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绵阳市高中2022级第一次诊断性考试
数 学
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
3.已知 ，且满足，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.9
【答案】D
4.某公司根据近几年经营经验得到广告支出与获得利润数据如下：
广告支出/万元 2 5 8 11 15 19
利润/万元 33 45 50 53 58 64
根据表中数据可得利润关于广告支出的经验回归方程为.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（ ）
A. 30万元 B.32万元 C. 36万元 D.40万元
【答案】D
5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6.已知为第一象限角，且 ，则（ ）
A. 9 B.3 C. D.
【答案】B
7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为（是自然对数的底数，为正的常数）.如果前9消除了的污染物，那么消除的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：）
A.33 B.35 C.37 D.39
【答案】C
8.已知函数，，若关于的不等式的整数解有且仅有2个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】导数分析的单调性和极值情况，画出和草图，结合整数解有且只有2个，易知不符合题目条件，当时，同时满足即可，解得，故选A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. B.
C.是等比数列 D.存在大于1的整数，使得
【答案】AB
10.已知函数在上有且仅有4个零点，则（ ）
A.
B.令，存在，使得为偶函数
C. 函数在上可能有3个或4个极值点
D.函数在上单调递增
【答案】ABD
11.已知函数的定义域为，不恒为0，且，则（ ）
A.可以等于零
B.的解析式可以为：
C.曲线为轴对称图形
D.若，则
【答案】BCD
【分析】赋值，则，又不恒为0，∴，A错；B选项中将，代入得，由和差化积公式知显然成立，故B正确；C选项中令，得，的图象关于轴对称，故关于对称，C正确；D选项可通过不断赋值，结合验证得到，故选BCD.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记内角的对边分别为，已知，则 .
【答案】
已知函数，为正的常数，则的零点之和为 .
【答案】
14.若是函数的极大值点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】对函数求导并整理得，显然不符合题意；当时，若时原函数单调递增，无极值，也不符合题意；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时是函数的极小值，不符合题意；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时是函数的极大值，符合题意；故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校的男生、女生各100名.
(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
有意向报考 无意向报考 合计
男学生
女学生
合计
(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关？
参考公式及数据：.
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表如下，用样本估计总体，高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率分别为；(2)
有意向报考 无意向报考 合计
男学生 100 400 500
女学生 100 300 400
合计 200 700 900
(2)，，
∴有90%的把握认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
16.（15分）记内角的对边分别为.已知，且.
(1)求的面积；
(2)若，求.
【答案】(1)；(2)或.
【解析】(2)由(1)可知，即，又，故，从而，
∴，于是，
又，∴，整理化简得
又∵，∴或，解得或.
17.（15分）已知数列满足，且是与的等比中项.
(1)若，求的值；
(2)若，设数列的前项和分别为.
(i)求数列的通项公式；
(ii)求.
【答案】(1)；(2)(i)，(ii)
18.（17分）已知函数.
(1)当时，则过点的曲线的切线有几条？并写出其中一条切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有唯一零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)3条切线，切点为时，切线方程为；
(2)由题，故
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
结合(2)中单调性，易知
当时，在上单调递增，且仅有，故符合题意；
当时，时，有极大值，时，有极小值
故要使有唯一零点，则，即，解得符合题意；
当时，时，有极小值，时，有极大值
故要使有唯一零点，则，即，解得符合题意；
综上所述，的取值范围为.
19.（17分）已知函数，在上的最大值为
(1)求实数的值；
(2)若数列满足，且.
(i)当时，比较和1的大小，并说明理由；
(ii)求证：.
【答案】(1)；(2)(i)，理由如下；(ii)证明过程见解析.绵阳市高中2022级第一次诊断性考试
数 学
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知 ，且满足，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.9
4.某公司根据近几年经营经验得到广告支出与获得利润数据如下：
广告支出/万元 2 5 8 11 15 19
利润/万元 33 45 50 53 58 64
根据表中数据可得利润关于广告支出的经验回归方程为.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（ ）
A. 30万元 B.32万元 C. 36万元 D.40万元
5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
6.已知为第一象限角，且 ，则（ ）
A. 9 B.3 C. D.
7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为（是自然对数的底数，为正的常数）.如果前9消除了的污染物，那么消除的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：）
A.33 B.35 C.37 D.39
8.已知函数，，若关于的不等式的整数解有且仅有2个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知数列的前项和为，且，则（ ）
A. B.
C.是等比数列 D.存在大于1的整数，使得
10.已知函数在上有且仅有4个零点，则（ ）
A.
B.令，存在，使得为偶函数
C. 函数在上可能有3个或4个极值点
D.函数在上单调递增
11.已知函数的定义域为，不恒为0，且，则（ ）
A.可以等于零
B.的解析式可以为：
C.曲线为轴对称图形
D.若，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记内角的对边分别为，已知，则 .
已知函数，为正的常数，则的零点之和为 .
14.若是函数的极大值点，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校的男生、女生各100名.
(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；
有意向报考 无意向报考 合计
男学生
女学生
合计
(2)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关？
参考公式及数据：.
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16.（15分）记内角的对边分别为.已知，且.
(1)求的面积；
(2)若，求.
17.（15分）已知数列满足，且是与的等比中项.
(1)若，求的值；
(2)若，设数列的前项和分别为.
(i)求数列的通项公式；
(ii)求.
18.（17分）已知函数.
(1)当时，则过点的曲线的切线有几条？并写出其中一条切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若有唯一零点，求实数的取值范围.
19.（17分）已知函数，在上的最大值为
(1)求实数的值；
(2)若数列满足，且.
(i)当时，比较和1的大小，并说明理由；
(ii)求证：.

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