河南省焦作市博爱县第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)

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河南省焦作市博爱县第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)

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数学参考答案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】因为,所以,,
又,
所以,即,
因为,,所以,所以,所以,
又,即,
所以,所以,
令,则,
所以

当且仅当,即时取等号,
所以,所以,
则实数的最大值为.
故选A
2.【答案】D
【解析】函数在上单调递增,,
令,
而函数在上单调递增,则,
所以函数的值域为.
故选:D
3.【答案】B
【解析】由正弦定理(为的外接圆半径),
可得,
且,则均为正数,
因为,
可得,
又因为的周长为,
所以.
故选:B.
4.【答案】A
【解析】因为,所以,
又,所以,
即复数对应的点在圆心为,半径为的圆上,
又可以变形为,
即其几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为,
又圆心到直线的距离为,
而,所以满足条件的不存在.
故选:A.
5.【答案】D
【解析】不妨设,
因为,设,


因为,则,
可知当,即时,取得最小值,
所以的最小值为.
故选:D.
6.【答案】C
【解析】延长交的延长线于点,连接交于点,连接,
延长交的延长线于点,连接交于点,连接,
则五边形为平面截该长方体所得的截面图形,
不妨设,又点是线段上靠近的四等分点,点是线段的中点,
所以,,,所以,又,
所以,又,所以,
又,即,解得,
又,即,解得,符合题意,
即五边形为平面截该长方体所得的截面图形.
故选C.
7.【答案】D
【解析】数列是首项为,公差为的等差数列,记其通项公式为,令,解得.宝塔形数自上而下,每行的项数是,即首项是,公差是的等差数列,记其通项公式为,其前项和,,所以是第行的数模糊.第行是奇数行,是从右边开始向左边递增,也即从,即的第项,递增到第项,也即从右往左第项.故从左往右是第项,所以.所以.
故选:D.
8.【答案】D
【解析】设上一点处的切线与平行,
则,则,
令,显然,则,
当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
当时,恒成立,易知只有1个零点,即0,
所以,故点坐标为,
的最小值为到直线的距离,即,
故选:D
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,若只有2个正确选项,每选对1个得3分;若只有3个正确选项,每选对1个得2分.
9.【答案】BCD
【解析】函数的图象如下:
对于A,由函数图象变换可知,图像如下:
函数图象与原函数图象关于轴对称,故A错误;
对于B,由函数图象变换可知,的图象如下:
函数图象关于轴对称,故B正确;
对于C,由函数图象变换可知,的图象如下:
函数图象在上单调递增,故C正确;
对于D,即,,
在定义域上单调递增,
,则,故D正确;
故选:BCD.
10.【答案】BCD
【解析】对于A:.
因为,且,
所以的值域是,故A错误;
对于B:的定义域且,
对任意恒有,故B正确;
对于C:在有意义,
当时,,
所以在单调递减,故C正确;
对于D:因为,
所以的图象关于直线对称,且的定义域关于对称,
所以的图象关于直线对称.
因为,
所以的图象关于点对称,
但的定义域不关于点对称,
所以的图象不关于点对称,故D正确.
故选BCD.
11.【答案】BC
【解析】直线可化为:,
所以斜率,得倾斜角为,故错误;
设与直线平行的直线方程为,由直线经过原点,则,
即平行直线方程为,故B正确;
设与直线垂直的直线方程为,由直线方程经过点,所以,
即垂直直线方程为,故C正确;
到直线的距离,得,所以,故D错误;
故选:BC.
三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分.
12.【答案】,
【解析】求导
在区间上是单调函数,
则有在恒大于等于0或恒小于等于0,
若在区间上单调减,则,
故即
若在区间上单调增,则,
,
所以即
综上所述,,,
故答案为,
13.【答案】
【解析】设写作能力被评为优秀等级为事件A,每天阅读时间超过小时为事件,
则,,,


即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名,该生写作能力被评为优秀等级的概率为.
故答案为:.
14.【答案】
【解析】因为,则,
若,则;
若,则,
可得,即;
可知也满足,所以.
可得,
所以.
故答案为:.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)【答案】(1); (2)
【解析】(1)因为,所以,
则.
又,所以,
所以,
从而.
(2)由(1)可知,
显然在上单调递增.
因为,所以由,可得,
则,解得或,
故不等式的解集为.
16.(15分)【答案】(1),中位数. (2)①,②.
【解析】(1)根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为得

解得.
设中位数为,则专项贷款金额在内的评率为,
在内的评率为,
所以在内,
则,解得,
所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为万元.
(2)①由题意,抽样比为,
专项贷款金额在内的中小微企业共有家,
所以应该抽取家,即.
②专项贷款金额在内和在内的频率之比为,
故在抽取的5家中小微企业中,
专项贷款金额在内的有家,分别记为,
专项贷款金额在内的有家,记为,
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为
共10种,
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况有
共4种,
所以所求概率为.
17.(15分)【答案】(1); (2).
【解析】(1)方法一:,由为锐角三角形且,所以.
方法二:
.
由为锐角三角形且,所以.
(2)由(1)知,
由正弦定理知:

