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2024-2025七年级上册数学重难点提升（人教版）
专题突破四：图形类规律探索（20道）
【选填压轴专练】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，这类物质前四种化合物的分子结构模型图如图所示，其中灰球代表碳原子（较大的），白球代表氢原子（较小的）．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（ ）
A．30个 B．32个 C．34个 D．36个
2．下图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中一部分小正方形被涂黑，依此规律，第2023个图案中被涂黑的小正方形个数为（ ）
A．10100 B．10097 C．8080 D．8093
3．如图1，数轴上方有1个方块，记图1共有个方块；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2共有个方块，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3共有个方块；同理，记图4共有个方块．故按照此规律第2024个图中共有方块（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第（ ）个图中“○”的个数是95．
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第10个图案中白色正方形比黑色正方形多（ ）个．
A．43 B．47 C．53 D．57
6．如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图案，若图形中含有22个三角形，则需要火柴（　　）根
A．43 B．44 C．45 D．46
7．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”（包括顶点）有个点，当时，这个图形总的点数S为（ ）
A．8076 B．8077 C．8078 D．8079
8．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2023对应的字是（ ）
A．振 B．兴 C．中 D．华
9．小明用边长相等的等边三角形按如图所示的规律拼摆图案．若用含n的代数式表示第n个图案需要等边三角形的个数，给出下面五个代数式：
①；②；③；④；⑤，上述代数式中，正确代数式的序号有 ．
10．将一列有理数，，，，，，，按如图所示的方式进行排列，则应排在 位置．（填字母）
11．已知有公共端点的射线、、、，若点、、、…，按如图所示规律排列，则点落在线 上．
12．将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图9中木棒的根数是 ．
13．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是 ．
14．如图，下列图案均是长度相同的火柴并按一定的规律拼接而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，第3个图案需21根火柴，…，依此规律，第30个图案需火柴 根．
15．如图是一组有规律的图案，第个图案山个▲组成，第个图案山个▲组成，第个图案由个▲组成，第个图案由个▲组成，第个图案由 个▲组成，…第个图案由 个▲组成．
16．如图，表格列宽相同，行高不同，数一数，图中有 个长方形．
17．黑白两种颜色、大小相同的正方形方砖，按如图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有黑色方砖 个．
18．下列图案是晋商大院窗格的一部分．如图，用“十”分割法分割正方形，看图找规律填空．如果用“十”分割n次，分成小正方形的个数为 个．
19．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ．
20．探究题：如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成8部分，部分1是边长为1的正方形纸片的一半，部分2是部分1面积的一半，部分3是部分2面积的一半，依此类推．
(1)阴影部分的面积是 ；
(2)受此启发，直接写出 ；
(3)直接写出 ．（用含n的式子表示）
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2024-2025七年级上册数学重难点提升（人教版）
专题突破四：图形类规律探索（20道）
【选填压轴专练】
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，这类物质前四种化合物的分子结构模型图如图所示，其中灰球代表碳原子（较大的），白球代表氢原子（较小的）．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（ ）
A．30个 B．32个 C．34个 D．36个
【答案】B
【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．
【详解】解：由图可得，
第1种如图①有4个氢原子，即，碳原子1个，
第2种如图②有6个氢原子，即，碳原子2个，
第3种如图③有8个氢原子，即，碳原子3个，
，
第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：，碳原子10个，
∴第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是32；
故选：B．
2．下图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中一部分小正方形被涂黑，依此规律，第2023个图案中被涂黑的小正方形个数为（ ）
A．10100 B．10097 C．8080 D．8093
【答案】D
【分析】本题是对图形变化规律的探究．观察不难发现，第一个图案是大正方形内涂有阴影的正方形有5个，第二个图案是两个这样的打正方形，但需减去重合的一个涂有阴影的小正方形，依次观察可以写出第个图案的涂有阴影的小正方形的个数，据此可得答案．
