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2024-2025学年度第一学期期中质量检测
高一数学试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，则( UA)∪B＝(　 　)
A．{2，4，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4} D．{2，3，4，5}
2.命题p:R,x+|x|≥0的否定是（ ）
A. x∈R,x+|x|≥0 B. x∈R,x+|x|≤0 C. x∈R,x+|x|<0 D.R,x+|x|<0
3.函数y=的值域是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.∪
C.∪ D.∪
4.“-1A．[-1,1] B．(-1,1] C．(-1,1) D．[-1,1)
5.已知函数f(x)＝,则f(2)的值等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．无意义
6.函数图象大致为( )
7.已知实数x,y满足x>y>0， 且x+y=1，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若对任意x∈[1，5]，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x(a∈R，b>0)恒成立，则实数b的最大值为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直. B．.
C． D．对任意R,x2-x+1>0.
10.已知直线l:(1-2m)x-(m-1)y+7m-4=0, 圆C:x2+y2-2x-4y-20=0，则以下命题正确的是( )
A.直线l恒过定点(-3,-1) B.直线l与圆C恒相交
C.圆C被x轴截得的弦长为 D.直线l被圆C截得的弦最短时，
11.华为通信技术对未来的移动医疗、车联网、智能家居、工业控制、环境监测等会起着巨大作用，其编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中，已知定义在上不恒为的函数，对任意有：且满足，则
A. B.
C. 是偶函数 D. 是奇函数
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)=，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(9)=_________.
13.已知f(x)=的定义域为A，集合B={x∈R|114.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.
⑴若A∩B={2},求实数a的值；
⑵若A∪B=A,求实数a的取值范围.
16.（本题满分15分）
已知函数和,设h(x)=f(x)·g(x).
⑴若函数H(x)=x,试判断y=h(x)与y=H(x)是否为同一函数，并说明理由；
⑵求函数F(x)=h(x)-的值域.
17.（本题满分15分）
已知函数的图象过点(0,1)与(3,).
⑴求f(x)的解析式；
⑵求f(x)在区间[1,4]上的最大值．
18.（本题满分17分）
吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需头入成本g(x）万元，当产量小于或等于50万盒时，g(x)=;当产量大于50万盒时，g(x)=x2+60x+3500.若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以完全销售完.
⑴求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
⑵当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？并求出最大利润.
19.（本题满分17分）
定义在(-1,1)上的函f(x)数满足:对任意的x,y∈(-1,1)，都有f(x)+f(y)=f().
⑴求证:函数f(x)是奇函数;
⑵若当x∈(-1,1]时，恒有f(x)>0，求证:f(x)在(-1,1)上是减函数；
⑶在⑵的条件下，若f()=-1，f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[,]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，则( UA)∪B＝(　　)
A．{2，4，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4} D．{2，3，4，5}
【答案】A
【解析】由题意知 UA＝{2，5}，所以( UA)∪B＝{2，4，5}．故选A.
2.命题p:R,x+|x|≥0的否定是（ ）
A. x∈R,x+|x|≥0 B. x∈R,x+|x|≤0 C. x∈R,x+|x|<0 D.R,x+|x|<0
【答案】C
【解析】由命题的否定的概念得，命题p的否定为 x∈R,x+|x|<0，故选C.
3.函数y=的值域是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.∪
C.∪ D.∪
【答案】D
【解析】∵y===-+,∴y≠-,
∴该函数的值域为∪.故选D.
4.“-1A．[-1,1] B．(-1,1] C．(-1,1) D．[-1,1)
【答案】B　
【解析】∵“-1∴且a≥-1与a2+1≤2等号不同时成立，解得-15.已知函数f(x)＝,则f(2)的值等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．无意义
【答案】C
【解析】由题意，得f(2)=f(5)==2, 故选C．
6.函数图象大致为( )
【答案】B
【解析】对于.函数,对 x∈R，,所以函数是偶函数，它的图象关于y轴对称，排除AC选项；又函数≥0,排除D选项.故选B.
