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考点8 计数原理与概率统计
——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编
一、选择题
1．[2022 新高考Ⅰ卷]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
2．[2020年 新高考Ⅱ卷]要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A.2种 B.3种 C.6种 D.8种
3．[2023年 新课标Ⅱ卷]某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( ).
A.种 B.种 C.种 D.种
4．[2022年 新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
5．[2021 新高考Ⅰ卷]有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
6．[2020年 新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
7．[2021年 新高考Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是( )
A.越小，该物理量一次测量结果落在内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率是0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在内的概率与落在内的概率相等
8．[2024年 新课标Ⅱ卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并部分整理如下表所示.
亩产量
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论正确的是( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于
B.100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过
C.100块稻田亩产量的极差介于到之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于到之间
二、多项选择题
9．[2024年 新课标Ⅰ卷]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）( )
A. B. C. D.
10．[2023年 新课标Ⅰ卷]有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则( )
A.，，，的平均数等于，，…，的平均数
B.，，，的中位数等于，，…，的中位数
C.，，，的标准差不小于，，…，的标准差
D.，，，的极差不大于，，…，的极差
11．[2023年 新课标Ⅱ卷]在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）( )
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D.当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题
12．[2022年 新高考Ⅱ卷]已知随机变量X服从正态分布，且，则__________.
13．[2022年 新高考Ⅰ卷]的展开式中的系数为________（用数字作答）.
14．[2023年 新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）.
15．[2024年 新课标Ⅰ卷]甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为___________.
16．[2024年 新课标Ⅱ卷]在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是__________.
四、解答题
17．[2023年 新课标Ⅱ卷]某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率时，求临界值c和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.
18．[2022年 新高考Ⅱ卷]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
19．[2021年 新高考Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列.
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
20.[2022年 新高考Ⅰ卷]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值.
附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
21．[2023年 新课标Ⅰ卷]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率.
（2）求第i次投篮的人是甲的概率.
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则，记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求.
22．[2024年 新课标Ⅱ卷]某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立.
（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
（2）假设.
（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
参考答案
1．答案：D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，，，，，，共7种，故所求概率.故选D.
2．答案：C
解析：方法共有种.故选C.
3．答案：D
解析：根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取人，根据组合公式和分步计数原理，则不同的抽样结果共有种.故选D.
4．答案：B
解析：法一：丙和丁相邻共有种站法，甲站在两端且丙和丁相邻共有种站法，所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有种站法.
法二：因为丙和丁相邻，所以先把丙和丁捆绑，看成一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有种排列方式；又甲不站在两端，所以甲只需在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙和丁两人的顺序可交换，有2种排列方式.故共有种不同的排列方式，故选B.
5．答案：B
解析：本题考查独立事件的概念.由于有放回的取球，则，，，，，，，，其中，故甲与丁相互独立.
6．答案：C
解析：第一步：安排甲场馆的志愿者，则甲场馆的安排方法有种，第二步：安排乙场馆的志愿者，则乙场馆的安排方法有种，第三步：安排丙场馆的志愿者，则丙场馆的安排方法有种.所以共有种不同的安排方法.故选C.
7．答案：D
解析：对于A，越小，代表正态曲线越陡，故A正确；
对于B，测量结果服从正态分布，则正态曲线的对称轴为直线，故B正确；
对于C，结合正态曲线可知与关于对称轴（直线）对称，故C正确；
对于D，结合正态曲线可知，区间与不关于对称轴（直线）对称，故D错误.故选D.
8．答案：C
解析：对于A，因为前3组的频率之和，前4组的频率之和，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为，故A不正确；
对于B，100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例为，故B不正确；
对于C，因为，，所以100块稻田亩产量的极差介于至之间，故C正确；
对于D，100块稻田亩产量的平均值为，故D不正确.故选C.
9．答案：BC
解析：由题意可知，，所以，，所以
，所以A错误，B正确.因为，所以，，所以，所以，（另解：）所以C正确，D错误.故选BC.
10．答案：BD
解析：对于选项A：，不确定，，，…，的平均数不确定，如1，2，2，2，2，4的平均数不等于2，2，2，2的平均数，故A错误；
对于选项B：不妨设，则，，，的中位数为，，，，，，的中位数为，故B正确；
对于选项C：，，，，，的波动性不小于，，，的波动性，，，，的标准差不大于，，，，，的标准差，故C错误；
对于选项D：不妨设，则，，即，，，的极差不大于，，，，，的极差，故D正确.故选BD.
