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(共29张PPT)
北师大版（2024） 七年级数学上册 第三章 整式及其加减
第一课时 探索数字和图形中的规律
3.3 探索与表达规律
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂反馈
分层练习
课堂小结
学习目标
1. 经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用.
2. 能用代数式表示并借助代数式运算验证探索规律的一般性.
3. 能运用所总结的规律解决问题.
情景导入
如图是生活中常见的日历，你对它了解吗？
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
新知探究
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
观察如图所示的日历图，回答下列问题：
(1)日历图中的数有什么规律？
(2) 日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
套色方框九个数之和=9×正中间的数。
(3) 这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
成立
a–6
a+8
a–1
a+7
a+1
a–7
a
a–8
a+6
a-8+a-7+a-6-a-1+a+a+1+a+6+a+7+a+8=9a 。
设正中间的数为a，则月历中数的排列规律：
所以这9个数的和为正中间的数的9倍。
(4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？请用代数式表示。
（1）如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a．
（2）任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间的数的3倍.
如果设最中间的数为a，则任意一行或列的相邻三个数的和为3a.
尝试.思考
（1）如图所示的日历图中，能否使方框中9个数的和为144 180呢
解：假设方框正中间的数为a，框中9个数的和为9a.
使得9a=144，所以a=16.
在图中能找到这样的方框，所以能使框中9个数的和为144.
当9a=180时，a=20.
在图中不能找到这样的方框，所以不能使框中9个数的和为180.
（2）在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号
纵列相邻两数相差7
解：假设这个月的第一个星期日是m号，
则m+(m+7)+(m+7+7)+(m+7+7+7)+(m+7+7+7+7)=80，
所以m=2，
所以这个月的第一个星期日是2号.
思考.交流
（1）如图，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
7+13+14+15+21＝70
＝14×5.
十字形框中5个数的和等于正中间的数的5倍．
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
如果将方框改为H形框，你能发现哪些规律？
10+12+17+18+19+24+26＝126
＝18×7.
H形框中7个数的和等于正中间的数的7倍．
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
（2）你还能设计其它形状的包含数字规律的数框吗？
8+10+16+22+24＝80
＝16×5.
X形框中5个数的和等于正中间的数的5倍．
课堂练习
1.下面是用棋子摆成的“小房子”。摆第 10 个这样的“小房子”需要多少枚棋子？摆第 n 个这样的“小房子”呢？你是如何得到的？
…
59
4n+(2n-1)=6n-1
分层练习-基础
知识点1　数字的变化规律
1. [2024菏泽牡丹区月考]已知一列均不为1的数 a1， a2，
a3，…， an 满足如下关系： a2＝ ， a3＝ ， a4＝
，…， an＋1＝ ，若 a1＝2，则 a2 025的值是(　D　)
D
A. － B.
C. －3 D. 2
2. 【新考向数学文化2024南京玄武区月考】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》.当输入 x 的值是1时，根据程序框图(如图)，第一次计算输出的结果是8，第二次计算输出的结果是4，…，第2 024次计算输出的结果是(　D　)
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
D
3. [2023恩施]观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
－2，4，－8，16，－32，64，…①
0，7，－4，21，－26，71，…②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2 023个数，则这两个数的和为 .
1024
－22 024＋2 024　
点拨：第①行数的规律为(－2) n ，
所以第①行数的第10个数为(－2)10＝1 024.
第①行数的第2 023个数为(－2)2 023.
第②行数的规律为(－2) n ＋ n ＋1，
所以第②行数的第2 023个数为(－2)2 023＋2 024.
所以第①行第2 023个数与第②行第2 023个数的和为－22 024＋2 024.
4. 【新考法·特征数表示法教材 P 99习题 T 2变式】如图是2024年7月的月历，回答下列问题.
(1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数16有什么关系？
解：(1)9＋15＋16＋17＋23＝80＝16×5，
即带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数16的5倍.
(2)若将十字框上下左右移动，但一定要框住月历中的5个数，设中间的数为 a ，用含 a 的代数式表示十字框中五个数的和.
