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专题02 整式及其运算
理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念.
理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算.
会推导乘法公式（完全平方公式和平方差公式），了解公式的几何意义，能够利用公式进行乘法运算.
了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式.
代数式是由 和 经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的 ，或含有 数学表达式称为代数式。
注意：①不包括等于号、不等号（≠、≤、≥、<、>、≮、≯）、约等号≈。 ②可以有绝对值
由 与 的积或 与 的积所组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式，如、1、等。
单项式的系数
①单项式中的 叫做单项式的系数。如3x的系数是3。
②如果一个单项式只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为-1，如系数为1，系数为-1。
③如果只是一个数字，系数是 。如5的系数还是5。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母 叫做这个单项式的次数。
由有限个单项式的 组成的代数式叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的 ，其中不含字母的项叫做 。一个多项式合并同类项后有几项就叫做几项式。
多项式中，次数 的次数，就是这个多项式的次数。
和 统称为整式。
如果两个单项式，他们所含的 ，并且相同字母的 也分别相同，那么就称这两个单项式为 。
合并同类项：同类项的 ，所得的结果作为 ，字母和字母的 。
整式的加减：单项式加减即 ，也就是合并前各同类项系数的和，字母不变。同时还要运用到去括号法则和添括号法则
幂的运算
①同底数幂相乘，底数不变指数 ，符号表示：
②同底数幂相除，底数不变指数 ，符号表示：
③幂的乘方，底数不变指数相乘，符号表示
④积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，符号表示：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
常用乘法公式
①完全平方和（差）：
②平方差公式：
③立方和公式：
④立方差公式：
把一个 化为几个 的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
如果一个多项式的各项有 ，可以把这个 提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做 。
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做 。
十字相乘方法：十字左边相乘等于 ，右边相乘等于 ，交叉相乘再相加等于一次项。
因式分解步骤
①如果多项式的首项为负，应先提取负号； 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
②如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
③如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
④如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
【经典例题1】（2024·湖北武汉·模拟预测）下列各式：1，，，，，，，其中代数式共有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练1-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）下列各式中，代数式的个数是（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥a ⑦ ⑧．
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练1-2】（2024·山东淄博·模拟预测）以下列各式中：①，②，③，④，⑤a，⑥0．是代数式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1-3】下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【经典例题2】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列代数式书写正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（2023·广东·模拟预测）下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（2023·河北·模拟预测）式子可以化为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】下列各式中符合代数式书写要求的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．个 B．个 C．个 D．个
【经典例题3】（2024·河北沧州·二模）对“”解释错误的是（ ）
A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8
【变式训练3-1】（2024·河南信阳·一模）某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折
C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10%
【变式训练3-2】（2023·河北承德·一模）某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（ ）
A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
【变式训练3-3】（2021·河北承德·一模）下列关于代数式“”的说法,正确的是（ ）
A．表示2个相加 B．代数式的值比大
C．代数式的值比2大 D．代数式的值随的增大而减小
【经典例题4】（2024·湖南·模拟预测）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有 颗．
【变式训练4-1】（2024·湖南·模拟预测）有一组数，按以下规律排列∶则这组数的第个数为 ．
【变式训练4-2】（2023·贵州黔东南·一模）已知，，，，，…，按此规律，请用含的代数式表示 ．
【变式训练4-3】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…．
(1)图案5中“☆”的个数为 ；
(2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示）
(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值．
【经典例题5】（2024·江西·模拟预测）若，则代数式的值是 ．
【变式训练5-1】（2024·甘肃武威·二模）已知，则 ．
【变式训练5-2】（2023·江苏镇江·模拟预测）已知与互为相反数，与互为倒数，，则的值是 ．
【变式训练5-3】（2023·河南商丘·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 .
【经典例题6】（2024·广东深圳·模拟预测）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是 ．
【变式训练6-1】（2024·重庆·模拟预测）根据如图所示的程序计算，若输入的值是1时，则输出的值是5．若输入的值是2，则输出值为 ．

【变式训练6-2】（2024·安徽合肥·二模）信息技术课上，苏明同学编制了一个计算小程序如下图，当输入时，输出的结果是 ．
【变式训练6-3】（2024·陕西西安·模拟预测）程序问题中的框图算法源于我国古代数学名著《九章算术》．如图，当输入x的值是1时，根据程序，第1次输出结果是8，将结果继续输入，第2次输出的结果是4，…，这样下去，第8次输出的结果是 ．
【经典例题7】（2024·云南曲靖·模拟预测）下列说法中，正确的是（ ）
A．是单项式 B．是四次二项式
C．的系数为 D．的次数是6
【变式训练7-1】（2023·山东聊城·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．单项式的次数是9 B．不是单项式
C．是三次三项式 D．单项式的系数是
【变式训练7-2】下列说法中正确的是（　　）
A．的系数是 B．的次数是7
C．4不是单项式 D．与是同类项
【变式训练7-3】下列说法正确的是（ ）
A．系数是 B．是三次单项式
C．的次数是6次 D．是二次三项式
【经典例题8】（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）某次复习课上，老师在黑板上写了一串单项式，请你观察规律：，，，，，，猜想老师写出的第个单项式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】（2024·四川广安·模拟预测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，，，那么，的值为 ．
【变式训练8-3】（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题
观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…，
(1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________；
(2)通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：_____________________；
(3)根据以上结论计算：．
【经典例题9】（2024·广东广州·模拟预测）若与是同类项，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【变式训练9-1】（2023·广东·模拟预测）若与是同类项，则代数式的值（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-2】（2024·山东临沂·模拟预测）若单项式与是同类项，则m= ．
【变式训练9-3】（2023·广东清远·一模）已知关于的多项式化简后是单项式，其结果（关于的单项式）的系数为4，求的值．
【经典例题10】（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中，．
【变式训练10-1】（2023·湖南怀化·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2 ，求的值．
【变式训练10-2】（2024·四川广元·二模）先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足
【变式训练10-3】（2024·山东菏泽·一模）先化简，再求值：，其中，．
【经典例题11】（2024·河北邢台·三模）已知：，．
(1)求；
(2)若的值与的值无关，求m，n满足的关系式．
【变式训练11-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知代数式，．
(1)求；
(2)当，时，求的值；
(3)若的值与的取值无关，求的值．
【变式训练11-2】（2023·河北廊坊·三模）已知代数式，其中“*”数字印刷不清．
(1)①若数字“*”猜测成数字2，请化简整式；
②在①的基础上，，，求的值；
(2)淇淇说：代数式的值只与有关，根据淇淇说法，求出“*”代表的数字．
【变式训练11-3】（2024·广东江门·模拟预测）已知，．
(1)若，求的值．
(2)若的值与的值无关，求的值．
【经典例题12】（2023·湖南怀化·模拟预测）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定
(1)计算的值．
(2)当、b在数轴上的位置如图所示时，化简．
(3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．