7.已知实数x,y满足x>y>0， 且x+y=1，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】∵实数x,y满足x>y>0， 且x+y=1，∴(x+3y)+(x-y)=2x+2y=2,且x+3y>0,x-y>0.
∴,当且仅当时取等号,∴的最小值为.故选D.
8.若对任意x∈[1，5]，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x(a∈R，b>0)恒成立，则实数b的最大值为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】由x∈[1,5]时，2x≤x2＋ax＋b≤6x恒成立，可得－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x，令f(x)＝－x2＋2x(1≤x≤5)，g(x)＝－x2＋6x(1≤x≤5), 可得f(x)，g(x)图象如图所示．要使b最大，则y＝ax＋b图象必过A(1,5)，且与y＝f(x)图象相切于点B，则此时b＝5－a，即直线方程为y＝ax＋5－a，
联立得 x2＋(a－2)x＋5－a＝0，
∴Δ＝(a－2)2－4(5－a)＝0，解得a2＝16. 由图象可知a<0，
∴a＝－4，∴bmax ＝5－(－4)＝9.故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直. B．.
C． D．对任意R,x2-x+1>0.
【答案】ACD
【解析】可以判定四个命题都是真命题，显然B是存在量词命题，故选ACD.
10.已知不等式ax 2 + bx + c > 0的解集为{x|m < x < n}，其中m > 0，则以下选项正确的有(　　　)
A．a < 0 B．c > 0
C．cx2 + bx + a > 0的解集为{x|} D．cx2 + bx + a > 0的解集为{x|或}
【答案】AC
【解析】由不等式ax 2 + bx + c > 0的解集为{x|m < x < n}，知a < 0，选项A正确；
∵m > 0，∴,c<0,选项B错误；
由c<0,得cx2 + bx + a > 0的解集为{x|}，选项C正确，选项D错误.
故选AC.
11.华为通信技术对未来的移动医疗、车联网、智能家居、工业控制、环境监测等会起着巨大作用，其编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中，已知定义在上不恒为的函数，对任意有：且满足，则
A. B.
C. 是偶函数 D. 是奇函数
【答案】ABD
【解析】由题意可知f(ab)=bf(a)+af(b)，
令a=b=0，则，
令a=b=1则，即，
令a=b=-1则即
令a=-1,b=x，则f(-x)=xf(-1)+(-1)f(x)=-f((x)
也即，
所以函数为奇函数，
故选ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)=，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(9)=_________.
【答案】3.
【解析】∵对 x∈R，f(x+2)=f(x)+f(2)，∴f(-1+2)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2)，,
∴,f(9)=f(2)+f(7)=2f(2)+f(5)=3f(2)+f(3)=4f(2)+f(1)=3.
13.已知f(x)=的定义域为A，集合B={x∈R|1【答案】[-1,1]
【解析】∵f(x)=的定义域为A，,
∴x2-1≥0,即x≤-1或x≥1,即A={x|x≤-1或x≥1},
①当a=0时，B={x∈R|1<0×x<2}= ,满足B A，所以a=0符合题意；
②当a>0时，B={x∈R|}，若B A，则有或（舍），所以0③当a<0时，B={x∈R|}，若B A，则有，所以-1≤a<0，
综上所述,a∈[-1,1].
14.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0【答案】16.
【解析】由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，
则由
解得0因为x∈N*，所以x的最大值为16.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.
⑴若A∩B={2},求实数a的值；
⑵若A∪B=A,求实数a的取值范围.
【答案】⑴-1或-3; ⑵a≤-3.
【解析】⑴联由题意得,A={1,2}.∵A∩B={2},∴2∈B,∴a2+4a+3=0,
解得a=-1或a=-3.
当a=-1时,B={-2,2},满足条件;
当a=-3时,B={2},满足条件.
综上,实数a的值为-1或-3.
