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浙教版九年级上册期中学霸提优金考卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在抛掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第100次抛掷时，反面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．不确定
2．抛物线 的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（-2，-1），则必在该图象上的点还有（　　）
A．（2，-1） B．（2，1） C．（-1，-2） D．（-2，1）
5．如图，在 中， ， ，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形 的位置，使得点 、 、 在一条直线上，那么旋转角等于（　　）
A．145° B．130° C．135° D．125°
6．对于函数，下列结论错误的是（　　）
A．图象顶点是（－2，5） B．图象开口向下
C．图象关于直线x=－2对称 D．函数最小值为5
7．求二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，与 轴的交点为 、 ，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；其中，正确的结论有（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到AEF．则AE+PB+PC的最小值为（　　）
A．2 B．8 C．5 D．6
9．如图，在正方形ABCD中放入两个相同小正方形纸片，重叠部分记为①，点E，F的位置如图所示，若D，F，E三点共线，则正方形ABCD与①的面积比为（　　）
A．9+4 B．2 C．3 D．9
10．如图，已知 ，它们依次交直线 、 于点 、 、 和点 、 、 ，如果 ， ，那么 等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．有四张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别有数： ， ， ， ．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数比 小的概率是　 　．
12．抛物线y=ax2+bx﹣3经过点（1，1），则代数式a+b的值为　 　
13．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　 　．
14．已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是　 　．
x … -1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
15．如图，在边长为正方形 中，把边绕点逆时针旋转60°，得到线段，连接并延长交于，连接，则⊿的面积为 　 　．
16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0，②a+c＞0，③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该图象上，则y1＜y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0．其中正确的结论是　 　（填入正确结论的序号）。
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．已知:二次函数 的图象经过点 .
（1）求二次函数的解析式，
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标.
18．如图，已知二次函数y＝﹣ +bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC.以BC为直径画圆O分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：BD＝CE；
（2）当△ABC中，∠B＝70°且BC＝12时，求 的长.
20．如图，A，B，C是⊙O上的点，其中，过点B画BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD．
（2）若AB＝，CD＝2，求的长和图中涂色部分的面积．
21．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为，记旋转角为．
（1）如图①，若，求的长；
（2）如图②，若，求点的坐标；
（3）如图③，为上一点，且，连接，在绕点逆时针旋转一周的过程中，求的面积的最大值和最小值（直接写出结果即可）．
22．已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a为常数)．
（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式，：
（2）若a>0，当x<时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围，
（3）若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
23．某超市销售一种文具，进价为5元/件.售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为 元/件（ ，且 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为 元.
（1）求 与 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过 ，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润.
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浙教版九年级上册期中学霸提优金考卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在抛掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第100次抛掷时，反面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
∴第100次再抛这枚硬币时，反面向上的概率是： ．
故答案为：B．
【分析】根据抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，即可得到答案。
2．抛物线 的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：对称轴为直线： ，
其中， ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ， ，再计算求解即可。
3．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下．
开关一开关二 S1 S2 S3
S1 　 S2，S1 S3，S1
S2 S1，S2 　 S3，S2
S3 S1，S3 S2，S3 　
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故答案为：B．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
4．若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象经过点（-2，-1），则必在该图象上的点还有（　　）
A．（2，-1） B．（2，1） C．（-1，-2） D．（-2，1）
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（-2，-1）关于对称轴的对称点为（2，-1），
∴点（2，-1）必在该图象上，
故答案为：A.
【分析】由二次函数的解析式可得对称轴为y轴，求出点（-2，-1）关于y轴的对称点，据此判断.
5．如图，在 中， ， ，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形 的位置，使得点 、 、 在一条直线上，那么旋转角等于（　　）
A．145° B．130° C．135° D．125°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=40°，
∴∠BAC=50°，
由旋转的性质可知，∠B1AC1=∠BAC=50°，
∴∠BAC1=80°，
∴∠CAC1=130°，
故答案为：B．
【分析】根据旋转的性质可得∠B1AC1=∠BAC=50°，再利用平角求出∠BAC1=80°，最后根据旋转角的定义可得∠CAC1=∠BAC+∠BAC1=130°。
6．对于函数，下列结论错误的是（　　）
A．图象顶点是（－2，5） B．图象开口向下
C．图象关于直线x=－2对称 D．函数最小值为5
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：对于函数的顶点坐标为，故A选项正确；因为所以函数开口向下，故B选项正确；函数的对称轴直线方程为：故C选项正确；函数的最大值为5，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的顶点式顶点坐标开口方向由a决定，开口向下，由最大值k，开口向上，有最小值k，对称轴直线方程：逐项进行判断即可求解.