【变式训练12-1】（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的．
(1)求m与n的关系；
(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．
【变式训练12-2】（2024·河北邢台·模拟预测）在计算题：“已知，□，求”时，嘉琪把“”看成“”，得到的计算结果是．
(1)求整式M；
(2)若，请比较与N的大小，并说明理由．
【变式训练12-3】（2024·陕西商洛·三模）某村种植了土豆、玉米、水稻三种农作物，土豆种植面积是亩，水稻种植面积是土豆种植面积的3倍，玉米种植面积比土豆种植面积的2倍少2亩．请通过计算判断，水稻种植面积和玉米种植面积哪一个更大．
【经典例题13】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义一种新运算：对于两个非零实数a，b， ，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练13-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（　　）
A． B． C． D．
【变式训练13-2】（2024·四川成都·模拟预测）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为 ；第100个“双方数”为 ．
【经典例题14】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练14-1】（2024·山西太原·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练14-2】（2024·山西阳泉·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练14-3】（2024·云南曲靖·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题15】（2024·浙江·模拟预测）已知，，则代数式的值为 ．
【变式训练15-1】（2024·广西·模拟预测）若，，则 ．
【变式训练15-2】（2023·江苏泰州·一模）若，则的值为 ．
【变式训练15-3】（2024·山东济宁·二模）已知，，则 ．
【经典例题16】（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ．
【变式训练16-1】（2024·山东临沂·二模）已知，，则 ．
【变式训练16-2】（2024·北京石景山·二模）若，则代数式的值为 ．
【变式训练16-3】（2024·甘肃天水·二模）已知m，n同时满足：与，则的值为 ．
【经典例题17】（2024·青海西宁·一模）如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ．
【变式训练17-1】（2022·河北石家庄·三模）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）以上两个图形反映了等式： ；
（2）运用（1）中的等式，计算 ．
【变式训练17-2】（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　．
知识运用：
（4）用合理的方法计算：．
【变式训练17-3】（2023·广西桂林·二模）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形，通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（　　）

A． B．
C． D．
【经典例题18】（2024·山西·模拟预测）若，，则 ．
【变式训练18-1】（2023·四川绵阳·模拟预测）若，则的值为 ．
【变式训练18-2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知，，则 ； ．
【变式训练18-3】（2024·河南安阳·模拟预测）阅读与思考：
若，，则由完全平方公式可得：．请根据你的理解完成下列计算：
已知，．求代数式的值．
【变式训练18-4】（2023·山东枣庄·三模）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【经典例题19】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：

(1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系式为________；
(2)如图2，C是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【变式训练19-1】（2024·河北秦皇岛·二模）小明同学用四张长为 ，宽为 的矩形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
(1)通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为：____________________________．
(2)利用（1）中的结论，试求：当 时， ．
(3)利用（1）中的结论，试求：当 时，的值．
【变式训练19-2】（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图阴影部分的面积是 ；
（2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ．
【变式训练19-3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有4张，边长分别为的矩形卡片有12张，边长为的正方形卡片有9张．
(1)取甲、乙卡片各一张，其面积和为______；
(2)用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正方形的边长；（用含的代数式表示）
(3)取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片都要用到且不重叠），使其面积为，则可能的整数值有______个．
【经典例题20】（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练20-1】（2024·河北秦皇岛·一模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【变式训练20-2】（2024·河南周口·二模）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练20-3】（2024·上海金山·二模）下列多项式分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【经典例题21】（2024·河北沧州·模拟预测）若，则下列结论正确的是（ ）
A．等式从左到右的变形是乘法公式，
B．等式从左到右的变形是因式分解，
C．等式从左到右的变形是乘法公式，
D．等式从左到右的变形是因式分解，
【变式训练21-1】（2024·广西桂林·二模）把因式分解得，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练21-2】（2024·重庆九龙坡·三模）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ．
【变式训练21-3】（2023·山东临沂·一模）若多项式可因式分解成，其中、均为整数，则的值是 ．
【经典例题22】（2024·四川绵阳·模拟预测）多项式，的公因式是 ．
【变式训练22-1】（2024·安徽·模拟预测）已知实数，，满足，，则的值为 ．
【变式训练22-2】（2024·广东·模拟预测）因式分解∶ ．
【变式训练22-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）分解因式： ．
【经典例题23】（2024·陕西·模拟预测）分解因式： ．
【变式训练23-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则 ．
【变式训练23-2】（2024·上海杨浦·模拟预测）因式分解： ．
【变式训练23-3】（2024·贵州黔东南·二模）分解因式： ．
【经典例题24】（2024·吉林长春·模拟预测）分解因式： ．
【变式训练24-1】（2024·山东济南·模拟预测）因式分解： ．
【变式训练24-2】（2023·四川眉山·模拟预测）分解因式： ．
【变式训练24-3】（2024·山东淄博·一模）分解因式
【变式训练24-4】（2024·江西吉安·一模）因式分解： ．
【经典例题25】（2023·上海·模拟预测）分解因式： ．
【变式训练25-1】（2024·四川内江·二模）因式分解： ．
【变式训练25-2】（2022·湖北咸宁·模拟预测）因式分解：
【变式训练25-3】（2023·江西吉安·三模）分解因式：= ．
【经典例题26】（2024·广东中山·模拟预测）已知，则 ．
【变式训练26-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知 ，，求的值为 ．
【变式训练26-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知实数a、b满足，则的值为 ．
【变式训练26-3】（2024·广东东莞·一模）若，，则 ．
【经典例题27】（2024·河北唐山·二模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，则的值总能（ ）
A．被3整除 B．被9整除 C．被10整除 D．被11整除
【变式训练27-1】（2024·河南商丘·二模）对任意整数，都（　　）
A．能被2整除，不能被4整除 B．能被3整除
C．既能被2整除，又能被4整除 D．能被5整除
【变式训练27-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）对于任何整数m，多项式都能（ ）
A．被8整除 B．被m整除
C．被整除 D．被整除
【变式训练27-3】（2024·河北唐山·一模）若k、n都是任意整数，如果的值总能被3整除，则不能取（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【经典例题28】（2024·河北·模拟预测）有一列数：4，12，20，…．这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”．如：
第1个数：．
第2个数：．
第3个数：．
…
(1)设两个连续偶数为和（其中k取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明？
(2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”．
【变式训练28-1】（2024·上海·模拟预测）小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程：
1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除．
(1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性
(2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除
(3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明）
【变式训练28-2】（2024·陕西榆林·三模）如图①，是一个两直角边长分别为，的直角三角形，按如图②以边长为的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为的直角边所对顶点且与边长为的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．
【变式训练28-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、3b的直角三角形，图形乙是长、宽分别为a、b的矩形，已知，试猜想这两个立体图形哪个体积更大，并通过计算证明自己的猜想（，）中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 整式及其运算
理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念.
