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2025届高中数学一轮复习专题训练 立体几何初步
一、选择题
1．如图，在二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，当，，，时，则四面体外接球的半径为( )
A. B. C. D.
2．水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形,如图所示.其中,则原平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
3．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4．若正三棱锥的所有棱长均为3,则该正三棱锥的体积为( )
A.3 B. C. D.
5．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,高为3,且该圆台的体积为,则该圆台的母线长为( )
A. B. C. D.
6．已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为( )
A.3 B. C. D.
7．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,,,,,则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
8．如图,正三柱的底面是边长为3的正三角形,侧棱,一小虫从点A途经三个侧面爬到点,则小虫爬行的最短距离为( )
A.4 B.5 C. D.
二、多项选择题
9．已知点A,B为不同的两点,直线,,为不同的三条直线,平面,为不同的两个平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,,则
D.若,,,,则直线
10．如图所示，直线垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且为圆O的直径，点M为线段的中点.则下列结论正确的是( )
A.；
B.平面；
C.平面；
D.点B到平面的距离等于线段的长.
11．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形是( )
A.① B.② C.③ D.④
三、填空题
12．中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时,将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图,图（2）为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体,B,D,H,F对应四个三棱柱,A,C,I,G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12,四个四棱锥的体积之和为4,则该正四棱台的体积为__________.
13．如图,在正三楼柱中,,,则直线与直线所成角的正切值为___________.
14．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为________.
四、解答题
15．如图，在三棱台中，，G，H分别为，的中点.求证：平面.
16．如图，在正方体中，S是的中点，E，F，G分别是，，的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)若正方体棱长为1，过A，E，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积.
17．已知正方体的棱AB，BC的中点分别为E，F，过点E，F作该正方体的截面，则截面的形状可能是几边形？
18．如图,四棱锥中,平面ABCD,,底面ABCD是矩形,且,．
求直线AC与平面APD所成的角的正弦值;
19．日常生活中,较多产品的包装盒呈正四棱柱状,烘焙店的包装盒如图所示,正四棱柱的底面ABCD是正方形,且,.
店员认为在彩绳扎紧的情况下,按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为_______________.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意，设平面与平面的夹角为，
，，
，，
，
，
，即，
，即平面与平面的夹角为.
过D作的平行线，过A作的平行线，与所成的角为，过B作的平行线，连接，，，
四面体的外接球与三棱柱的外接球相同，
在中，，，
外接圆半径为，
四面体外接球的半径为.
故选：A.
2．答案：C
解析：由直角梯形中,且,作于P,
则四边形为正方形,为等腰直角三角形,故,.
故原图为直角梯形,且上底,高,下底.
其面积为.
故选：C.
3．答案：B
解析：圆台的侧面展开图是个扇环，，
所以圆台的高，
则，
故选：B.
4．答案：C
解析：如图,正三棱锥,,
取BC中点D,连接AD,取等边三角形ABC的中心O,连接PO,
由正四面体的性质可知,顶点与底面中心连线垂直底面,
平面ABC
即三棱锥的高为PO,
,
,,
,
.
故选:C
5．答案：C
解析：如图所示,
设圆台较大的底面半径为,较小的底面半径为,
则,解得,
过点B作垂直于点,
则母线长,
故选:C.
6．答案：B
解析：设圆锥的高与底面半径以及母线长依次为h、r、l，
则由题意，即，
所以由圆锥结构特征得.
故选：B.
7．答案：A
解析：如图:
在中,,,
由余弦定理:,
所以,所以外接圆半径为,即.
在直角三角形PQB中,,,所以.
设棱锥外接球半径为R,在直角三角形OQB中,,
解得:.
所以球O的表面积为:.
故选:A
8．答案：C
解析：三柱的侧面展开图为一个矩形,如图所示,因为正的边长为3,侧棱,
所以,,所以,
即小虫爬行的最短距离为.
故选：C
9．答案：AC
解析：若,则垂直于任一条平行于的直线,又,则,故A正确;
若,不能推出,故B错误;
若,则,,又,故,故C正确;
若,,则AB为内的一条直线,不一定对,故D错误.
10．答案：ABD
解析：对A，因为平面，且平面，
所以，
又因为为圆O的直径，且点C在圆O上，
所以，
又
所以平面
又平面
所以，故A正确；
对B，因为点O为线段中点，点M为线段中点
所以
又因为平面，且平面
所以平面，故B正确；
对C，若平面，则，又因为点O为线段中点，则，而题中并无条件说明，故C错误；
对D，由选项A的解题思路可知：平面，所以点B到平面的距离等于线段的长，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线.”
根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线、是异面直线；
在图①中，由G、M均为棱的中点可知：；
在图③中，G、M均为棱的中点，四边形为梯形，则与相交.
故选：BD.
12．答案：28
解析：如图,令四棱锥的底面边长为a,高为h,三棱柱的高为b,
依题意,四棱锥的体积为,即,
三棱柱的体积为,即,因此
于是长方体的体积,
所以该正四棱台的体积为.
故答案为:28
13．答案：
解析：连接交于O点,作F点为的中点,连接OF,则与所成的角等于OF与所成的角,
在中,,,,,.
14．答案：/
解析：在直三棱柱中，.
如图，以点C为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由，，
得，，，，
，，
因此，
由异面直线与所成角范围为，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为：.
15．答案：证明见解析
解析：证明：如图，连接，，
设，连接.
在三棱台中，，G为中点，
可得，，
所以四边形为平行四边形.
所以O为的中点.又H为的中点，
所以.
又平面，平面，
所以平面.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)画图见解析，
解析：（1）证明：连接，由为的中位线，可得，
由平面，平面，可得平面；
（2）取的中点N，连接，，可得，，
取的中点M，连接，，可得，，
可得截面为平行四边形，
且，即平行四边形为菱形，
而，，
所以截面的面积为.
17．答案：三角形、四边形、五边形、六边形
解析：如图，设H，J，I，G分别是，，，的中点.
易得截面可能是三角形，四边形，五边形，六边形EFGIJH.
因为正方体有6个面，所以最多是六边形.
综上，截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形.
18．答案：
解析：设点C到平面距离为h,
由知,
因平面,平面,故,又,
,,平面,故平面．
又平面,所以,则,
,,
可得,
矩形ABCD中,,
所以直线与平面所成的角的正弦值是．
19．答案：
解析：对于图（A）,沿彩绳展开正四棱柱,则彩绳长度的最小值为;
对于图（B）,彩绳长度的最小值为,
因为,所以图A比图B最多节省的彩绳长度.
故答案为：.
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