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苏州市2024-2025学年第一学期初三数学期中模拟卷（1）
（范围：九年级第1、3、4、5章 时间：120分钟 满分：130分）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．甲、乙、丙、丁四名同学参加科技知识竞赛，他们平时测验成绩的平均分相同，方差分别是，，，，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2020 D．2021
6．一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．将抛物线位于直线以下的图象沿直线向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线的交点少于4个，则a的取值范围是（　　）
A．或 B． C． D．或
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9．抛物线的开口_________（填“向上”或“向下”）．
10．一元二次方程的根是_______．
11．如图所示为根据某市某天六个整点时刻的温度绘制成的折线统计图，则这六个整点时刻温度的中位数是_______℃．
12．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系，则代数式的值等于_______．
x … 0 …
y … …
13．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是_______．
14．在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数的图象和函数的图象交于A、B两点（A、B在第一象限），与x轴交于点C，设点C的坐标为，若，则m的值为_______．
15．如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是_______．
16．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为，当时，x的值为_______．
三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（6分）用合适的方法解下列方程：
(1)； (2)．
18．（6分）已知，是方程的两个根；求：
①的值； ②的值．
19．（5分）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
0 2
5
(1)求二次函数的解析式；
(2)求该函数图象与x轴的交点坐标；
20．（6分）足球训练中，小辉从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
21．（7分）2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）．
【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89；
抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
【整理数据】A，B两班的数据整理如下：
A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图 B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图

【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示：
平均数 中位数 众数 方差
A班 88 a 86 104.8
B班 88 87.5 b 106.1
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图；
(2)假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数；
(3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
22．（7分）为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设，某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生、一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等．
(1)若从中只录用一人，恰好录用的是思政专业毕业生的概率是；
(2)若从中录用两人，试用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求出恰好录用的是思政专业研究生和历史专业本科生的概率．
23．（7分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值．
24．（8分）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
(1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率．
(2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像交轴于点和点，交轴于点，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是直线下方抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，点是直线上一点，且在右侧，满足，求周长的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿方向平移2个单位后，得到一个新的抛物线，点为新抛物线上一点，点关于直线的对称点为，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．
26．（10分）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足：，则_______，_______；
(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
(3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
27．（10分）中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平2024年3月20日下午在湖南省长沙市主持召开新时代推动中部地区崛起座谈会并发表重要讲话．他指出，上一次推动中部地区崛起座谈会召开5年来，中部区域经济总体平稳，创新发展动能不断增强，产业基础明显改善，改革开放迈出新步伐，社会事业全面发展，人民生活水平持续提升，绿色低碳转型步伐加快，中部地区发展站到了更高起点上．我们约定：如果两个函数，，存在x取同一个值，使得，那么称，为“平稳函数”，称对应x的值为，的“平稳点”；如果两个函数为，为“平稳函数”，那么的最大值称为，的“崛起值”．
(1)判断函数与是否为“平稳函数”，如果是，请求出时它们的“平稳点”；如果不是，请说明理由；
(2)判断函数与是否为“平稳函数”，如果是，请求出“平稳点”；如果不是，请说明理由；
(3)已知函数与是“平稳函数”，且有唯一“平稳点”．
①求出m的取值范围；
②若它们的“崛起值”为24，试求出m的值．
答案与解析
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．二次函数的图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
∴顶点在第三象限．
故选：C．
2．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【详解】∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．甲、乙、丙、丁四名同学参加科技知识竞赛，他们平时测验成绩的平均分相同，方差分别是，，，，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴成绩最稳定的同学是丙，
故选：．
4．将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得，平移后的抛物线解析式为：，
即：，
故选：B．
5．若关于x的一元二次方程为的解是，则的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2020 D．2021
【答案】A
【详解】解：∵关于x的一元二次方程为的解是，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：画树状图得：