理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算.
会推导乘法公式（完全平方公式和平方差公式），了解公式的几何意义，能够利用公式进行乘法运算.
了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式.
代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。
注意：①不包括等于号、不等号（≠、≤、≥、<、>、≮、≯）、约等号≈。 ②可以有绝对值
由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式。单独一个数或一个字母也是单项式，如、1、等。
单项式的系数
①单项式中的常数因数叫做单项式的系数。如3x的系数是3。
②如果一个单项式只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为-1，如系数为1，系数为-1。
③如果只是一个数字，系数是本身。如5的系数还是5。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。
由有限个单项式的代数和组成的代数式叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式合并同类项后有几项就叫做几项式。
多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
单项式和多项式统称为整式。
如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。
合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
整式的加减：单项式加减即合并同类项，也就是合并前各同类项系数的和，字母不变。同时还要运用到去括号法则和添括号法则
幂的运算
①同底数幂相乘，底数不变指数相加，符号表示：
②同底数幂相除，底数不变指数相减，符号表示：
③幂的乘方，底数不变指数相乘，符号表示
④积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，符号表示：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
常用乘法公式
①完全平方和（差）：
②平方差公式：
③立方和公式：
④立方差公式：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
十字相乘方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。
因式分解步骤
①如果多项式的首项为负，应先提取负号； 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
②如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；
③如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
④如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
【经典例题1】（2024·湖北武汉·模拟预测）下列各式：1，，，，，，，其中代数式共有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查代数式，根据用加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，进行判断即可．
【详解】解：在1，，，，，，中1，，，，是代数式，共5个；
故选B．
【变式训练1-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）下列各式中，代数式的个数是（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥a ⑦ ⑧．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了代数式的定义，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．据此解答即可．
【详解】解：①，②，④ ⑤，⑥a ⑦， ⑧是代数式，
含“=”不是代数式．
故选C．
【变式训练1-2】（2024·山东淄博·模拟预测）以下列各式中：①，②，③，④，⑤a，⑥0．是代数式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的识别，注意：代数式中不含等号，也不含不等号，单独的一个数或字母也是代数式．
根据代数式的概念，代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子，单个的数和单个的字母也是代数式，逐一判断即可．
【详解】解：①是数字，是代数式；②，是等式，不是代数式；③，不是代数式；④是代数式；⑤a是代数式；⑥是数字，是代数式；
故是代数式的是①④⑤⑥，
故选：D．
【变式训练1-3】下列式子中：①0；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．属于代数式的有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】本题考查的是代数式的判断．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的定义逐一判断即可．
【详解】解：①0是代数式；
②是代数式；
③不是代数式；
④是代数式；
⑤是代数式；
⑥是代数式；
⑦不是代数式；
⑧不是代数式．
代数式有5个，
故选：B．
【经典例题2】（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列代数式书写正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了代数式书写规范，掌握正确的书写规范是解题关键．直接根据代数式的书写规范进行判断即可．
【详解】解：A．应写成，故不符合题意；
B．应写成，故不符合题意；
C．的正确写法是，故不符合题意；
D． 书写正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练2-1】（2023·广东·模拟预测）下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了代数式的书写规则，熟记相关结论即可.
【详解】解：应写成：，故A错误；
符合代数式书写规则，故B正确；
应写成：，故C错误；
应写成：，故D错误；
故选：B
【变式训练2-2】（2023·河北·模拟预测）式子可以化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据代数式的书写规范即可求解．除法运算写成分数形式，即除号改为分数线．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的书写，掌握代数式的书写规范是解题的关键．
【变式训练2-3】下列各式中符合代数式书写要求的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了代数式．根据代数式的书写要求：（）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；（）带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式，据此即可判断求解，掌握代数式的书写要求是解题的关键．
【详解】解：①的正确书写格式是；
②的正确书写格式是；
③书写正确；
④书写正确；
⑤的正确书写格式是
⑥的正确书写格式是；
∴符合代数式书写要求的有个，
故选：．
【经典例题3】（2024·河北沧州·二模）对“”解释错误的是（ ）
A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8
【答案】A
【分析】本题主要考查了代数式的表示方法，代数式“”可以表述为x减去8；x与8的差；x与的和．
【详解】解：A、x与的积表述错误；
B、x与的和，表述正确；
C、x与8的差，表述正确；
D、x减去8，表述正确；
故选：A．
【变式训练3-1】（2024·河南信阳·一模）某商场出售一件商品，在原标价基础上实行以下四种调价方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价10%，再打八折
C．先提价30%，再降价35% D．先打七五折，再提价10%
【答案】D
【分析】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
【详解】解：设原件为x元，
选项A：∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为元，
选项B：∵先提价10%，再打八折，
∴调价后的价格为元，
选项C：∵先提价30%，再降价35%，
∴调价后的价格为元，
选项D：∵先打七五折，再提价10%，
∴调价后的价格为元，
∵
故选：D
【变式训练3-2】（2023·河北承德·一模）某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（ ）
A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折
C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元
D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折
【答案】A
【分析】根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解．
【详解】解：某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，
按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元，故A选项正确，B选项错误
按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折，故C选项错误
按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打九折，故D选项错误
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的意义，理解题意是解题的关键．
【变式训练3-3】（2021·河北承德·一模）下列关于代数式“”的说法,正确的是（ ）
A．表示2个相加 B．代数式的值比大
C．代数式的值比2大 D．代数式的值随的增大而减小
【答案】B
【分析】说出代数式的意义,实际上就是把代数式用语言叙述出来,叙述时,要求既要表明运算的顺序,又要说出运算的最终结果．