7．求二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线 ，与 轴的交点为 、 ，其中 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；其中，正确的结论有（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线 ，∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，
所以①不符合题意；
∵抛物线 与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为 ，由于抛物线与x轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜ ＜-2，所以②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 ，且c＜-1，∴当 时， ， 所以③符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，∴当 时， ，
当 代入 得： ，
∵ ，∴ ，即 ，所以④不符合题意；
∵对称轴为直线 ，∴ ，
∵由于 时， ，∴ 0，所以 0，解得 ，
根据图象得 ，∴ ，所以⑤符合题意.
所以②③⑤符合题意，
故答案为：C．
【分析】①对称轴再y轴的左侧，则ab同号，c＜0，即可求解；②对称轴为直线 ，即可求解；③对称轴为直线 ，且c＜-1，即可求解；开口向上，对称轴为直线 ， ，∴ ，即 ，所以④不符合题意； 时， ， ，所以⑤符合题意.
8．如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到AEF．则AE+PB+PC的最小值为（　　）
A．2 B．8 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接PE，BF，过B作AF垂线交FA延长线于G，
∵△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，
∴，
∴△APE为等边三角形，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】连接PE，BF，过B作AF垂线交FA延长线于G，由旋转的性质可得△APE为等边三角形，可得AE=PE，即得，当B、P、E、F共线时AE+PB+PC的有最小值，最小值为BF的长，利用勾股定理求解即可.
9．如图，在正方形ABCD中放入两个相同小正方形纸片，重叠部分记为①，点E，F的位置如图所示，若D，F，E三点共线，则正方形ABCD与①的面积比为（　　）
A．9+4 B．2 C．3 D．9
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD和四边形AMHE、四边形KFGC都是正方形
∴四边形MPKD和四边形EBGQ也是正方形
延长GF与AD边交于点R，则
设AM=a，MD=b
则：RF=DK=b，AD=AM+MD=a+b，AE=AM=a，RD=a
∵
∴
又∵
∴
即：
∴
∴
即： 或 （舍）
由题意知，图形①也是正方形，边长为
∵ ，
∴
即
故答案为：A.
【分析】可求四边形MPKD和四边形EBGQ也是正方形，延长GF与AD边交于点R，则FR∥AE ，设AM=a，MD=b，则RF=DK=b，AD=AM+MD=a+b，AE=AM=a，RD=a，证△RDF∽△ADE，
可得，据此求出，由题意知图形①也是正方形，边长为 ，分别求出正方形ABCD与①的面积，然后求出比值即可.
10．如图，已知 ，它们依次交直线 、 于点 、 、 和点 、 、 ，如果 ， ，那么 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得：CE= ，
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例，求出BC=3CE，继而利用BC+CE=BE=10，计算得到CE的长度即可。
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．有四张背面完全相同的纸质卡片，其正面分别有数： ， ， ， ．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则其正面的数比 小的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】根据题意可知，共有4张卡片，比 小的数有 有2个
故抽到正面的数比 小的概率为
故答案为：
【分析】从四张卡片中随机的抽出一张，共有共有4种等可能的结果，卡片上的四个数中比小的数只有，两个，根据概率公式即可求出抽到正面的数比小的概率。
12．抛物线y=ax2+bx﹣3经过点（1，1），则代数式a+b的值为　 　
【答案】4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx-3（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b-3=1，
∴a+b=4.