因为共有12种等可能的结果，其中摸出两个红球的有2种情况，
所以摸出1个白球的概率是．
故选：C．
7．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上．
∴，，，
∵，且开口向上，
∴；
故选B．
8．将抛物线位于直线以下的图象沿直线向上翻折所得的图象与不翻折的部分组成新图象，若新图象与直线的交点少于4个，则a的取值范围是（　　）
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【详解】解：如图，
在中，令得，
解得：或，
∴，由图可知，当直线经过B时，新图象与直线的交点有3个，此时，
∴，
当直线为直线时，新图象与直线的交点有3个，
此时有两个相等实数根，即的判别式，
∴，
∴，由图可知，若新图象与直线的交点少于4个，则或，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9．抛物线的开口（填“向上”或“向下”）．
【答案】向下
【详解】解：在抛物线中，，
则抛物线的开口向下，
故答案为：向下．
10．一元二次方程的根是．
【答案】，
【详解】解：
，，
故答案为：，．
11．如图所示为根据某市某天六个整点时刻的温度绘制成的折线统计图，则这六个整点时刻温度的中位数是℃．
【答案】
【详解】解：这六个数据从小到大排列为：，
居于中间的两个数为
∴中位数为，
故答案为：．
12．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系，则代数式的值等于．
x … 0 …
y … …
【答案】
【详解】解：∵时，
∴．
故答案为：．
13．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是．
【答案】
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
，，
，即，
解得：．
原方程有两个不相等的实数根，
，
．
故答案为：．
14．在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数的图象和函数的图象交于A、B两点（A、B在第一象限），与x轴交于点C，设点C的坐标为，若，则m的值为．
【答案】
【详解】解：∵点C的坐标为，
∴点，点；
当时，，
解得，，，
即的图象与x轴交于点和，
则，
∵，∴，
解得或（不合题意，舍去）；
即
故答案为：．
15．如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是．
【答案】/
【详解】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如图所示：
阴影部分面积占正方形面积的，
飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
16．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为，当时，x的值为．
【答案】9 4或11
【详解】解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，
当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值，
即：高为，
∴，
∴当时，，则，
∵等腰直角，
∴，
∴，
∴重叠部分的面积：，
当时，，
解得：（舍去）；
当时，，，
∴，
当时，，
∴（舍去）；
当时，则：，
∴，
当时，，
解得：或（舍掉）；
故答案为：9；4或11．
三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）用合适的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【详解】（1）解：；
整理得：，
，
或，
，；...........................................................3分
（2）解：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．...........................................................6分
18．（6分）已知，是方程的两个根；求：
①的值；
②的值．
【详解】解：①，是方程的两个根，
，
；...........................................................3分
②，是方程的两个根，
，
．...........................................................6分
19．（5分）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
0 2
5
(1)求二次函数的解析式；
(2)求该函数图象与x轴的交点坐标；
【详解】（1）解：由题意，当
∴得．
将点，代入，
得，
解得，二次函数的解析式为；.................................................3分
（2）解：当时，，
解得：或，
该函数图象与轴的交点坐标，；...........................................................5分
20．（6分）足球训练中，小辉从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
【详解】（1）解：根据题意得，抛物线顶点坐标为：，
设抛物的解析式为：，
∴，
解得，
∴；...........................................................3分
（2）解：当时，，
∴球不能射进球门．...........................................................6分
21．（7分）2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级A，B两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用x表示，x都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）．
【收集数据】抽取的A班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为84，86，86，87，88，89；
抽取的B班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
【整理数据】A，B两班的数据整理如下：
A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图 B班学生对两会精神知晓程度的条形统计图

【分析数据】A，B两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示：
平均数 中位数 众数 方差
A班 88 a 86 104.8
B班 88 87.5 b 106.1
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：A班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为________，________，________，请补全条形统计图；
(2)假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数；
(3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义．
【详解】（1）解：抽取的A班学生对于两会精神“了解”的有6人，
非常了解：
圆心角度数：
中位数
B两班的成绩最多的数是98，所以众数为：98
补全条形统计图如图：
...........................................................3分
（2）（人）．
答：估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生有450人．
...........................................................5分
（3）从平均数看，A，B两班学生测试成绩的平均水平一样；从中位数看，B班学生测试成绩的中位数低于A班学生测试成绩的中位数，说明A班的整体水平好一些；从众数看，A班学生测试成绩的众数低于B班学生测试成绩的众数，说明B班学生测试成绩的高分集中趋势高一些；从方差看，A班学生测试成绩的方差低于B班学生测试成绩的方差，说明A班学生测试成绩的波动小一些．
...........................................................7分