解：(2)由题意可得，十字框中左边的数为 a －1，右边的数为 a ＋1，上面的数为 a －7，下面的数为 a ＋7，则十字框中五个数的和为 a ＋( a －1)＋( a ＋1)＋( a －7)＋( a ＋7)＝5 a .
知识点2　图形的变化规律
5. 【2023重庆教材 P 107复习题 T 17变式】用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为(　 　)
B
A. 14 B. 20
C. 23 D. 26
6. 【新趋势·跨学科2023遂宁】烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷(当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷、…)等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 .
C12H26　
分层练习-巩固
7. 下面各正方形中的四个数之间都有一定规律，按此规律可
得出： m ＋ n ＋ c ＝ .
110　
8. 【情境题·游戏活动】 在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式 m ， n 按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串 m ， n ， n － m ；
第2次操作后得到整式串 m ， n ， n － m ，－ m ；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏.则该“回头差”游戏第2 027次操作后得到的整式中各项之和是 .
m 　
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
点拨：第1次操作后得到整式串 m ， n ， n － m ；
第2次操作后得到整式串 m ， n ， n － m ，－ m ；
第3次操作后得到整式串 m ， n ， n － m ，－ m ，－ n ；
第4次操作后得到整式串 m ， n ， n － m ，－ m ，－ n ，－ n ＋ m ；
第5次操作后得到整式串 m ， n ， n － m ，－ m ，－ n ，－ n ＋ m ， m ；
…
归纳可得，以上整式串从第5次操作后，每6次一循环，
第4次操作后所有的整式之和为 m ＋ n ＋ n － m － m － n
－ n ＋ m ＝0，从第5次操作开始，每操作完6次，所得的
整式串中各项之和都为0.
因为(2 027－4)÷6＝337……1，
所以第2 027次操作后得到的整式串中各项之和与第5次操
作后得到的整式串中各项之和相等，
所以这个和为 m ＋ n ＋ n － m － m － n － n ＋ m ＋ m ＝
m .
9. 按如图所示规律摆放三角形，根据图中规律，回答问题.
(1)图①有 个三角形，图②有 个三角形，图③
有 个三角形；
5　
8　
11　
(2)按上述规律排列下去，第 n 个图形中有 个三角形.
(3)按上述规律排列下去，第2 025个图形中有多少个三角形？
解：当 n ＝2 025时，3 n ＋2＝3×2 025＋2＝6 077，
所以第2 025个图形中有6 077个三角形.
(3 n ＋2)　
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
分层练习-拓展
10. 【新考法·阅读类比法】我们知道： ＝1－ ， ＝
－ ， ＝ － ，…
(1)根据规律填空： ＝ 　 － 　，
＝ 　 － 　；
－ 　
－ 　
解：(2) 原式＝1＋2＋ ＋3＋ ＋…＋8＋
＝(1＋2＋3＋…＋8)＋
＝36＋( ＋ ＋ ＋…＋ )
＝36＋( － ＋ － ＋ － ＋…＋ － )
＝36＋
＝36＋
＝36＋
＝36 .
(2)根据以上规律计算：1＋2 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6 ＋7 ＋8 ；
(3)若｜ ab －3｜与｜ b －1｜互为相反数，
求 ＋ ＋ ＋…＋ 的值.
解： (3)因为｜ ab －3｜与｜ b －1｜互为相反数，
所以｜ ab －3｜＋｜ b －1｜＝0.
所以 ab －3＝0， b －1＝0.所以 a ＝3， b ＝1.
所以 ＋ ＋ ＋…＋
＝ ＋ ＋ ＋…＋
＝ ×(1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － )
＝ ×
＝ × ＝ .
课堂小结
日历中的规律
在日历中，方框中的9个数之和是最中间数的9倍.
如果用a表示正中间的数，这9个数的和等于9a.
任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间数的3倍.
设最中间的数为a，则任意一行或列的相邻三个数的和为3a.

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