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2024-2025学年第一学期广东省深圳市九年级期末数学模拟试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．
故选C．
2 . 关于的一元二次方程的一个根是-1，则的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
【分析】将代入原方程即可求出结果．
【详解】解：将代入原方程得，解得．
故选：C．
如图，若点，，的在函数的图象上，
则，，的大小关系为（　　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴，两点在第四象限，
∴，
∵函数图象在第四象限内为增函数，
∴．
∴，，的大小关系为．
故选：D．
4 . 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，
那么符合这一结果的试验最有可能的是(　 　)
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6
C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上
D．用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数
【答案】B
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.15到0.20之间波动，即：这个实验的概率大约为0.17，分别计算四个选项的概率，大约为0.17即为正确答案．
【详解】A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为0.17，故本选项符合题意；
C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是=0.25，故本选项不符合题意；
D．由于用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234，324，342，432，
∴排出的数是偶数的概率为：．故本选项不符合题意．
故选B．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【答案】D
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）．
故选：D．
6 . 在同一平面直角坐标系中，函数与 (为常数，且)的图象大致（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．
【详解】解：∵函数与（k为常数，且k≠0），
∴当k＞0时，经过第一、三、四象限，经过第一、三象限，故选项A正确，选项B错误；
当k＜0时，经过第一、二、三象限，经过第二、四象限，故选项C错误，选项D错误，
故选：A．
寒假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：
故选B
如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，
则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
9 . 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设点A的坐标为，．则．
∴点B的纵坐标为．
∴点B的横坐标为．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
．
∴．
故选：D．
10 . 如图，矩形ABCD，，，点M，N分别为边AD和边BC上的两点，且，
点E是点A关于MN所在的直线的对称点，取CD的中点F，连接EF，NF，
分别将沿着EF所在的直线折叠，将沿着NF所在的直线折叠，
点D和点C恰好重合于EN上的点以下结论中：
；；∽；四边形MNCD是正方形；
其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由折叠的性质得到∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，根据平角的定义得到EF⊥NF；故①正确；连接AN，根据轴对称的性质得到∠ANM＝∠ENM，推出∠MNE≠∠CNE；故②错误；根据余角的性质得到∠DFE≠∠NEM，推出△MNE∽△DEF错误，故③错误；设DE＝x，根据相似三角形的性质得到CN＝8，推出四边形MNCD是正方形；故④正确；根据线段的和差得到AM＝6，故⑤错误．
【详解】∵由折叠的性质得，∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，
∵∠DFE+∠GFE+∠GFN+∠CFN＝180°，
∴∠GFN+∠CFN＝90°，
∴∠NFE＝90°，
∴EF⊥NF；故①正确；
连接AN，
∵点E是点A关于MN所在的直线的对称点，
∴∠ANM＝∠ENM，
∴∠ANB＝∠CNE，
而四边形ABNM不是正方形，
∴∠ANB≠∠ANM，
∴∠MNE≠∠CNE；故②错误；
∵∠NEF≠90°，∠DFE+∠DEF＝90°，∠DEF+∠MEN≠90°，
∴∠DFE≠∠NEM，
∴△MNE∽△DEF错误，故③错误；
设DE＝x，
∴BN＝AM＝ ，
∴CN＝14﹣BN＝ ，
∵∠EFD+∠CFN＝∠EFD+∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠CFN，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DEF∽△CFN，
∴ ，
∵F是CD的在中点，
∴CF＝DF＝4，
∴ ，
∴x＝2，x＝﹣16（不合题意舍去），
∴DE＝2，CN＝8，
∴CD＝CN，
∴四边形MNCD是正方形；故④正确；
∵CN＝DM＝8，
∴AM＝6，故⑤错误，
故选B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若是一元二次方程的一个根，则m的值为 ．
【答案】-3
【详解】将x=1代入该方程，得：1+2+m=0，
解得：m=-3．
故答案为-3
12 .如图，一山坡的坡度，小明从A处爬到B处所走的直线距离米，
则他在垂直方向上升的高度CB为 米．
【答案】50
【分析】根据山坡的坡度求出∠BAC，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵山坡的坡度i＝1：，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝×100＝50（米），
故答案为：50．
如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，
使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，
则树的高度为 m.

【答案】7
【详解】设树的高度为m，
由相似可得，
解得，
所以树的高度为7m
如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，
然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，
求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为 ．
【答案】（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．
故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．
15 . 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴，
反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），
则反比例函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式．
【详解】解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得：x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20，
∴反比例函数的解析式为：y＝
故答案为：y＝．
解答题（共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，
第20题9分，第21题8分，第22题9分，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：原式
17 .如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，
求：（1）AO的长；
（2）求S△BOD
【答案】(1)10;(2)18.
【分析】（1）根据相似三角形对应边之比相等可得＝＝，再代入BO＝6可得AO长；
（2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得＝，进而可得S△BOD．
【详解】解：（1）∵△OBD∽△OAC，
∴＝＝
∵BO＝6，
∴AO＝10；
（2）∵△OBD∽△OAC，＝
∴＝
∵S△AOC＝50，
∴S△BOD＝18．
“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，
采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，
可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人
参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）60，10；（2）96°；（3）1020；（4）
【分析】(1)根据基本了解的人数以及所占的百分比可求得接受调查问卷的人数，进行求得不了解的人数，即可求得m的值；
(2)用360度乘以“了解很少”的比例即可得；
(3)用“非常了解”和“基本了解”的人数和除以接受问卷的人数，再乘以1800即可求得答案；
(4)画树状图表示出所有可能的情况数，再找出符合条件的情况数，利用概率公式进行求解即可.