【详解】A．2+a表示2与a的和,故选项A错误;
B． 2+a的值大于a,故选项B正确;
C．当a是负数时,2+a的值比2小,故选项C错误,
D．由于a是任意实数,所以代数式的值不一定比3大,但随a的增大而增大,故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查了用语言表达代数式的意义,一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序,具体说法没有统一规定,以简明而不引起误会为出发点．
【经典例题4】（2024·湖南·模拟预测）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有 颗．
【答案】
【分析】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出图形规律的能力，要求学生要会分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察图案总结小五角星数与图案数间的关系，据此规律求和即可．
【详解】解：第个图案中，小五角星有个，
第个图案中，小五角星有个，
第个图案中，小五角星有个，
第个图案中，小五角星有个，
，
∴第个图案中，小五角星有个，
∴第个图案中小五角星有个．
故答案为：
【变式训练4-1】（2024·湖南·模拟预测）有一组数，按以下规律排列∶则这组数的第个数为 ．
【答案】
【分析】本题考查找规律，根据所给的这列数，将他们形式化统一，从符号、分子、分母三个方面找寻规律即可得到答案，熟练掌握常见数字规律是解决问题的关键．
【详解】解：一列数
符号规律：奇数项为正、偶数项为负，故；
分子规律：从第二项开始，后一项与前一项的差是4，故；
分母规律：；
综上所述，这列数的规律是，
故答案为：．
【变式训练4-2】（2023·贵州黔东南·一模）已知，，，，，…，按此规律，请用含的代数式表示 ．
【答案】
【分析】此题主要考查代数式的规律探索，分式的运算，解题的关键是求出各数值，发现规律求解．先求出，，，，，发现规律即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴，
∵
∴
∴
∴3次一循环
∵
∴
故答案为：．
【变式训练4-3】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…．
(1)图案5中“☆”的个数为 ；
(2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示）
(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)n的值为6
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题；
（2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题；
（3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）第1个图案中“☆”的个数为；
第2个图案中“☆”的个数为；
第3个图案中“☆”的个数为；
……
第n个图案中“☆”的个数为；
即图案5中“☆”的个数为
故答案为：
（2）由题知，
第1个图案中“★”的个数为；
第2个图案中“★”的个数为；
第3个图案中“★”的个数为；
……
第个图案中“★”的个数为；
故答案为：．
（3）由题知，
，
解得或6，
因为为正整数，
所以．
故正整数的值为6．
【经典例题5】（2024·江西·模拟预测）若，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，平方和绝对值的非负性，熟知平方和绝对值的非负性是解题的关键．
根据平方和绝对值的非负性求出、的值，然后代值计算即可．
【详解】解：，
，，
，，
，
故答案为：．
【变式训练5-1】（2024·甘肃武威·二模）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的非负性，平方的非负性，二元一次方程组的应用，根据非负式子和为0可得，再进一步求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-2】（2023·江苏镇江·模拟预测）已知与互为相反数，与互为倒数，，则的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查代数式求值求值，相反数以及倒数的定义，熟练掌握相反数的性质以及倒数的性质是解题的关键．根据题意得到，代入求值即可．
【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，，
∴，，
∴
．
故答案为：0．
【变式训练5-3】（2023·河南商丘·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 .
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，求代数式的值，先根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【经典例题6】（2024·广东深圳·模拟预测）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据程序图求值，先判断输入的2与的大小关系，然后确定输入的2代入哪个等式求y，从而求出答案即可．
【详解】解：∵输入的，
∴当时，，
∴输出y的值是.
故答案为：．
【变式训练6-1】（2024·重庆·模拟预测）根据如图所示的程序计算，若输入的值是1时，则输出的值是5．若输入的值是2，则输出值为 ．

【答案】1
【分析】本题主要考查了代数式的求值和有理数的混合运算，理解题意掌握有理数的运算法则是解题的关键．
先根据题意将，代入中求出的值，再将代入中即可求解．
【详解】解：由题意可知，将，代入中得：
，
解得：，
将，代入中得：
，
所以输入的值是2，则输出值为1，
故答案为：1．
【变式训练6-2】（2024·安徽合肥·二模）信息技术课上，苏明同学编制了一个计算小程序如下图，当输入时，输出的结果是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了程序流程图，代数式求值，准确计算是关键．
根据运算程序进行计算即可．
【详解】解：根据运算程序，
得：当输入时，．
故答案为：1．
【变式训练6-3】（2024·陕西西安·模拟预测）程序问题中的框图算法源于我国古代数学名著《九章算术》．如图，当输入x的值是1时，根据程序，第1次输出结果是8，将结果继续输入，第2次输出的结果是4，…，这样下去，第8次输出的结果是 ．
【答案】1
【分析】本题考查规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．通过计算发现，每次输出的结果，，，循环出现，则可知第次计算输出的结果与第4次计算输出的结果相同，由此求解即可．
【详解】解：输入x的值是1时，
第1次输出结果是8，
第2次输出的结果是4，
第3次输出的结果是2，
第4次输出的结果是1，
第5次输出的结果是8，
第6次输出的结果是4，
第7次输出的结果是2，
第8次输出的结果是1，
故答案为：1．
【经典例题7】（2024·云南曲靖·模拟预测）下列说法中，正确的是（ ）
A．是单项式 B．是四次二项式
C．的系数为 D．的次数是6
【答案】B
【分析】本题主要考查了单项式和多项式的相关定义，根据单项式的定义及其系数，项解答，判断A，C，D，再根据多项式的项和次数解答，判断B即可．
【详解】因为不是单项式，是多项式，所以A不正确；
因为是四次二项式，所以B正确；
因为的系数是，所以C不正确；
因为的次数是，所以D不正确．
故选：B．
【变式训练7-1】（2023·山东聊城·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．单项式的次数是9 B．不是单项式
C．是三次三项式 D．单项式的系数是
【答案】B
【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．
【详解】解：A、单项式的次数是，原说法错误，不符合题意；
B、不是单项式，原说法正确，符合题意；
C、是四次三项式，原说法错误，不符合题意；
D、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【变式训练7-2】下列说法中正确的是（　　）
A．的系数是 B．的次数是7
C．4不是单项式 D．与是同类项
【答案】D
【分析】本题考查了同类项、单项式、多项式，根据单项式的定义，同类项的定义，多项式的次数，可得答案，熟记单项式的定义，同类项的定义，多项式的次数是解题关键．
【详解】解：A、的系数是，故选项不符合题意；
B、的次数是3，故选项不符合题意；
C、4是单项式，故选项不符合题意；
D、与是同类项，说法正确，故选项符合题意；
故选：D．
【变式训练7-3】下列说法正确的是（ ）
A．系数是 B．是三次单项式
C．的次数是6次 D．是二次三项式
【答案】D
【分析】本题考查了单项式的系数与次数，多项式的次数与项数，正确理解单项式的系数与次数及多项式的次数与项数是解题的关键．根据单项式的系数与次数及多项式的次数与项数的概念，即可判断答案．
【详解】A、系数是，原说法错误，不符合题意；
B、是三次二项式，原说法错误，不符合题意；
C、的次数是3次，原说法错误，不符合题意；
D、是二次三项式，原说法正确，符合题意．
故选：D．
【经典例题8】（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．设，知，据此可得，再进一步求解可得．
【详解】解：设，
则，
，
解得，
，
，
故选：A
【变式训练8-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）某次复习课上，老师在黑板上写了一串单项式，请你观察规律：，，，，，，猜想老师写出的第个单项式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了单项式规律探索，根据给出的式子得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵，，，，，，
∴第个单项式为，
故选：C．
【变式训练8-2】（2024·四川广安·模拟预测）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，，，那么，的值为 ．
【答案】0
【分析】本题考查数字类规律探究，根据已知条件可知：，每四个一循环，每个循环内的四个数的和为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，可知：，且，，，，
故每四个一循环，每个循环内的四个数的和为0，
∵，
∴；
故答案为：0．
【变式训练8-3】（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题