【分析】由题意将点（1，1）代入解析式即可求解。
13．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是　 　．
【答案】0或1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；
②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：△=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：0或1．
【分析】需要分类讨论：
①若m=0，则函数为一次函数；
②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．
14．已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是　 　．
x … -1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
【答案】（3，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x==1；
点（-1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图像与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据表格中的数据可得点（-1，0）关于对称轴对称点为（3，0），从而得解。
15．如图，在边长为正方形 中，把边绕点逆时针旋转60°，得到线段，连接并延长交于，连接，则⊿的面积为 　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，
作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，
则BG=GC，AB∥MG∥CD，
∴AM=MN，
∵MH⊥CD，∠D=90°，
∴MH∥AD，
∴NH=HD，
由题意得，∠MCD=30°，
∴，
∴，
∴，
∴△MNC的面积，
故答案为：．
【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，利用旋转的性质易证△BMC是等边三角形，得MC=BC=a，利用等边三角形三线合一的性质可证得BG=CG，AB∥MG∥CD，根据平行线分线段成比例定理得AM=MN，NH=DH，根据角的和差得∠MCD=30°，利用勾股定理表示出MH，DH的长；再根据CN=CH-NH，可表示出CN的长，然后利用三角形的面积公式可求出△NMC的面积.
16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0，②a+c＞0，③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该图象上，则y1＜y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0．其中正确的结论是　 　（填入正确结论的序号）。
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵对称轴x=-=1，∴b=-2a>0，∵图象与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，故 ① 错误；当x=1+时，y=a(1+)2-2a(1+)+c=a+c，∵当x=1+时，不能确定y的值，即不能确定a+c的值，故 ② 错误；观察图象可知，离对称轴越远，函数值越小，∵-1到1的距离大于2到1的距离，∴y1＜y2， 故 ③ 正确；设x10，m-x1≥0，m-x2<0，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0 ，若m≥x2，则p<0，m-x1>0，m-x2≥0，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0 ，故 ④ 正确；
综上，正确是 ③④ .
故答案为 ③④ .
【分析】 ① 根据抛物线的开口方向判断a的符号，结合对称轴x=1判断b的符号，根据图象与y轴的交点在x轴位置判断c的符号，从而可判abc的符号； ② 当x=1+时，y=a+c，由于当x=1+时，不能确定y的值，即不能确定a+c的值； ③观察图象可知，离对称轴越远，函数值越小，再比较-1到1的距离与2到1的距离的大小，即可作答； ④ 设x1三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．已知:二次函数 的图象经过点 .
（1）求二次函数的解析式，
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标.
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，解得：b=2，
∴二次函数的解析式： ；
（2）解：令y=0，则 ，
解得： ，
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标是：（-3,0），（1,0）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)把点A的坐标代入二次函数 即可求出b的值，从而得出抛物线的解析式；
(2)令y=0，则 ，求出方程的解，即可得到答案.
18．如图，已知二次函数y＝﹣ +bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y＝﹣ +bx+c，
得：
解得 ，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣ +4x﹣6.
（2）解：∵该抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝4，
∴点C的坐标为（4，0），
∴AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝2，
∴S△ABC＝ ×AC×OB＝ ×2×6＝6.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入 二次函数y＝﹣ +bx+c 可求出b、c，据此可得二次函数的解析式；
（2）令二次函数解析式中的y=0，求出x，据此可得C点的坐标，进而求出AC，然后根据三角形的面积公式进行计算.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC.以BC为直径画圆O分别交AB，AC于点D，E.
（1）求证：BD＝CE；
（2）当△ABC中，∠B＝70°且BC＝12时，求 的长.
【答案】（1）证明：如图1，连接CD和BE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠CBE，
∴ ＝ ，
∴BD＝CE.
（2）解：如图2，连接OD、OE，
∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠DOC＝140°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝70°，
∴∠COE＝40°，
∴∠DOE＝100°，
∵BC＝12，
∴⊙O的半径为6，
∴ 的长＝ ＝ π.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1） 连接CD和BE， 由直径所对的圆周角是直角，可得∠BDC＝∠CEB＝90°， 由AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，利用三角形内角和求出∠BCD＝∠CBE，从而得出 ＝ ，继而得出BD＝CE.
（2）连接OD、OE，先求出∠DOE的度数，然后利用弧长公式求解即可.
