与AH 相交于点 Y，过F点作垂线与BC相交于点I
由题可知： 设正棱台的高为h，即| 设 则
∵ GH ⊥ BC,AH ⊥ BC
∴∠GHY为等腰梯形 EFBC与底面 ABC所成角的平面有
在直角三角形ADX中，
在直角三角形FIC 中，
又
解得：
故A错；
14.【解】
由抛物线的光学性质可知，BC过焦点F，又F(1，0)，直线BF的斜率为.
∴直线 BC的方程为 联立 可得点
四、解答题(本题共5小题，共77分.)
15.【解】 ·2分
即 4分
5分
又 6分
7分
则 8分
10分
∵△ABC为锐角三角形
11分
12分
13 分
16.【解】(1)取BD中点E,在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连接EP,EF,FQ,∵AQ=3QC,∴QF∥AD,且 2分
又E,P分别为BD,BM 的中点, ∴PE∥DM,且 3分
令 得
所以平面 DEF 的一个法向量为 12分
所以 14分
由图可知，二面角A-PC-M为锐角，
故二面角A-PC-M的余弦值为 … ………………15分
17. 解:(1)椭圆E的离心率为 椭圆E上一点P到左焦点的距离的最小值为
则 …2分
· ……4分
∴b=1 …5 分
所以椭圆E的方程为 …6分
(2) 当直线斜率不存在时，设直线l：x=m代入 由OM⊥ON得 此时△OMN 的面积为 …… ………………………8分
当斜率存在时, 设直线l: y= kx+m, 设M(x ,y ), N(x ,y )
由 得
解得
9分
因为OM⊥ON, 所以 10分
即 化简得 …… 11分
· · ·12分
令2k +1=t, t∈[1,+∞), ………13分
则可化为 14 分
当t=2时△OMN面积有最大值，最大为 当∵ 综上所以S△OMN的取值范围是 15分
(请阅卷老师严格按照得分点给分到位)
18.【解】(1) 解: …2分
①当00;当x∈(a,2)时, f'(x)<0;
∴x∈(0,a)和x∈(2,+∞), 函数f(x)单调递增; x∈(a,2), 函数f(x)单调递减;
…………………………………3分
②当a=2时, f'(x)≥0恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增; ……4分
③当a>2时, 当x∈(0,2)∪(a,+∞), f'(x)>0; 当x∈(2,a)时, ∴x∈(0,2)和x∈(a,+∞), 函数f(x)单调递增; x∈(a,2), 函数f(x)单调递减;…………………………………5 分
(2) 解: 若函数有两个不同的零点x ,x ,由(1) 知:
当0当a=2时, f(x)在(0,+∞)上单调递增, 不合题意
当a=2时, 不合题意…7分
∴a<0, 函数f(x)在x∈(0,2)时单调递减, 在x∈(2,+∞)|时单调递增，在x=2处取得极小值，………………………………………………………………………8分
当 满足题意
…………9分
不妨令
令：
=2alnx-2aln(4-x)+4x+4a-2(a+2)x· 10分
11分
∴ 函数F(x)在x∈(0,2)上单调递减;∴F(x)>F(2)=0, ………………12分
…13分
… ………14分
又因为函数f(x)在x∈(2,+∞)上单调递增; …16分
即 ………………………17分
19. 解:(1) 4 :3,1,4,2,5或A :5,2,4,1,3
A :2,4,1,3,5或A :5,3,1,4,2
A :1,3,5,2,4或A :4,2,5,3,1
或A :4,1,3,5,2
A :3,5,2,4,1或A :1,4,2,5,3……5分 说明：每个0.5分
(2) 由(1) 可知将A :3,1,4,2,5记为A 的第一组数
构造数列满足 ……………………………………6分
则对任意的k∈{1,2,3…,405}, i∈{2,3,4,5}
或3…7 分
当i=1时, 符合要求…8分
∴ k
x…9分
综上所述： …10分

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