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2024-2025学年海南高二年级阶段性教学检测（一）
数学
1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．
2．考查范围：选择性必修第一册第一章至第二章2.3．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．两条平行直线与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在三棱锥中，点D，E满足，．则（ ）
A． B．
C． D．
5．直线经过两直线，的交点，且与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知空间直角坐标系中，，，，点是空间中任意一点，若A，B，C，M四点共面，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．6
8．已知直线不过第二象限，则原点到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知直线，，则下列结论正确的是（ ）
A．过定点 B．在轴上的截距为1
C．若，则 D．若，则
10．已知直三棱柱中，，，，的中点为，直线AB与所成的角为，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知棱长为2的正方体中，点是满足的动点，点为该正方体外接球的球心，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，平面
B．的最小值为
C．，三棱锥的体积为定值
D．当时，三棱锥，的体积之比为3
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．点关于直线对称的点的坐标为___________．
13．已知，，为三个不同的平面，为直线，，，与夹角的余弦值为，与所成角的正弦值为，则与夹角的余弦值为___________．
14．在平面直角坐标系中，动点P，Q关于直线对称（在上方），且，，，则的最小值为___________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解荅应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）
如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求：
（I）剩余部分几何体的体积；
（II）剩余部分几何体的表面积．
16．（15分）
在中，，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且．
（I）求直线AD的方程和AD的长；
（II）求角B的平分线与直线的交点坐标．
17．（15分）
在平面直角坐标系中，点，，直线．
（I）当点A到直线l的距离最大时，求k的值：
（II）在（I）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程．
18. （17 分）
如图 1， 四边形 是矩形，四边形 是等腰梯形，，，．将梯形沿AD折起，使平面平而，连接BF，CF，CE，得到空间几何体 ，如图2所示．
（I）求的大小；
（II）求直线AB到平面的距离；
（III）求直线BF与平面所成角的正弦值．
19．（17分）
在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．此方程称为平面的点法式方理，整理变形可得，此方程称为平面的一般式方程．已知集合，，．
（I）指出集合M和N表示的图形；
（II）求过三点，，的平面的点法式方程和一般式方程；
（III）设R中所有点构成的几何体为K，求K中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值．
2024—2025学年海南高二年级阶段性教学检测（一）
数学·答案
1．C 2．D 3．D 4．A 5．C 6．A
7．B 8．B 9．AD 10．AB 11．ACD
12． 13． 14．
15．解：（I）底面圆的半径为．
设圆柱高为，则，解得．
所以剩余几何体的体积为．
（II）剩余部分几何体的表面积为．
16．解：（I）设，因为边BC的中点在轴上，所以，解得．
因为点在轴上，且，所以，解得．
所以，所以．
直线AD的方程为，即．．
（II）设角的平分线与直线的交点为，则易知，．
直线BC的方程为，即．
直线BA的方程为，即．
由到两直线，的距离相等，可得，即．
即，解得或（舍）．
所以角的平分线与直线的交点坐标为．
17．解：（I）当直线时，点到直线的距离最大，
因为直线OA的斜率为，所以．
（II）当直线轴时，易得，，此时的面积为．
当直线的斜率存在时，设，，，则，
联立解得，．
所以的面积；
当时，等号成立．
综上，的面积的最小值为24，此时直线．
18．解：以为坐标原点，，的方向分别为轴轴的正方向，以过点垂直于平面且向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
所以，，，，．
（I），所以．
（II）因为，所以平面，
所以直线AB到平面的距离即为点到平面的距离．
设平面的法向量为，则
令，得．
所以点到平面的距离为．
（III）设直线BF与平面所成的角为，则，
所以直线BF与平面所成角的正弦值为．
19．解：（I）集合表示点集，表示平面．
因为，所以，
所以集合表示球心在原点，半径为1的球面．
（II），，
设是平面的法向量，则
取，得，，
所以平面的一个法向量为．
所以过点且一个法向量为的点法式方程为，
整理可得一般式方程为．
（III）对于，当x，y，时，可得，
结合（II）中可知方程表示经过三点（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）的平面的一部分（在第一卦限的部分）．
由对称性可知表示以，，，，，，这六个点为顶点的正八面体内所有的点．
设平面的法向量为，由，，得取，则，，故平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，则．故中有公共棱的相邻两个面的夹角的余弦值为．

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