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等边三角形重难点突破
知等边(一) 角度计算
类型一 直接求
1.如图,等边△ABC 的边长为2,P 为△ABC 内一点,连接 BP,PC,延长 PC 到点 D,使CD=PC.延长 BC 到点 E,使CE=BC,连接DE,AE.若BP⊥AC,则∠AED 的度数为 .
类型二 整体求
2.如图,设△ABC 和△CDE 都是等边三角形,若∠AEB=70°,则∠EBD 的度数是( )
A.115° B.120° C.125° D.130°
类型三 模型求
3.如图,在等边△ABC中,点D,E 分别在边AB,AC上,AD=CE,连接CD,BE,交于点M,作两角∠ADC,∠ABE 的角平分线,交于点 N,则∠N 的度数为 .
4.如图,已知等边△ABC 和等边△BPE,点 P 在BC 的延长线上,EC 的延长线交AP 于点M,连接BM.若∠ABM=40°,则∠APB 的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
知等边(二) 长度计算
类型一 构X型全等
1.如图,AB∥CD,∠BCD=60°,E 为AD 的中点,若AB=2,BC=6,CD=8,则BE的长为 .
2.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,P 为AC 的中点,D 为AB 边上一点,且AD=PD,延长DP 交BC 的延长线于点E,若AB=2,则PE 的长为 .
类型二 构对称全等
3.如图,在四边形ABCD 中,AB=AD=12,BC=DC,∠A=60°,点E在AD上,连接BD,CE 相交于点F,若CE∥AB,CE=9,则CF 的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
类型三 构手拉手全等
4.如图,△ABC 为等边三角形,点 D 在边AB 上,点 E 是边AC 上的一个动点(不与点 A,点C 重合),以 DE 为边作等边△DEF,连接CF.若△ABC 的边长为5,EF=FC.求 AD 的长.
知等边(三) 设参导角
类型一 用参补短证全等
1.如图，已知等边 将线段 CA 绕点 C 逆时针旋转 得到线段CD,线段CD 与AB 交于点 E,射线AD 与射线CB 交于点 F.
(1)①依题意补全图形；
②直接写出.∠AFC的大小为 (用含α的式子表示)；
(2)试判断线段 BE，CE，CF 之间的数量关系，并证明你的结论.
类型二 设参截长证全等
2.如图，已知 D 是等边三角形ABC 中AB 边上一点，将CB 沿直线CD 翻折得到CE,连接EA 并延长交直线CD 于点 F.
(1)若 直接写出 的度数；
(2)若 求AE 的长;
(3)连接BF，当点D 在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF 之间的数量关系，并证明.
突破 21 知等边(一) 角度计算
1.60° 解:延长 AC 交 ED 的延长线于点 F.
∵CD=PC,∠DCE=∠PCB,CE=BC,
∴△DEC≌△PBC,
∴∠DEC=∠PBC,
∴BP∥DE.
∵△ABC 为等边三角形,
∴BC=AC,∠ACB=60°.
又∵CE=BC,
∴AC=CE,
∴∠CAE=∠CEA.
∵∠CAE+∠CEA=∠ACB=60°,
∴∠CAE=∠CEA=30°.
∵BP∥DE,
∵BP⊥AC,
∴DE⊥AC,即∠F=90°.
又∵∠ECF=∠ACB=60°,
∴∠CED=90°-∠ECF=30°,
∴∠AED=∠CEA+∠CED=30°+30°=60°.
2. D 解:∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴AC=AB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,
∴ ∠ACE + ∠ECB = ∠DCB +∠ECB,
∴∠ACE=∠DCB,
∴△ACE≌△BCD,
∴∠AEC=∠BDC.
∵∠AEB=70°,
即∠AEC+∠CEB=70°,
∴∠BDC+∠CEB=70°.
∵∠ECD=60°,
∴∠BED+∠EDB=180°-∠ECD
-∠CEB --∠CDB = 180°- 70°-60°=50°,
∴∠EBD=180°-50°=130°.
故选 D.
3.30° 解:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠A=∠BCE=60°,BC=AB.
∵AD=CE,
∴△ACD≌△CBE
∴∠ACD=∠CBE,
∴∠DMB = ∠CBE + ∠BCM =∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°.
∵ DN 平 分 ∠ADM, NB 平 分∠DBM,
30°.
