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2025届高中数学一轮复习专题训练 平面向量
一、选择题
1．平面向量，，则( )
A. B. C.与的夹角为 D.与的夹角为
2．已知向量,满足,,则( )
A.3 B. C.1 D.
3．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.若M为的垂心，，则( )
A. B. C. D.
4．已知向量,,若与平行,则实数的值为( )
A. B. C.6 D.-6
5．在中,点D是线段AC上一点,点P是线段BD上一点,且,,则( )
A. B. C. D.
6．已知向量,,,若,则( )
A. B.4 C.14 D.32
7．已知向量,,若,则( )
A.-1 B.1 C. D.
8．四边形ABCD是边长为4的正方形,点P是正方形内的一点,且满足,则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列结论中正确的有( )
A.对于实数m和向量,,恒有
B.对于实数m,n和向量,恒有
C.对于实数m和向量,,若,则
D.对于实数m,n和向量,若,则
10．如图，四边形ABCD为梯形，其中，，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11．下列向量中与共线的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．向量,满足,,与的夹角为,则_____________.
13．在四边形中,,,,,点E在线段的延长线上,且,则________________.
14．在中，过重心E任作一直线分别交，于M，N两点，设，，（，），则的最小值是________.
四、解答题
15．1.已知向量,.
（1）当实数k为何值时,向量与共线
（2）若,,且,求实数m的值.
16．如图，在直角梯形中，，，，M为上靠近A的三等分点，交于N，D为线段上的一个动点.
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围.
17．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点.
(1)求中线的长；
(2)求的余弦值；
18．已知向量，满足，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
19．已知向量，，为同一平面内的三个向量，向量.
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：向量，,
夹角的余弦为0,
故选：B
2．答案：D
解析：因为向量,满足,,
所以,,
即,①
,②
所以,得:,即,
所以.
故选:D
3．答案：B
解析：
如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E.
由M为的垂心，，且，
得，所以，，
又，则，同理可得，所以，，设，，则，，
所以，即，，
所以，
所以.
故选：B.
4．答案：D
解析：因为,,
所以,
又与平行,
所以,解得.
故选：D.
5．答案：A
解析：因为,所以,即,
又,所以,
因为点P是线段上一点,即B,P,D三点共线,
所以,解得.
故选:A
6．答案：B
解析：因为,,又,所以,
故.
故选:B.
7．答案：B
解析：因为向量,,,
所以,解得.
故选：B.
8．答案：D
解析：根据题意,建立如图所示的直角坐标系,
设,,,,
则,,,,
故,
,
即;
故点P在以点为圆心,1为半径的圆周上运动,
所以的最大值为.
故选:D.
9．答案：AB
解析：由数乘向量运算律,得A,B均正确;
对于C,若,则,未必一定有,错误;
对于D,若,由,未必一定有,错误.
故选:AB.
10．答案：AC
解析：A选项：，A正确；
B选项：，B错误；
C选项：，C正确；
D选项：，错误.故选AC.
11．答案：CD
解析：向量，因，则与不共线，A不是；
因，则与不共线，B不是；
而，，则，与都共线，即C，D是.
故选：CD.
12．答案：2
解析：,
所以.
故答案为：2.
13．答案：-1
解析：建立如图所示的直角坐标系,则,.
因为,,所以,
因为,所以,
所以直线的斜率为,其方程为,
直线的斜率为,其方程为.
由得,,
所以.
所以.
14．答案：
解析：在中，点E为重心，则，
而点N,E,M共线，则，
因此，当且仅当时取等号，所以的最小值是.
故答案为：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,
所以,,当向量与共线时,,解得:,故当时,向量与共线
（2）,.
,,.
16．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）依题意，，
，
；
（2）因交于N，由（1）知，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，所以，所以；
（3）由已知，因D是线段上动点，则令，
，
又，不共线，则有，，在上递增，所以，，，，故的取值范围是.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为M为的中点，，
(2)
，
，
.
.
18．答案：（1）4；
（2）
解析：（1），，即
（2），，即
.
19．答案：(1)或；
(2).
解析：（1）由，设，则，解得，
所以或.
（2）由与垂直，得，
解得，所以与的夹角的余弦值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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