【详解】解：由图可得，
第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，
第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
，
第个图案涂有阴影的小正方形的个数为，
当时，，
即第2023个图案中有8093个涂有阴影的小正方形，
故选：D．
3．如图1，数轴上方有1个方块，记图1共有个方块；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2共有个方块，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3共有个方块；同理，记图4共有个方块．故按照此规律第2024个图中共有方块（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，：观察可知，数轴上方的方块数量是从1开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示，据此可得当为偶数时，第n个图的方块数为，代入求解即可．
【详解】解：观察可知，数轴上方的方块数量是从1开始的连续的奇数之和，数轴下方的方块数为连续的偶数之和，且数轴上方的方块数用正数表示，数轴下方的方块数用负数表示，
∴当（k为正整数）时，第n个图的方块数为，
当时，第n个图的方块数为，
∴第2024个图中共有方块为
，
故选：C．
4．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第（ ）个图中“○”的个数是95．
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中“○”的个数得到变化规律为第n个图形中“○”的个数为，再分别求出第9个图形中“○”的个数和第10个图形中“○”的个数即可得到答案．
【详解】解：第1个图形中“○”的个数为，
第2个图形中“○”的个数为，
第3个图形中“○”的个数为
第4个图形中“○”的个数为，
……，
依次类推，第n个图形中“○”的个数为，
∴第9个图形中“○”的个数为，第10个图形中“○”的个数为，
故选：B．
5．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第10个图案中白色正方形比黑色正方形多（ ）个．
A．43 B．47 C．53 D．57
【答案】A
【分析】本题考查了图形类规律的探究．利用给出的三个图形寻找规律，发现白色正方形个数=总的正方形个数-黑色正方形个数，而黑色正方形个数第1个为1，第二个为2，由此寻找规律，总个数只要找到边与黑色正方形个数之间关系即可，依此类推，寻找规律．
【详解】解：第1个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色1个，白色个，
第2个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色2个，白色个，
第3个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色3个，白色个，
依此类推，
……
第n个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色n个，白色个，
∴第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个，
∴第10个图案中白色正方形比黑色正方形多，
故选：A．
6．如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图案，若图形中含有22个三角形，则需要火柴（　　）根
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可知，图形中有n个三角形需要根火柴，据此规律求解即可．
【详解】解：图形中有1个三角形需要3根火柴，
图形中有2个三角形需要根火柴，
图形中有3个三角形需要根火柴，
图形中有4个三角形需要根火柴，
……，
以此类推，可知，图形中有n个三角形需要根火柴，
∴若图形中含有22个三角形，则需要根火柴，
故选：C．
7．如图，有一些点组成形如四边形的图案，每条“边”（包括顶点）有个点，当时，这个图形总的点数S为（ ）
A．8076 B．8077 C．8078 D．8079
【答案】A
【分析】本题考查了图形的变化类问题，通过图形的变化，归纳总结，找到规律是解答本题的关键．
根据图形的变化，当时，图形总的点数为：，由此得到答案．
【详解】解：第1个图形中，每条边上有2个点，共有个点，
第2个图形中，每条边上3个点，共有个点，
…，
∴，
当时，这个图形总的点数为．
故选：A．
8．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2023对应的字是（ ）
A．振 B．兴 C．中 D．华
【答案】D
【分析】本题考查了图形变化的规律型问题，找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得．
【详解】解：由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”字是数字除以4余3的，“振”字是数字能被4整除的，“兴”字是数字除以4余1的，
因为，
所以数2023对应的字“华”，
答案：D．
9．小明用边长相等的等边三角形按如图所示的规律拼摆图案．若用含n的代数式表示第n个图案需要等边三角形的个数，给出下面五个代数式：
①；②；③；④；⑤，上述代数式中，正确代数式的序号有 ．
【答案】①④⑤
【分析】本题考查图形类规律探索，找出变化规律是解题的关键，观察图形可以得到后面的图案比前面的图案多3个，即可求解．
【详解】观察图形可以得到后面的图案比前面的图案多3个，
第个图形为个，
第个图形为个，
第个图形为个，
第个图形为个，
第个图形为个，故④正确，
，故①正确，
又，故⑤正确，
且，故②错误，
，故③错误，
正确的有①④⑤，
故答案为：①④⑤．
10．将一列有理数，，，，，，，按如图所示的方式进行排列，则应排在 位置．（填字母）