20．如图，A，B，C是⊙O上的点，其中，过点B画BD⊥OC于点D．
（1）求证：AB＝2BD．
（2）若AB＝，CD＝2，求的长和图中涂色部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，延长BD交圆与E，
∵OC⊥BD，
∴BE＝2BD，弧BE＝2弧BC
∵弧AB＝2弧BC
∴弧AB＝弧BE
∴AB＝BE＝2BD
（2）解：如图，连接OB，
∵AB＝，
∴BD＝，
设半径为r，
∴OB=r，
∵CD＝2，
∴OD＝r－2
∴，得r＝4，
∴∠BOD＝60°，
∴弧BC的长=，
涂色部分的面积= ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）延长BD交圆于E，由垂径定理得BE＝2BD，，由已知条件知 ，则，据此证明；
（2）连接OB，根据AB的值可得BD，设半径为r，则OD＝r-2，利用勾股定理可得r的值，然后根据涂色部分的面积=S扇形BOC-S△BDO及弧长公式进行计算.
21．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为，记旋转角为．
（1）如图①，若，求的长；
（2）如图②，若，求点的坐标；
（3）如图③，为上一点，且，连接，在绕点逆时针旋转一周的过程中，求的面积的最大值和最小值（直接写出结果即可）．
【答案】（1）解：如图①中，
图①
，
，
由旋转的性质可知，，
，
；
（2）解：如图②中，过点作于点．
图②
在中，，
，
；
（3）面积的最大值，最小值为
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：(3)存在．
理由：如图③-1中，当点落在的延长线上时，的面积最大．
由题意，，
，
，
，
，
的面积的最大值．
如图③-2中，当点落在上时，的面积最小，最小值为．
【分析】（1）如图①，根据旋转的性质得 和勾股定理即可求出。
(2)如图②中，过点O 作O H⊥OB于点H，根据三角函数，求出O H，OH。
( 3)如图③-1，当点O 落在AB的延长线时，△PO A的面积最大，如图③-2中，当点O 落在AB上时，△PO A 的面积最小，分别求解即可。
22．已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a为常数)．
（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式，：
（2）若a>0，当x<时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围，
（3）若二次函数在-3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
【答案】（1）解：把(2，3)代入y＝ax2＋4ax＋3a，得3＝4a＋8a＋3a，
解得： ，
∴函数y的表达式y＝
（2）解：∵抛物线得对称轴为直线x＝ ，a＞0，
∴抛物线开口向上，当x≤ 2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵x＜ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴ ，即m≤ 6
（3）解：由题意得：y＝a(x＋2)2 a，
∵二次函数在 3≤x≤1时有最大值3
①当a＞0 时，开口向上
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴ ；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝ 2时，y有最大值 a，
∴ a＝3，
∴a＝ 3，
综上， 或a＝ 3．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点(2，3)代入二次函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到函数解析式.
（2）利用二次函数解析式可得到其对称轴，利用二次函数的性质可知抛物线开口向上，当x≤ 2时，二次函数y随x的增大而减小，结合已知条件：x＜ 时，此二次函数y随着x的增大而减小，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（3）将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数在 3≤x≤1时有最大值3，分情况讨论：当a＞0 时，开口向上，当x＝1时，y有最大值8a，由此可求出a的值；当a＜0 时，开口向下，当x＝ 2时，y有最大值 a，即可求出a的值，综上所述可得到符合题意的a的值.
23．某超市销售一种文具，进价为5元/件.售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为 元/件（ ，且 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为 元.
（1）求 与 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过 ，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润.
【答案】（1）
故 与 的函数关系式为：
（2）要使当天利润不低于240元，则 ，
∴
解得，
∵ ，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为
（3）∵每件文具利润不超过
∴ ，得
∴文具的销售单价为 ，
由（1）得
∵对称轴为
∴ 在对称轴的左侧，且 随着 的增大而增大
∴当 时，取得最大值，此时
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，（2）由（1）的关系式，即 ，结合二次函数的性质即可求 的取值范围（3）由题意可知，利润不超过 即为利润率＝（售价－进价）÷售价，即可求得售价的范围.再结合二次函数的性质，即可求.
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