22．（7分）为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设，某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生、一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等．
(1)若从中只录用一人，恰好录用的是思政专业毕业生的概率是；
(2)若从中录用两人，试用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求出恰好录用的是思政专业研究生和历史专业本科生的概率．
【详解】（1）解：∵一共有4人，每个人被录取的概率相同，且思政专业毕业生有2人，
∴从中只录用一人，恰好录用的是思政专业毕业生的概率是，
故答案为：；...........................................................3分
（2）解：设思政专业的研究生为A，思政专业的本科生为，历史专业的研究生为B，历史专业的本科生为，
画树状图如图：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好录用的是思政专业研究生和历史专业本科生的结果有2种，
∴恰好录用的是思政专业研究生和历史专业本科生的概率为．
...........................................................7分
23．（7分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值．
【详解】（1）解：，
方程有实数根，
且，
且，
解得且；...........................................................3分
（2）解：根据题意得且，
解得且，
当时，方程的一根是3，把代入方程得，
解得，
此时方程的另一根为，
，
三角形存在；
；
当，
，
方程为．
解得，
一腰长为3，
不合题意，
综上，．...........................................................7分
24．（8分）某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
(1)若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率．
(2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得或（舍去）
答：每次降价的百分率是；...........................................................4分
（2）解：假设下调a个50元，
依题意得，
解得，
∴下调150元，
∴定价为2 750元，
答：每台冰箱的定价应为2750元．...........................................................8分
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像交轴于点和点，交轴于点，连接．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是直线下方抛物线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，点是直线上一点，且在右侧，满足，求周长的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿方向平移2个单位后，得到一个新的抛物线，点为新抛物线上一点，点关于直线的对称点为，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．
【详解】（1）将点和点代入中，得
解得
∴该抛物线的函数表达式为；...........................................................2分
（2）过点E作交的延长线于点F，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴，，，
∴，，
∴
∴周长
∵，
∴当时，的周长最大，最大值为，此时；
...........................................................6分
（3）
∵将抛物线沿方向平移2个单位后，得到一个新的抛物线，
∴抛物线向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∴新的抛物线解析式为，
∵点关于直线的对称点为，，
∴是等边三角形，
设，
当点M在y轴右侧时，如图,过点作于点H，
∴，，
∴，
∴，
∴
解得(负值舍去)；
当点M在点时，点M的纵坐标为，
此时，解得（负值舍去）；
当点M在y轴左侧时，如图，过点作于点H，
∴,
∴
解得(正值舍去)；
当点M在点时，点M的纵坐标为，
此时，解得（正值舍去）；
综上，符合条件的点的横坐标为或或或．
...........................................................10分
26．（10分）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足：，则_______，_______；
(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
(3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根，
∴；
故答案为：；...........................................................2分
（2）由题意，得：，，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
综上：或；...........................................................6分
（3）∵，
∴，
又∵，
∴是一元二次方程的两个实数根，，
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．...........................................................10分
27．（10分）中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平2024年3月20日下午在湖南省长沙市主持召开新时代推动中部地区崛起座谈会并发表重要讲话．他指出，上一次推动中部地区崛起座谈会召开5年来，中部区域经济总体平稳，创新发展动能不断增强，产业基础明显改善，改革开放迈出新步伐，社会事业全面发展，人民生活水平持续提升，绿色低碳转型步伐加快，中部地区发展站到了更高起点上．我们约定：如果两个函数，，存在x取同一个值，使得，那么称，为“平稳函数”，称对应x的值为，的“平稳点”；如果两个函数为，为“平稳函数”，那么的最大值称为，的“崛起值”．
(1)判断函数与是否为“平稳函数”，如果是，请求出时它们的“平稳点”；如果不是，请说明理由；
(2)判断函数与是否为“平稳函数”，如果是，请求出“平稳点”；如果不是，请说明理由；
(3)已知函数与是“平稳函数”，且有唯一“平稳点”．
①求出m的取值范围；
②若它们的“崛起值”为24，试求出m的值．
【详解】（1）∵是经过第一、第三象限的直线，是经过第一、第三象限的双曲线，
∴两函数有公共点，
∴存在x取同一个值，使得，
∴函数与是“平稳函数”；
当时，，
∴，解得或，
∴“平稳点”为或；...........................................................2分
（2）假设函数与是“平稳函数”，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴当时，函数与是“平稳函数”，此时“平稳点”为；当或时，函数与不是“平稳函数”；
...........................................................6分
（3）①∵函数与是“平稳函数”，
∴，
∴，
解得或，
∵时有唯一平稳点，
∴当是唯一平稳点时，，解得，
∴当是唯一平稳点时，，解得，
∴或时，满足题意；
②∵“崛起值”，
∴对称轴为，开口向上，
∴当时，，即对应的点比对应的点到对称轴距离更远，
∴当时，在的有最大值，
∴，
∴或，
∴；
当时，，即对应的点比对应的点到对称轴距离更近，
∴当时，在的有最大值为，
∴，
∴或，
∴；
综上所述：或．...........................................................10分
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