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第一章 空间向量与立体几何
1.1空间向量的概念和运算
【学习目标】
类比平面向量的概念和表示，理解、识记空间向量的概念、表示以及几个特殊向量的概念，特别是理解、识记直线的方向向量的概念；
理解空间向量运算的“平面性”，类比平面向量掌握空间向量加法、减法、数乘和数量积的运算法则；
【重点难点】
共面向量定理以及利用共面向量定理证明4点共面；
选择合适的向量作为“基底”表示所需向量，进而解求距离、线线夹角以及证明线
线平行和垂直等问题.
【导学流程】
阅读课本，认真分析空间向量的概念和加、减、数乘以及数量积的运算法则，完成以下问题.
探究一、空间向量的概念和表示
1.空间向量的概念
在空间中，把具有 和 的量叫空间向量.
空间向量
2.空间向量的概念和表示概述
3.两种空间向量的概念
（1）直线的方向向量
若非零向量所在的直线与直线l ，则就叫做直线l的方向向量.
直线的方向向量
（2）共面向量：如果向量所在的直线平行于平面或在平面内，就说向量平行于平面. 于同一个平面的向量，叫做共面向量。空间中任意两个向量 必然 共面，但是三个向量可能共面，也可能不共面。两个或多个向量共线 一定 共面。
规定：零向量和任意两个向量都共面.
空间两个向量必然共面
空间三个向量可能共面，也可能不共面
探究二、空间向量的运算
1.空间向量运算的“平面性”举例
（1）作图求 （2）平移到起点相同
（3）空间向量运算变为平面向量运算
2.空间向量运算概述
3.共面向量定理及四点共面的判断方法
我们知道，任意两个空间向量一定共面，但三个空间向量可以共面，也可以不共面，如下图所示：
（一）大前提： 向量不共线 .
（1）共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 .
（2）定理本质： 平面向量基本定理 .
（3）证明四点共面的方法： .
（二）当（非零向量）共线，且时，与的关系分析
与的关系
共线
不共线 共面，但不共线
（三）典例·概念辨析
例1.给出下列结论中，正确的有( )
A. 若，，共面，则存在实数，，使得．
B. 若，，不共面，则不存在实数，，使得．
C. 若，，共面，，不共线，则存在实数，，使得．
D. 若，则，，共面．
4.投影向量
（1）向量在向量（或直线）上的投影向量（同平面向量）.
（2）向量在平面上的投影向量.
（1） （2）
【典型例题】
题型一、空间向量的线性运算
1. 已知空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在正方体，若，则的值为
A．3 B．1 C．－1 D．－3
3. 设三棱锥中，，是的重心，则（ ）
A. B.
C. D.
题型二、3点共线、4点共面问题
1. 如图所示，在正方体中，E在上，且，在对角线上，且
（1）用向量表示向量；
（2）求证：E,F,B三点共线。
2. 设是空间两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，求实数的值.
3. 设空间四点满足，若A,B,P三点共线，求m+n的值.
4.【结论，要识记】已知空间任意一点和不共线的三点，满足向量式
, 若四点共面，求x+y+z的值.
5.如图，在平行六面体中，为的中点，点满足.若四点在同一个平面上，则（ ）
A. B. C. D.
题型三、空间中的投影向量
1. 如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量等于 ．
题型四、空间向量的数量积运算
1. 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点.
求，；
2. 如图所示，正方体中，用“向量法”求异面直线与所成的角.
3. 如图，正三棱柱的各个棱长都是2，E,F分别是AB，的中点，用“向量法”求EF的长.
第1题 图 第2题 图 第3题 图

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