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2024-2025学年（上）学期
高三数学试卷
（考试时间:120分钟，满分：150分）
第I卷
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意)
1.已知集合，则集合∩是（　　）
A．{1，2，3} B．{0，1，2} C．{x|-1≤x＜3} D．{1，2}
2.命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3.若，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（ ）
A．13 B． C． D．8
5.已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6.设函数有个不同零点，则正实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
7.已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．“”是“”的充分不必要条件
C．函数的最小正周期是
D．设，则的最小值为
10.函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称轴方程为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
11.已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的图象关于点对称
C． D．
第II卷
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知，则
13.已知函数在上为单调函数，则的取值范围为__________.
14.已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.已知函数．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围．
16.已知函数.
(1) 求的单调区间；
(2)当时，求的值域；
(3)若且，求的值.
17. 已知函数．
(1)若a＝2，求函数在处的切线方程；
(2)若函数的极大值不小于2a，求实数a的取值范围．
18. 已知函数，.
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位,再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围.
19.设是定义域为的函数，当时，.
(1)已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数；
(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.2024-2025学年上学期高三数学试题答案
1.B 2. A 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. D
8.【解析】令，由是定义在上的奇函数，
可得是定义在上的偶函数，
又因为时，，
所以在上是减函数，所以是定义在上的增函数，
[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，
[方法二]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
9.BD 10. ACD 11. BC
11.由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称，
即的图象关于直线对称，则
由，可得，又，
所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数，
所以，即，即函数的周期为4，
由，可得，因为的周期为4，
所以，
则，即，
所以的图象关于点对称，故B正确；
因为的图象关于直线对称，则，
所以，所以，
因为的周期为4，所以的周期也为4.由，
可得，所以，故C正确；
由，可得，所以，
即
，故D错误.
12. 13. 14.
14. 设，则，故，则，又因为，即，所以，，，因为，所以在上恒成立，其中，理由如下：构造，则，令得：，当得：，当得：，故在处取的极小值，也是最小值，，从而得证.
故，故，实数a的取值范围为
15.【详解】
（1）当时，，
且， ------2分
；即；
-———4分
所以在上单调递减，在上单调递增
所以当时，函数的最小值为． ------6分
（2）因为函数在区间上是减函数，
所以在区间上恒成立． -------8分
当且仅当在上恒成立，
则在上恒成立， -------10分
令，，
显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则， -------12分
所以，实数的取值范围为 -------13分
16. 【解析】（1） -------2分
当时，单调递增，
即 --------4分
∴的单调递增区间：
的单调递减区间： --------5分
（2）∵，∴， --------7分
∴， ---------9分
∴的值域为； --------10分
（3）∵， -------12分
∵，∴，
∴， -----13分
∴. ----15分
17. 【解析】
(1)当a＝2时，，则， ------2分
所以， ------3分
所以在处的切线方程为：，即x＋y－2＝0． -----5分
(2)因为函数的定义域为，又． -----7分
①当时，对任意的，，
即函数在上单调递增，此时函数无极值，不合题意，舍去．----8分
②当时，令，得．
当时，，当时，， ----10分
∴函数在单调递增，在单调递减．
函数的极大值，
整理得：． -----12分
令，其中，
因为，所以函数在上单调递增，且．
由可得， -----14分
∴．
故实数a的取值范围是． ------15分
18.
解:（1）
------2分
则的最小正周期为： ------4分
,
，
所以的对称中心的坐标为： ------6分
（2）由题意可知，将函数的图像向右平移个单位得到 -------8分
再向下平移1个单位得到 ------9分
再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到 ------10分
即，
，
， -------11分
可得
------13分
令，
在上单调递减，
所以， ------15分
在上有解，需，
的取值为 ------17分
19. 【详解】（1）不妨设，在区间上严格减，
对任意，有， -----2分
又，
函数在区间上是严格减函数； ------4分
（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，
当在区间上严格减时，在区间上是严格减， ---6分
又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，--7分
因为h′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(＋ax－1)ex－1＝[＋(a＋2)x＋a－1]ex－1. ----8分
因为x＝－2是函数h(x)＝(＋ax－1)ex－1的极值点，
所以－2是＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，
所以a＝－1， ----10分
当时，h′(x)＝(＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.
令h′(x)>0，解得x<－2或x>1，
所以h(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
满足条件，所以. ----12分
（3）当时，
由条件知，
----14分
当时，对任意，有，
即，
又的值域是，， -----15分
当时，对任意，有，
，
又的值域是，， ------16分
综上可知，任意，. ------17分

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