11．答案：ABD
解析：对于A选项，采用单次传输方案，依次发送1，0，1，依次收到1，0，1的概率为，所以A选项正确.
对于B选项，采用三次传输方案，发送1，依次收到1，0，1的概率为，所以B选项正确.
对于C选项，采用三次传输方案，发送1，依次收到1，1，1（即译码为1）的概率为；发送1，依次收到1，0，1（即译码为1），0，1，1（即译码为1），1，1，0（即译码为1）的概率为，于是译码为1的概率为，所以C选项不正确.
对于D选项，采用三次传输方案，发送0，依次收到0，0，0（即译码为0）的概率为；发送0，依次收到0，0，1（即译码为0），0，1，0（即译码为0），1，0，0（即译码为0）的概率为，于是译码为0的概率为.采用单次传输方案，发送0，译码为0的概率为.依题意，有，，即，.令函数，，则在上恒成立，所以D选项正确.故选ABD.
12．答案：0.14
解析：随机变量X的均值为2，所以由对称性，可得，因此.
13．答案：-28
解析：展开式的通项，.令，得，令，得，所以的展开式中的系数为.
14．答案：64
解析：法一：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有（种）.
法二：若学生从这8门课中选修2门课，则有（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有（种）.
15．答案：
解析：因为甲出卡片1一定输，出其他卡片有可能赢，所以四轮比赛后，甲的总得分最多为3.
若甲的总得分为3，则甲出卡片3，5，7时都赢，所以只有1种组合：，，，.
若甲的总得分为2，有以下三类情况：
第一类，当甲出卡片3和5时赢，只有1种组合，为，，，；
第二类，当甲出卡片3和7时赢，有，，，或，，，或，，，，共3种组合；
第三类，当甲出卡片5和7时赢，有，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，，共7种组合.
综上，甲的总得分不小于2共有12种组合，而所有不同的组合共有（种），所以甲的总得分不小于2的概率.
16．答案：24；112
解析：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法.
由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为.
先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为.
17．答案：（1）；
（2）；0.02
解析：（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，
所以，所以，解得，
.
（2）当时，
；
当时，
，
故
所以在区间的最小值为0.02.
18．答案：（1）47.9岁
（2）0.89
（3）0.0014
解析：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄为
岁.
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率.
（3）设事件A：此人患这种疾病，事件B：此人年龄位于区间，
则由题意知，，
所以若此人年龄位于，
则此人患这种疾病的概率.
19．答案：（1）X的分布列见解析
（2）小明应选择先回答B类问题
解析：（1）由题知，X的所有可能取值为0，20，100，
则，，，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）小明应选择先回答B类问题，理由如下：
由（1）知，.
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，
则，，，
所以，
所以小明应选择先回答B类问题.
20、
（1）答案：有
解析：.
因为，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）答案：（ⅰ）证明见解析
（ⅱ）6
解析：（ⅰ）
.
（ⅱ）由调查数据得，病例组中卫生习惯不够良好的频率为，
对照组中卫生习惯不够良好的频率为，
所以的估计值为0.4，的估计值为0.1.
的估计值为0.6，的估计值为0.9，
利用（ⅰ）的结果可得R的估计值为.
21．答案：（1）0.6
（2）
（3）
解析：（1）记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则，
所以
.
（2）设第i次投篮的人是甲的概率为，
由题意可知，，，
即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
（3）设第i次投篮时甲投篮的次数为，则的可能取值为0或1，
当时，表示第i次投篮的人是乙，当时，表示第i次投篮的人是甲，
所以，，所以.
，
则，
由（2）知，，
所以
.
22．答案：（1）
（2）（ⅰ）甲
（ⅱ）甲
解析：（1）设“甲、乙所在队进入第二阶段”，则.
设“乙在第二阶段至少得5分”，则.
设“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，
则.
（2）（ⅰ）设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为，
则.
设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为，
则.
则，
由，得，，
所以，即.
故应该由甲参加第一阶段比赛.
（ⅱ）若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15.
，
，
，
，
所以
.
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15.
同理，可得.
，
由，得，，
所以，即.
故应该由甲参加第一阶段比赛.

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