观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…，
(1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________；
(2)通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：_____________________；
(3)根据以上结论计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了图形的变化规律，分析所给的等式的形式，进行总结即可求解，解题的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
（1）根据图形得到规律写出答案即可；
（2）根据前几个图形的规律写出第个图形可得等式即可；
（3）利用（2）中得到的规律进行计算即可．
【详解】（1）由图①可得，
，
；
；
；
……
，
故答案为：，
（2）通过图②可以发现：
第1个图形可得等式：；
第2个图形可得等式：；
第3个图形可得等式：；
…
第个图形可得等式：
故答案为：
（3）
【经典例题9】（2024·广东广州·模拟预测）若与是同类项，则等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此解答即可．
【详解】若与是同类项，
则，
故选：B．
【变式训练9-1】（2023·广东·模拟预测）若与是同类项，则代数式的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同，得到，求出，，即可．
【详解】∵与是同类项，
∴，
解得：，
∴．
故选：A．
【变式训练9-2】（2024·山东临沂·模拟预测）若单项式与是同类项，则m= ．
【答案】6
【分析】本题考查了同类项．解题的关键是掌握同类项的定义．
根据同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式”，求解即可．
【详解】∵单项式与是同类项，
∴，
故答案为：6．
【变式训练9-3】（2023·广东清远·一模）已知关于的多项式化简后是单项式，其结果（关于的单项式）的系数为4，求的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了合并同类项，同类项的定义，根据题意可得与是同类项，据此可得，则，再根据合并同类项的结果的系数为4得到，据此代值计算即可．
【详解】解：关于的多项式的化简结果是单项式，
∴与是同类项，
，
解得．
∵关于的多项式化简后是单项式，其结果（关于的单项式）的系数为4，
∴，
原式．
【经典例题10】（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将，代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
【变式训练10-1】（2023·湖南怀化·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2 ，求的值．
【答案】（1），12；（2）当时，原式；当时，原式
【分析】此题考查了整式的加减化简求值，相反数，倒数与绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）原式去括号合并得到最简结果，把，的值代入计算即可求出值；
（2）根据相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出，，的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：（1）原式，
，
，
当，时，
原式；
（2）根据题意得：，，或，
当时，原式；
当时，原式．
【变式训练10-2】（2024·四川广元·二模）先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足
【答案】，
【分析】题目主要考查整式的化简求值及绝对值及平方的非负性，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
先去括号，然后合并同类项即可；再由绝对值及平方的非负性确定，，代入求解即可．
【详解】解：
=
=，
∵，且，，
∴，
∴，，
原式=．
【变式训练10-3】（2024·山东菏泽·一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查整式的混合运算，先根据整式的运算展开，再合并同类型，最后代入计算即可．
掌握整式运算的法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【经典例题11】（2024·河北邢台·三模）已知：，．
(1)求；
(2)若的值与的值无关，求m，n满足的关系式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键
（1）由题意知，；
（2）由题意知，，由的值与的值无关，可得，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴；
（2）解：由题意知，
．
∵的值与的值无关，
∴，
解得．
【变式训练11-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知代数式，．
(1)求；
(2)当，时，求的值；
(3)若的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)27
(3)
【分析】本题考查了整式的加减运用，化简求值以及与某些字母取值无关：
（1）把，直接代入，进行化简即可作答．
（2）把，代入，即可作答．
（3）整理得，令的系数为0，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，
把，直接代入得：
；
即；
（2）解：由（1）知，
把，代入得
；
（3）解：由（1）知，
∵的值与的取值无关，
∴
即
【变式训练11-2】（2023·河北廊坊·三模）已知代数式，其中“*”数字印刷不清．
(1)①若数字“*”猜测成数字2，请化简整式；
②在①的基础上，，，求的值；
(2)淇淇说：代数式的值只与有关，根据淇淇说法，求出“*”代表的数字．
【答案】(1)①；②0；
(2)5
【分析】（1）①先去括号，再合并同类项即可得到化简的结果，②把，代入化简后的代数式进行计算即可；
（2）设*，先去括号，再合并同类项，再根据代数式的值只与有关，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：①由题意可得：
；
②当，时，
原式
．
（2）设*，
∴
，
∵代数式的值只与有关，
∴，
解得：即*．
【点睛】本题考查的是整式的加减运算及化简求值，代数式的值与某字母的值无关，理解题意，建立方程求解是解本题的关键．
【变式训练11-3】（2024·广东江门·模拟预测）已知，．
(1)若，求的值．
(2)若的值与的值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据去括号，合并同类项，化简成最简形式，再根据非负数的和为，每一个非负数都是，求出的值，最后可得答案；
（2）根据多项式的值与无关，可得的系数等于零，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）解：
．
∵，
∴．
∴
．
（2）解：∵的值与的值无关，即与的值无关，
∴，解得．
【点睛】本题考查了整式的加减、绝对值的非负性、掌握非负数的和为，每一个非负数都是是解题关键．
【经典例题12】（2023·湖南怀化·模拟预测）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定
(1)计算的值．
(2)当、b在数轴上的位置如图所示时，化简．
(3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．
【答案】(1)20
(2)
(3)不一定，理由见解析
【分析】本题考查新定义运算及数轴，解答的关键是根据新定义，转化成有理数的运算，整式的运算．
（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）根据数轴上点的位置判断出与的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果；
（3）当时，不一定有或者，举例即可．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：
，
，
则；
（2）解：根据题意可得，，
∴
∴；
（3）解：由得，
不一定有或者，
例如：取，则，
此时等式成立，但且；
【变式训练12-1】（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的．
(1)求m与n的关系；
(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键．
（1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论；
（2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得，进而可得阴影面积的值．
【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为，
∵大矩形的长是宽的，
∴，
化简，得；
（2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，，
∴，
解得，
∴阴影部分的面积为．
【变式训练12-2】（2024·河北邢台·模拟预测）在计算题：“已知，□，求”时，嘉琪把“”看成“”，得到的计算结果是．
(1)求整式M；
(2)若，请比较与N的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出N．
（2）写出确定的，即可得出结论．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2），
理由：∵，，
∴，
∵，
∴．
∴．
【变式训练12-3】（2024·陕西商洛·三模）某村种植了土豆、玉米、水稻三种农作物，土豆种植面积是亩，水稻种植面积是土豆种植面积的3倍，玉米种植面积比土豆种植面积的2倍少2亩．请通过计算判断，水稻种植面积和玉米种植面积哪一个更大．
【答案】水稻种植面积更大
【分析】本题主要考查了列代数式及整式的加减，熟练根据题意列出代数式以及掌握相关运算法则是解本题的关键．
先根据题意用含a的式子分别表示出水稻种植面积和玉米种植面积，并进行作差比较即可解答．
【详解】解：由题意得，水稻种植面积为，玉米种植面积为．
．
，
，即．
水稻种植面积更大．