4. A 解: ∵ 等 边 △ABC 和 等 边△BPE,
∴AB = BC,∠ABP = ∠CBE =60°,PB=PE,
∴△APB≌△CEB,
∴∠APB=∠CEB.
∵∠MCP=∠BCE,
∴∠PME=∠PBE=60°.
过点 B 分别作 BN⊥AM 于点 N,BF⊥ME 于点F,
∴∠BNP=∠BFE=90°,
∴△BNP≌△BFE,
∴BN=BF,
∴BM平分∠AME,
∵∠ABM=40°,
∴∠BAP=80°,
∴∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=40°.故选 A.
突破22 知等边(二) 长度计算
1.3 解:延长BE 交CD 点 F.
∵AB∥CD,
∴∠A=∠D.
∵AE=DE,∠AEB=∠DEF,
∴△ABE≌△DFE,
∴DF=AB=2,BE=EF.
∵CD=8,
∴CF=CD-DF=6.
∵CF=CB=6,∠C=60°,
∴△BCF 为等边三角形,
∴BF=BC=6,
2.1 解:过点 C 作CF∥AB,交 DE 于点 F,则∠ACF=∠A=30°.
∵AP=PC,∠APD=∠CPF,
∴△APD≌△CPF,
∴PF=FC=AD=DP,
∴∠FPC=∠PCF=30°.
∵∠PCE=90°,∠B=90°-∠A=
∴△DBE 与△FCE 均为等边三角形，
∴FE=FC=PF=DP=AD,DB=DE=DP+PF+FE=3AD,
∴AB=AD+DB=4AD=2,2AD=1,
∴PE=PF+FE=2AD=1.
3. C 解:连接AC.
∵AB=AD=12,
BC=DC,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠CAD.
∵CE∥AB,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠CAD=∠ACE,
∴EA=EC=9,
∴ED=12-9=3.
∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD 是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵CE∥AB,
∴∠EFD=∠ABD=60°,∠FED=∠BAD=60°,
∴△EFD 是等边三角形,
∴EF=ED=3,
∴CF=CE-EF=9-3=6.
故选 C.
4.解:过点 E 作 EG∥AB 交 BC 于点G,连接 DG.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠EGC=∠ABC=∠ACB=60°,
∴△EGC 为等边三角形.
∵△DEF 为等边三角形,
∴ED=EF,EG=EC=CG,∠DEF=∠GEC=60°,
∴∠DEG=∠FEC,
∴△DEG≌△FEC,
∴ED=EF=DG=FC.
∵EC=CG,
∴DC 垂直平分EG.
∵EG∥AB,
∴DC⊥AB,
突破 23 知等边(三) 设参导角
1.解：(1)①补全图形，如图所示；
②∵△ABC 是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°.
∵线段CA 绕点 C 逆时针旋转α得到线段CD，
∴CA=CD,∠ACD=α,
∴∠AFC=180°-∠CAD-∠ACB
(2)线段 BE,CE,CF 之间的数量关系为CF=BE+CE.
理由如下：延长EA 至点G，使EG=CE,连接CG,
∴∠G=∠ECG.
∵∠CEB=∠G+∠ECG=2∠G=
又
∴∠G=∠AFC.
在△CBG 和△CAF 中,
∠G=∠AFC,
∠CBG=∠ACF=60°,BC=AC,
∴△CBG≌△CAF(AAS),
∴CF=BG=BE+EG=BE+CE.
2.解:(1)∠CFE 的度数为 60°;
(2)设∠BCF=x,
则∠ECF=x,∠ACF=60°-x,
∠ACE=2x-60°.
∵BC=AC=CE,
60°.
在 CF 上截取 FH,使 FH=EF,连接EH,BF,
∴△EFH 是等边三角形,
∴EH=EF=BF,∠EHF=60°,
∴∠EHC=120°.
∵∠BFC=∠EFC=60°,
∴∠BFE=∠EHC=120°.
=x,
∴∠FAB=∠HCE,
∴△ABF≌△CEH,
∴CH=AF=4,
∴EF=FH=CF-CH=6,
∴AE=EF-AF=2;
(3)AF+BF=CF.理由:由(2)可得,点 D 在运动过程中,∠CFE=60°是定值,
△ABF≌△CEH,CH=AF,BF=EF=FH,
∴CF=FH+CH=BF+AF.

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