【详解】(1)接受问卷调查的学生共有(人)，，
故答案为60，10；
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数，
故答案为96°；
(3)该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：(人)，
故答案为1020；
(4)由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，
向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）30°；（2）9m．
【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-x=6，
解得：x=9+3．
则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
20 ．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：
如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？
【答案】（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大
【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价.
【详解】（1）根据题意得：w =（25+x-20)(250-10x）
即：w =-10x2+200x+1250或w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）
（2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，
当时，销售利润最大
此时销售单价为：10+25=35（元）
答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．
21. 在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．
如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
求的值；
(2) 如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，
记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），
当时，区域的整点个数为 ；
直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，
直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，
请求出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①，②．
【分析】（）根据点在的图象上，可求出的值；
（）标出区域，再统计区域内的整数点即可；
过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可；
本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．
【详解】（1）∵双曲线经过点，
∴，
即的值为；
（2）当时，由图可知，
上的整点有个，
上的整点有个，
双曲线上段的整点有个，
区域内部的整点有个，
又点，，都被算了次，
所以区域的整点个数为：，
故答案为：；
由题知，，
则不论为何值，时，即直线过定点，
∴，
如图所示，当时，区域内的整点共有个，
又被分成的区域和的整点个数之差不超过，
则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求，
此时，得，
当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，
故当点在直线上方时，即可，
此时，得，
故的取值范围是：．
22.（1）【问题发现】
如图①，在中，，，D为的中点．以为一边作正方形．
点E恰好与点A重合，则与的数量关系为______；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，
，．与的数量关系是否会发生变化？请仅就图②的情形给出证明；
（3）【问题解决】
当正方形旋转到B，E，F三点共线时，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）与的数量关系不会发生变化；证明见解析．
（3）或；
【分析】（1）本题考查勾股定理，正方形的性质，根据勾股定理直接求出，从而得到，结合正方形的性质即可得到即可得到答案；
（2）本题考查解直角三角形的应用及相似三角形判定与性质，根据解直角三角形得到，即可得到，即可得到答案；
（3）本题考查勾股定理的应用及线段的加减，根据题意分点在线段上，当点在线段的延长线上两类讨论求解即可得到答案；
【详解】解：（1），理由如下，
在中，，
根据勾股定理，得，
为的中点，
，
四边形是正方形，
，
，
；
（2）与的数量关系不会发生变化，
证明：在中，，
，
，
，
中，，
，
又，
，即，
，
，
，
与的数量关系不会发生变化；
（3）①当点在线段上时，如题图②．
由题意可知，，
在中，，，
根据勾股定理，得，
，
由（2）知，
；
②当点在线段的延长线上时，
．
同理可得，
，
由（2）知，
，
综上所述，当正方形旋转到B，E，F三点共线时，线段的长为或．
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2024-2025学年第一学期广东省深圳市九年级期末数学模拟试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
2 . 关于的一元二次方程的一个根是-1，则的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．3
如图，若点，，的在函数的图象上，
则，，的大小关系为（　　 ）
A． B． C． D．
4 . 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，
那么符合这一结果的试验最有可能的是(　 　)
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6
C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上
D．用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
6 . 在同一平面直角坐标系中，函数与 (为常数，且)的图象大致（ ）
A．B．C． D．
寒假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，
则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9 . 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，
点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B．2 C． D．
10 . 如图，矩形ABCD，，，点M，N分别为边AD和边BC上的两点，且，
点E是点A关于MN所在的直线的对称点，取CD的中点F，连接EF，NF，
分别将沿着EF所在的直线折叠，将沿着NF所在的直线折叠，
点D和点C恰好重合于EN上的点以下结论中：
；；∽；四边形MNCD是正方形；
其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若是一元二次方程的一个根，则m的值为 ．
12 .如图，一山坡的坡度，小明从A处爬到B处所走的直线距离米，
则他在垂直方向上升的高度CB为 米．
如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，
使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，
则树的高度为 m.

如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，
然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，
求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为 ．
15 . 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BDx轴，
反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），
则反比例函数的解析式为 ．
解答题（共7小题，其中第16题6分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，
第20题9分，第21题8分，第22题9分，共55分）
16. 计算：．
17 .如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，
求：（1）AO的长；
（2）求S△BOD
“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，
采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；
（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，
可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人
参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，
向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
20 ．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：
如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？
21. 在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．
如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
求的值；
(2) 如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，
记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），
当时，区域的整点个数为 ；
直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，
直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，
请求出的取值范围．
22.（1）【问题发现】
如图①，在中，，，D为的中点．以为一边作正方形．
点E恰好与点A重合，则与的数量关系为______；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，
，．与的数量关系是否会发生变化？请仅就图②的情形给出证明；
（3）【问题解决】
当正方形旋转到B，E，F三点共线时，求线段的长．
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