【答案】
【分析】本题考查数字类规律探究，根据图形，得到每5个数组成一个数峰，求出的值，确定所在的位置即可．
【详解】解：观察图形可知，每5个数组成一个数峰，
∵，
∴应排在点的位置；
故答案为：．
11．已知有公共端点的射线、、、，若点、、、…，按如图所示规律排列，则点落在线 上．
【答案】
【分析】本题考查图形的变化类．根据图形可以发现点的变化规律，从而可以得到点落在哪条射线上．
【详解】解：由图可得，
到顺时针，到逆时针，每8个点为一周期循环，
，
点落在射线上，
故答案为：．
12．将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图9中木棒的根数是 ．
【答案】37
【分析】本题考查图形的变化类．熟练掌握图形变化规律，列代数式，是解决问题的关键．
根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，
图案①有：根小木棒；
图案②有：根小木棒；
图案③有：根小木棒；
…；
∴第n个图案有：根小木棒．
∴当时，．
∴第⑨个图案有：37根小木棒．
故答案为：37．
13．如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形得出第个图形中圆的个数是，据此即可求解，根据已知图形找到变化规律是解题关键．
【详解】解：由图可得，第个图形中一共有个圆，
第个图形中一共有个圆，
第个图形中一共有个圆，
第个图形中一共有个圆，
，
∴第个图形中一共有个圆，
∴第个图形中圆的个数为，
故答案为：．
14．如图，下列图案均是长度相同的火柴并按一定的规律拼接而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，第3个图案需21根火柴，…，依此规律，第30个图案需火柴 根．
【答案】993
【分析】此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．
根据第1个图案需7根火柴，，第2个图案需13根火柴，，第3个图案需21根火柴，，得出规律第个图案需根火柴，再把30代入即可求出答案．
【详解】解：第1个图案需7根火柴，，
第2个图案需13根火柴，，
第3个图案需21根火柴，，
则第个图案需火柴的根数为，
故第30个图案需要的火柴的根数为：，
故答案为：993．
15．如图是一组有规律的图案，第个图案山个▲组成，第个图案山个▲组成，第个图案由个▲组成，第个图案由个▲组成，第个图案由 个▲组成，…第个图案由 个▲组成．
【答案】
【分析】此题考查规律型：图形的变化类，解题关键在于找到规律，仔细观察图形结合每个图案的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律利用发现的规律求解即可．
【详解】解：观察发现：
第个图案由个▲组成；
第个图案由个▲组成；
第个图案由个▲组成；
第个图案由个▲组成；
∴第个图案由个▲组成；
……
∴第个图案有个▲组成；
当时，，
故答案为：，．
16．如图，表格列宽相同，行高不同，数一数，图中有 个长方形．
【答案】
【分析】本题考查了数长方形的个数，从左往右不重复有，一个小长方形共有个，即可求解；掌握数法，注意不重不漏是解题的关键．
【详解】解：由题意得
长方形的个数为：
（个），
故答案：．
17．黑白两种颜色、大小相同的正方形方砖，按如图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有黑色方砖 个．
【答案】10
【分析】本题考查了图形的变化规律，解决此类题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．观察发现：第1个图里有黑色地砖个；第2个图里有黑色地砖个；第3个图里有黑色地砖个；……由此发现，第n个图形中有黑色地砖个，从而可得答案．
【详解】解：观察发现：第1个图里有黑色地砖个；
第2个图里有黑色地砖个；
第3个图里有黑色地砖个；
……；
由此发现，第n个图形中有黑色地砖个，
则第10个图案中有黑色方砖个．
故答案为：．
18．下列图案是晋商大院窗格的一部分．如图，用“十”分割法分割正方形，看图找规律填空．如果用“十”分割n次，分成小正方形的个数为 个．
【答案】
【分析】此题考查图形类探究，根据图形的变化得到计算规律，分别计算分割一次，两次，三次得到小正方形的个数，发现计算规律，由此得到答案．
【详解】解：分割一次，分成小正方形的个数为，
分割两次，分成小正方形的个数为，
分割三次，分成小正方形的个数为，
分割n次，分成小正方形的个数为，
故答案为：．
19．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ．
【答案】22
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个，
当时，（个），
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．
故答案为：22．
20．探究题：如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成8部分，部分1是边长为1的正方形纸片的一半，部分2是部分1面积的一半，部分3是部分2面积的一半，依此类推．
(1)阴影部分的面积是 ；
(2)受此启发，直接写出 ；
(3)直接写出 ．（用含n的式子表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律．
（1）先求出部分1、2和3的面积，找到规律，根据规律即可求出阴影部分的面积；
（2）用整个正方形的面积减去第7个长方形的面积即可得出答案；
（3）根据前两题将规律整理下来即可．
【详解】（1）解：∵正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
∴图中部分1的面积为，
部分2的面积为：，
部分3的面积为：，
则图中阴影部分面积为：．
故答案为：；
（2）解：由（1）可知，
第n个长方形的面积为，
∴
；
（3）解：根据解析（2）的规律可知，．
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