⑵∵A∪B=A,∴B A.
①当Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3)<0,即a<-3时,B= ,满足要求;
②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足要求;
③当Δ>0,即a>-3时,不满足要求.
综上可知,a的取值范围是a≤-3.
16.已知函数和,设h(x)=f(x)·g(x).
⑴若函数H(x)=x,试判断y=h(x)与y=H(x)是否为同一函数，并说明理由；
⑵求函数F(x)=h(x)-的值域.
【答案】⑴不是同一函数; ⑵[-1,3-)∪(3-,+∞).
【解析】⑴y=h(x)与y=H(x)不是同一函数.
h(x)=f(x)·g(x)=·=x,
∵f(x)的定义域为(-,+∞),g(x)的定义域为[-,3)∪(3,+∞),
∴h(x)的定义域为f(x)与g(x)的定义域的交集，即（-,3)∪(3,+∞)，
∴h(x)=x,x∈（-,3)∪(3,+∞),
虽然函数y=h(x)与y=H(x)的解析式相同，但y=H(x)的定义域为R，它们的定义域不同，
所以函数y=h(x)与y=H(x)不是同一函数.
⑵F(x)=h(x)-=,x∈（-,3)∪(3,+∞)
令t=,则,
所以原式转化为y=,其值域为[-1,3-)∪(3-,+∞),
故F(x)=h(x)-的值域为[-1,3-)∪(3-,+∞).
17.已知函数的图象过点(0,1)与(3,).
⑴求f(x)的解析式；
⑵求f(x)在区间[1,4]上的最大值．
【答案】⑴；⑵.
【解析】⑴由题意知f(0)=1，f(3)=，
则，解得a=，b=3.
故.
⑵当x∈[1,4]时
，
所以，当且仅当，即时取等号，
故f(x)在区间[1,4]上的最大值为.
18.吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需头入成本g(x）万元，当产量小于或等于50万盒时，g(x)=;当产量大于50万盒时，g(x)=x2+60x+3500.若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以完全销售完.
⑴求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
⑵当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】⑴y=;
⑵当产量为70万盒时，该企业在生产中的利润最大,最大利润为1200万元.
【解析】⑴由题意： 当0y=200x-200- =-10x-+1600；
当x>50万盒时，y =200x-200-x2-60x-3500=-x2+140x-3700 ；
则y=
⑵当0当且仅当10x=,即x=30时，等号成立.
当x>50时，y=-x2+140x-3700=-(x-70)2+1200,
当x=70时，y取最大值1200.
∵1000<1200,
∴当产量为70万盒时，该企业在生产中的利润最大,最大利润为1200万元.
19.如定义在(-1,1)上的函f(x)数满足:对任意的x,y∈(-1,1)，都有f(x)+f(y)=f().
⑴求证:函数f(x)是奇函数;
⑵若当x∈(-1,1)时，恒有f(x)>0，求证:f(x)在(-1,1)上是减函数；
⑶在⑵的条件下，若f()=-1，f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[,]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】⑴； ⑵详见解析; ⑶(-∞,-2] {0} [2,+∞)．
【解析】⑴令x=y=0，则2f(0)=f(0)，∴f(0)=0.
∵x∈(-1,1)，∴-x∈(-1,1]，令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)=0.
∴f(-x)=-f(x).
∴函数f(x)是奇函数.
⑵任取x1,x2∈(-1,1)，且x1∴.
∵，且
∴，∴.
∵
∴.
∵当时，有，∴.
∴.
∴f(x)在(-1,1)上是减函数.
⑶可知，函数f(x)在[,]上为减函数.
∴.
∵f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[,]，a∈[-1,1]恒成立，
∴≤，a∈[-1,1]恒成立.
∴1≤，即≥0，a∈[-1,1]恒成立.
设，则有，
解之得:≤或或≥2.
∴实数t的取值范围是(-∞,-2] {0} [2,+∞) .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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