所以.令,则,
所以,其中.
又由为锐角三角形,,,
,因为,所以,所以,则,
,所以在上单调递减,则.
即的取值范围是.
18.(17分)【答案】(1)证明见解析; (2); (3)
【解析】(1)由平面,平面,得,
又,且平面,平面,,
所以平面.
(2)取中点,连接,,由,且,
所以四边形为平行四边形,所以,
由(1)平面得平面,
由平面,所以,
由平面,平面,
得,所以,
又,所以.
(3)以为坐标原点,,为,轴的正方向,以过且与平面垂直向上为轴的正方向建立空间直角坐标系.
由,得为正三角形,所以,
又,,,所以,,
设平面的法向量,则,即,
取,得到平面的一个法向量.
又,设直线与平面所成角的大小为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.(17分)【答案】见解析
【解析】必刷考点:等差数列及其求和。
(1)在=中,
令n=1,得=,所以a1=2,则a3=4a1=8;
令n=3,得=,即=,所以a2=5.
下面证明{an}为等差数列.
由=,得2Sn=nan+2n①,
所以2Sn+1=(n+1)an+1+2(n+1)②,
②-①得2an+1=(n+1)an+1-nan+2,
所以(n-1)an+1-nan+2=0③,
当n≥2时,(n-2)an-(n-1)an-1+2=0④,
③-④得(n-1)an+1-2(n-1)an+(n-1)an-1=0,
即an+1+an-1=2an,
所以{an}是等差数列.
(2)由(1)得{an}是等差数列,且a1=2,a2=5,
所以公差d=a2-a1=3,则an=2+(n-1)×3=3n-1.
若选①:
bn===
===1+=1+,
所以b1+b2+…+bn=n+(1-+-+-+…+-)=n+-,
因为n∈N*,所以n+--=1-=>0,所以b1+b2+…+bn>n-.
若选②:
bn=====1->1-=1-,
所以b1+b2+…+bn>n-(-+-+-+…+-)=n-+>n-.2025学年焦作市博爱一中高三年级(上)10月月考
数 学
考生注意:
1.答题前,考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚;
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,在试卷上作答无效;
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设函数,正实数满足,若,则实数的最大值为( )
A. B.4 C. D.
2.若函数,则函数的值域为( )
A. B. C. D.
3.设内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,若的周长为1.则( )
A.1 B. C. D.2
4.若复数且,则满足的复数的个数为( )
A.0 B.2 C.1 D.4
5.已知正方形的边长为2,点P在以A为圆心,1为半径的圆上,则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.在长方体中,,点是线段上靠近的四等分点,点是线段的中点,则平面截该长方体所得的截面图形为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
7.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第行,第列的数记为,比如,,,若,则( )
A.64 B.65 C.71 D.72
8.已知A是函数图象上的一点,点B在直线上,则的最小值是( )
A. B.3 C. D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,若只有2个正确选项,每选对1个得3分;若只有3个正确选项,每选对1个得2分.
9.设函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的图象与函数的图象关于x轴对称
B.函数的图象关于y轴对称
C.函数的图象在上单调递增
D.
10.已知函数,则( )
A.的值域为
B.是周期函数
C.在单调递减
D.的图象关于直线对称,但不关于点对称
11.已知直线:,为坐标原点,则( )
A.直线的倾斜角为
B.过且与直线平行的直线方程为
C.过点且与直线垂直的直线方程为
D.若到直线的距离为,则
三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数,在区间上的单调函数,其中是直线l的倾斜角,则的所有可能取值区间为 .
13.阅读不仅可以开阔视野,还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知,该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时,这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名,该生写作能力被评为优秀等级的概率为 .
14.对于数列,定义为的“优值”,现已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,则 .
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数,且.
(1)求的值;
(2)求不等式的解集.
16.(15分)2023 年,某地为了帮助中小微企业渡过难关,给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额(万元)的频率分布直方图:
(1)确定 的值,并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数(结果保留整数);
(2)按专项贷款金额进行分层抽样,从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家,记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为.
①求的值;
②从这家中小微企业中随机抽取 3 家,求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率.
17.(15分)在锐角三角形中,角的对边分别为,且满足.
(1)若,求的大小;
(2)求的取值范围.
18.(17分)如图,在四棱锥中,,,,,平面.
(1)求证:平面;
(2)求的长;
(3)若,求直线与平面所成角的正弦值.
19.(17分)记Sn为数列{an}的前n项和.已知a3=4a1,=.
(1)求a1,a2,并证明{an}是等差数列;
(2)从下面2个条件中选1个作为本小题的条件,证明:b1+b2+…+bn>n-.
①bn=; ②bn=.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

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