【经典例题13】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义一种新运算：对于两个非零实数a，b， ，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值， 先根据可得一个关于x，y的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练13-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出等式．
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：根据题中的新定义得：
，
故选：B．
【变式训练13-2】（2024·四川成都·模拟预测）定义：若一个正整数M能表示成两个相邻偶数a，b的平方差，即，且M的算术平方根是一个正整数，则称正整数M是“双方数”．例如：，，36就是一个“双方数”.若将“双方数”从小到大排列，前3个“双方数”的和为 ；第100个“双方数”为 ．
【答案】 140 158404
【分析】本题考查因式分解的应用、数字变化类，设，，则，可得要使M是“双方数”，则必须是一个正整数的平方，设，则，根据所求计算即可．
【详解】解：设，，n为大于0的自然数，则，
∴要使M是“双方数”，则必须是一个正整数的平方，
设，
∵n为大于0的自然数，
∴是一个奇数，
∴k为奇数，
∴
∴当时，（第1个“双方数”）；
当时，（第2个“双方数”）；
当时，（第3个“双方数”）.
∴前3个“双方数”的和为，
根据以上规律，当M是第100个“双方数”时，，此时．
故答案为140，158404．
【经典例题14】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了幂的运算法则、因式分解、分式的加减等知识，根据运算法则进行计算后即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【变式训练14-1】（2024·山西太原·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，幂的运算法则，单项式乘以单项式运算法则以及完全平方公式进行计算，即可判断答案．
【详解】A、与不是同类项，不能合并，所以A选项错误，不符合题意；
B、，所以B选项错误，不符合题意；
C、计算正确，符合题意；
D、，所以D选项错误，不符合题意．
故选C．
【变式训练14-2】（2024·山西阳泉·模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、应为，故本选项错误，不合题意；
B、应为，故本选项错误，不合题意；
C、应为，故本选项错误，不合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练14-3】（2024·云南曲靖·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的运算，利用积的乘方法则、同底数幂乘法、除法的法则、完全平方公式和平方差公式进行计算是解题的关键．
【详解】解：A、 ，计算正确；
B、，原计算错误；
C、，原计算错误；
D、，原计算错误；
故选A．
【经典例题15】（2024·浙江·模拟预测）已知，，则代数式的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆运算，先利用幂的乘方求出，再利用同底数幂除法的逆运算求解即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：3．
【变式训练15-1】（2024·广西·模拟预测）若，，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了同底数幂运算的应用，根据题意可得出解方程即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
即
解得：，
故答案为：2．
【变式训练15-2】（2023·江苏泰州·一模）若，则的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，根据可得，再将原式中的变形为，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：9．
【变式训练15-3】（2024·山东济宁·二模）已知，，则 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法的逆运算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则求出，，再根据代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【经典例题16】（2024·江苏苏州·三模）计算：的结果是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了积的乘方逆用，二次根式的乘法运算以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式训练16-1】（2024·山东临沂·二模）已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，由，，得，代入即可求解，掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴
，
，
∴，
故答案为：．
【变式训练16-2】（2024·北京石景山·二模）若，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式运算的化简求值，
首先由得到，然后根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则化简，最后代数求解即可．
【详解】∵
∴
．
故答案为：．
【变式训练16-3】（2024·甘肃天水·二模）已知m，n同时满足：与，则的值为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了平方差公式以及已知式子的值求代数式的值，先整理，再把和分别代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：15．
【经典例题17】（2024·青海西宁·一模）如图，边长为的正方形是由边长为的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，正确找出图形之间的面积关系是解题关键．图：四个全等的四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；图：四个全等的四边形的面积等于平行四边形的面积，由此即可得．
【详解】解：图：四个全等的四边形的面积为，
图：四个全等的四边形的面积为，
则可以验证的乘法公式是，
故答案为：．
【变式训练17-1】（2022·河北石家庄·三模）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）以上两个图形反映了等式： ；
（2）运用（1）中的等式，计算 ．
【答案】
【分析】（1）根据图和图中阴影部分的面积相等列式进行计算即可得出答案；
（2）原式可化为，再根据（1）中的结论进行计算即可得出答案．
【详解】解：（1）根据题意可得，
图中阴影部分的面积为：，
图中长方形的长为，宽为，
面积为：，
则两个图形阴影部分面积相等，；
故答案为：；
（2）
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的几何背景问题的解决方法进行求解是解决本题的关键．
【变式训练17-2】（2024·河北唐山·模拟预测）探究活动：
（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是 　　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式 　　．
知识运用：
（4）用合理的方法计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积差即可求解；
（2）分别表示出阴影部分的长和宽，由面积公式就可求出面积即可；
（3）根据阴影部分的面积相等建立等式即可；
（4）根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：根据阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即，
故答案为：．
（2）解：由图可知矩形的长是，宽是，所以面积是，
故答案为：．
（3）解：根据阴影部分面积相等可得：，
故答案为：．
（4）解：
．
【变式训练17-3】（2023·广西桂林·二模）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中实线剪开后排成如图②所示的长方形，通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方差公式与几何图形，利用两种方法，表示出阴影部分的面积，即可得出结果．
【详解】解：阴影部分的面积．
故选：A．
【经典例题18】（2024·山西·模拟预测）若，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查对完全平方公式的变形应用能力，根据，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：5．
【变式训练18-1】（2023·四川绵阳·模拟预测）若，则的值为 ．
【答案】16
【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方差公式，由条件得到，将恒等变形，整体代入求值即可得到答案，熟记代数式求值的方法是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练18-2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知，，则 ； ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
根据题意，利用等式的基本性质，把的两边同乘，即可得出的值；根据题意，把①，②两式相加，整理得出，即可得出答案．
【详解】解：，
；
①，②，
①②，得，即，
．
故答案为：；．
【变式训练18-3】（2024·河南安阳·模拟预测）阅读与思考：
若，，则由完全平方公式可得：．请根据你的理解完成下列计算：
已知，．求代数式的值．
【答案】5
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是关键，根据完全平方公式得出，代入已知数据进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
【变式训练18-4】（2023·山东枣庄·三模）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)47
【分析】（1）利用完全平方公式的变形求解即可；
（2）利用完全平方公式的变形求解即可．
【详解】（1）∵
∴；
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．
【经典例题19】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：

(1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系式为________；
(2)如图2，C是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)12
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系．
（2）设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即，
也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即，
∴等量关系为，
故答案为：；
（2）设，，
∵，，
∴，
∴．
∴阴影部分的面积为12．
【变式训练19-1】（2024·河北秦皇岛·二模）小明同学用四张长为 ，宽为 的矩形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
(1)通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为：____________________________．
(2)利用（1）中的结论，试求：当 时， ．
(3)利用（1）中的结论，试求：当 时，的值．
【答案】(1)
(2)14
(3)
【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何背景及其应用，正确利用完全平方公式是解题关键．
（1）直接利用小正方形面积得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形求出答案；
（3）利用多项式乘法将已知变形，进而求出答案．
【详解】（1）解：根据小正方形的面积可得：；
故答案为：；
（2）解：，
故答案为：14．
（3）解：设， 则，，．
所以
．
【变式训练19-2】（2024·河北沧州·三模）如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图阴影部分的面积是 ；
（2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ．
【答案】 ； ．
【分析】（）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（）由题意得：，图中是梯形，求出面积，根据，得出，从而有，再根据阴影部分面积为即可求解；
本题考查了整式运算的实际应用，完全平方公式的应用和勾股定理，正确理解完全平方公式的应用是解题的关键．
【详解】（）阴影部分的面积是，
故答案为：；
（）由题意得：，图中是梯形，
∵，，高为，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
两式相加得：，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可知：阴影部分面积为，
故答案为：．
【变式训练19-3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有4张，边长分别为的矩形卡片有12张，边长为的正方形卡片有9张．
(1)取甲、乙卡片各一张，其面积和为______；
(2)用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正方形的边长；（用含的代数式表示）
(3)取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片都要用到且不重叠），使其面积为，则可能的整数值有______个．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】本题考查完全平方公式的几何意义．
（1）先分别计算甲，乙的面积，再求其和即可；
（2）先求出25个卡片的总面积，再求其算术平方根即可；
（3）根据题意知能分解成两个因式的积，再对其进行因式分解即可．
【详解】（1）解：取甲、乙卡片各一张，其面积和为
故答案为：；
（2）这25张卡片拼成一个正方形面积为
这个正方形的边长为；
（3）拼成一个矩形面积为
能分解成两个因式的积
或
得
或得
可能的整数值有2个．
【经典例题20】（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
【详解】解：选项A，B中的等式不成立；
选项C中，，正确．
D选项中，多项式在实数范围内不能因式分解；
故选C．
【变式训练20-1】（2024·河北秦皇岛·一模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【分析】此题考查了因式分解和整式乘法的概念，熟练掌握有关概念是解题的关键．
根据因式分解和整式乘法的有关概念，对式子进行判断即可．
【详解】解：①，从左向右的变形，将和的形式转化为乘积的形式，为因式分解；
②，从左向右的变形，由乘积的形式转化为和的形式，为乘法运算；
故选：C．
【变式训练20-2】（2024·河南周口·二模）下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的定义和用完全平方公式分解因式，根据因式分解的定义和完全平方公式，即可解答，掌握因式分解的定义和会运用完全平方公式分解因式是关键．
【详解】解： A、是整式的乘法，不是因式分解，故不符题意；
B、先提取公因式a，再用完全平方公式分解因式，，故符合题意；
C、没有把多项式化成乘积的形式，故不符题意；
选D、所化的结果不完全是整式，故不符题意；
故选：B．
【变式训练20-3】（2024·上海金山·二模）下列多项式分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式表示成几个多项式积的形式；根据因式分解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，故分解错误；
B、不能分解，故错误；
C、不是因式分解，故错误；
D、分解正确；
故选：D．
【经典例题21】（2024·河北沧州·模拟预测）若，则下列结论正确的是（ ）
A．等式从左到右的变形是乘法公式，
B．等式从左到右的变形是因式分解，
C．等式从左到右的变形是乘法公式，
D．等式从左到右的变形是因式分解，
【答案】D
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
，
则，
原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式．
故选：D．
【变式训练21-1】（2024·广西桂林·二模）把因式分解得，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘多项式，先求出，然后求出结果即可．
【详解】解：∵
，
又∵把因式分解得，
∴，
故选：B．
【变式训练21-2】（2024·重庆九龙坡·三模）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．利用因式分解定义将变为即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练21-3】（2023·山东临沂·一模）若多项式可因式分解成，其中、均为整数，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据因式分解的结果，进行多项式的乘法运算，进而即可求解．
【详解】解：∵，且为整数，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解与多项式的乘法的关系，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
【经典例题22】（2024·四川绵阳·模拟预测）多项式，的公因式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查公因式的确定，因式分解 熟练掌握公因式的定义及因式分解是解题的关键．先因式分解两个多项式，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【详解】解：，
多项式，的公因式是，
故答案为：．
【变式训练22-1】（2024·安徽·模拟预测）已知实数，，满足，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，先把进行因式分解，然后，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴原式，
故答案为：．
【变式训练22-2】（2024·广东·模拟预测）因式分解∶ ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式训练22-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键．
【详解】解：；
故答案为：．
【经典例题23】（2024·陕西·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，先提取公因式，然后利用平方差公式即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
【变式训练23-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则 ．
【答案】2025
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，灵活运用因式分解求得成为解题的关键．
先根据已知条件求得，再解方程组可得，最后代入代数式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，解得：，
∴．
故答案为：2025．
【变式训练23-2】（2024·上海杨浦·模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【变式训练23-3】（2024·贵州黔东南·二模）分解因式： ．
【答案】/
【分析】先本题主要考查了分解因式，把括号去掉，然后合并同类项，最后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【经典例题24】（2024·吉林长春·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的方法，先提取公因式，再利用平方差公式进行分解，再提取公因式，最后采用十字相乘法进行分解即可．
【详解】解：
故答案为：
【变式训练24-1】（2024·山东济南·模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法，先提取公因式，再根据十字相乘法分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式训练24-2】（2023·四川眉山·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握常用的因式分解方法是解题关键．先提公因式，然后用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式训练24-3】（2024·山东淄博·一模）分解因式
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键．
利用十字相乘法进行分解因式即可得到结果．
【详解】解：
故答案为：．
【变式训练24-4】（2024·江西吉安·一模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，根据十字相乘法即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【经典例题25】（2023·上海·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查分组分解法分解因式．熟练掌握掌握分组分解法分解因式是解题的关键．
先前三项分一组，用完全正确平方公式分解，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【变式训练25-1】（2024·四川内江·二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先进行分组分解，得出，再运用提公因式和公式法进行分解因式，即可作答．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式训练25-2】（2022·湖北咸宁·模拟预测）因式分解：
【答案】
【分析】前两项利用平方差公式分解，将后两项组合，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解．掌握平方差公式，正确的分组分解是解题关键．
【变式训练25-3】（2023·江西吉安·三模）分解因式：= ．
【答案】
【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【经典例题26】（2024·广东中山·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解的应用，先将原式变形为，再将，代入原式，计算即可．
【详解】解：原式
将，代入原式，
原式，
故答案为：．
【变式训练26-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知 ，，求的值为 ．
【答案】6
【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握提公因式法分解因式是解本题的关键．
将分银因式化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：6．
【变式训练26-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知实数a、b满足，则的值为 ．
【答案】8
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值．
首先因式分解得到； 然后将已知整体代入化简后的待求式，就能求出结果．
【详解】解：
将代入得：
原式
【变式训练26-3】（2024·广东东莞·一模）若，，则 ．
【答案】80
【分析】本题主要考查了代数式求值，分解因式的应用，将变形为，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：80．
【经典例题27】（2024·河北唐山·二模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，则的值总能（ ）
A．被3整除 B．被9整除 C．被10整除 D．被11整除
【答案】D
【分析】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，求出的值，因式分解后，进行判断即可．
【详解】解：由题意，
，
∴的值总能被11整除；
故选D．
【变式训练27-1】（2024·河南商丘·二模）对任意整数，都（　　）
A．能被2整除，不能被4整除 B．能被3整除
C．既能被2整除，又能被4整除 D．能被5整除
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式因式分解得出，和都是的一个因数，即可得出答案，能利用平方差公式进行因式分解是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴对任意整数，既能被2整除，又能被4整除，
故选：C．
【变式训练27-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）对于任何整数m，多项式都能（ ）
A．被8整除 B．被m整除
C．被整除 D．被整除
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解公式法和提公因式法，熟练掌握提公因式法是解本题的关键．
将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除．
【详解】
∴多项式都能被8，和整除．
故选：A．
【变式训练27-3】（2024·河北唐山·一模）若k、n都是任意整数，如果的值总能被3整除，则不能取（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解和整除的性质是解题的关键．先利用完全平方公式计算，再将代数式分组为一定被3整除的一组和需要确定范围的一组，找到能被整除的数即可求解．
【详解】解：
的值总能被3整除，
总能被3整除，
整数为，1，4，均满足条件，故A、B、D选项不符合题意；
当为2时，，不能满足n为任意整数时，的值总能被3整除，故C选项符合题意；
故选：C．
【经典例题28】（2024·河北·模拟预测）有一列数：4，12，20，…．这些正整数都能表示为两个连续偶数的平方差，我们把这样的正整数称为“好数”．如：
第1个数：．
第2个数：．
第3个数：．
…
(1)设两个连续偶数为和（其中k取大于1的整数），由这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数吗？请通过计算加以说明？
(2)2024是“好数”吗？请通过计算判断，如果是，它是第几个“好数”；如果不是，写出小于它的最大“好数”．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不是，
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、解一元一次方程等知识点，掌握“好数”的定义成为解题的关键．
（1）因式分解可得，再结合为奇数即可证明结论；
（2）令,解得：.易得2024不是“好数”，再取,代入即可解答．
【详解】（1）解: 这两个连续偶数构造的“好数”是4的倍数,理由如下：.
∵为奇数,
∴由这两个连续偶数构造的“好数”为4的倍数.
（2）解：令,解得：.
∵不为整数，
∴2024不是“好数”.
取,代入得2020,
∴小于2024的最大“好数”是2020．
【变式训练28-1】（2024·上海·模拟预测）小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程：
1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除．
(1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性
(2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除
(3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明）
【答案】(1)能，证明见解析
(2)见解析，能
(3)见解析
【分析】本题考查有理数运算，因式分解的应用：
（1）根据去尾相加法，进行判断和证明即可；
（2）一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除，利用此种方法判断9163能够被7整数即可；
（3）去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除．
【详解】（1）解：4165去掉个位5得416，并加上5的5倍得到441，去掉441的个位1，加上1的5倍，得到，故4165可以被7整除；
证明：一个数，若，则：，
∴，
即：可以被7整数；
（2）解：方法为：一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除；
9163去掉个位3，得到916，再减去3的2倍得到910，去掉910的个位0，减去0的2倍，得到，故9163能被7整除；
（3）解：去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除．
【变式训练28-2】（2024·陕西榆林·三模）如图①，是一个两直角边长分别为，的直角三角形，按如图②以边长为的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为的直角边所对顶点且与边长为的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想．
【答案】图③中圆锥的体积更大，理由见解析
【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算几何体的体积，再比较大小，因式分解的应用，先计算体积，再作差比较大小即可.
【详解】解：图3中圆锥的体积更大．
设图②中圆锥的体积为，图③中圆锥的体积为，
则，
∴．
∵，
∴．
∴，则，
∴图③中圆锥的体积更大．
【变式训练28-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，将平面图形甲、乙分别绕轴l、m旋转一周，可以得到立体图形①、②，图形甲是直角边分别为a、3b的直角三角形，图形乙是长、宽分别为a、b的矩形，已知，试猜想这两个立体图形哪个体积更大，并通过计算证明自己的猜想（，）
【答案】图形①的体积更大，见解析
【分析】本题考查了面动成体，圆锥的体积、圆柱的体积等知识点，掌握圆锥的相关知识成为解题的关键．设图形①、②的体积分别为，然后分别求得图形①、②的体积，然后作差即可解答．
【详解】解：图形①的体积更大．
设图形①、②的体积分别为、，
则，，
，
，
故图形①的体积更大．

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