北师大版数学八年级上册 专题一 勾股定理有关的计算与证明 学案(无答案)

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北师大版数学八年级上册 专题一 勾股定理有关的计算与证明 学案(无答案)

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第一章 勾股定理
专题一 勾股定理有关的计算与证明
【知识点】
勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么
即,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理几种表达式: 在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a, b, c, 则(
直角三角形是一类特殊三角形,有着丰富的性质:两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系)、30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系),这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用.
勾股定理只有在直角三角形中才适用,如果不是直角三角形,那么三条边之间就没有这种关系. 在应用勾股定理时,一定要弄清哪条边是直角边,哪条边是斜边.
题型1 勾股定理的验证
【例1】如图①所示,裁剪出若干张大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c.
(1) 拼图一:分别用 4 张直角三角形纸片拼成如图②、图③的形状,观察图②、图③可发现,图②中两个小正方形的面积之和 (填“大于”、 “小于”或“等于”) 图③中小正方形的面积,用关系式表示为 ;
(2) 拼图二:用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状,观察图形可以发现,图中共有 个正方形,它们的面积之间的关系是 ,用关系式表示为 .
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·举一反三
1. 勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时,都可以用“面积法”来证明, 下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放,其中∠DAB=90°,求证:
证明: 连结DB, 过点D作BC边上的高DF, 则DF=EC=b-a.
因为
又因为
所以
所以
请参照上述证法,利用图②完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放,其中∠DAB=90°. 求证:
题型2 “弦图”的应用
【例2】如图所示,在边长为10的正方形ABCD 中,内接有六个大小相同的正方形,点 P,Q,M,N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点,求每个小正方形的面积.
。举一反三。
2. 长方形ABCD中嵌入了如图所示的5个相同的正方形和一个三角形,E,F,G,H分别在长方形的边 AB, BC, CD和DA 上. 已知. 求嵌入的图形总面积.
题型3 利用勾股定理求直角三角形中线段的长
【例3】如图所示,在. 中, D 是斜边AB的中点, E, F分别在边AC, BC上, 若 ,求线段AB的长度.
举一反三。
3. 如图所示,在 中, 点D是AC的中点, 点E在边 BC上, 求AE的长.
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题型4 应用勾股定理求一般三角形中线段的长
【例4】如图所示,在. 中, ,以AC 为边向外作等边 求BD的长.
·举一反三·
4. 如图所示, 在四边形ABCD中, 求 BD的长.
题型5 线段多解求解型问题
【例5】在 中, ,以AB为边向外作等腰直角三角形ABD,求CD的长.
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举一反三。
5.在 中, .以AC为一边,在 的外部作等腰直角三角形ACD,求线段BD的长.
题型6 利用勾股定理求解动点运动问题
【例6】如图所示,等腰三角形ABC的底边 BC为8cm, 腰长为5cm, 一动点 P在底边 BC上从 B向C以0.25cm/s的速度运动. 请你探究:当点P运动多长时间时,点P与顶点A的连线PA 与腰垂直
举一反三。
6. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示,正方形 DEFH的边长为2m,坡角 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE的长为多少时,有
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题型7 特殊角与勾股定理
【例7】如图, 在△ACD中, 中, AB=AC.
(1) 如图①, 若 ,在△ACD外作等边△ADD'.
求证: 求BD的长.
(2) 如图②, 若∠ , 求BD的长.
举一反三。
7.(1)如图①, 中分别以AB,AC为边向外作等腰 和等腰 连接BD, CE, 若 求BD的长.
(2) 如图②, 四边形ABCD中, 连接AC, ( 5,求AD的长.
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题型8 利用勾股定理探索规律
【例8】如图①所示,在 的边 AB 的同侧,分别以三边为直径作三个半圆,大半圆以外的两部分面积分别为 的面积为
如图②所示, 梯形ABCD中, AD∥BC, E为CD的中点, 的面积分别为S ,
如图③所示, 梯形 ABCD 中, , 以 AD, CD, BC 为边的三个正方形的面积分别为
则满足S +S =S 的有 .(填序号并说明理由)
举一反三。
8.(1)如图①所示,分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别为( 试说明 的关系;
(2)如图②所示,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别为 则 有什么关系
(3) 如图③所示,分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个等边三角形,其面积分别为 请确定 的关系.
题型9 问题的证明
【例9】在 中, D为BC的中点, 连 DE, EF.
(1) 如图①所示, 若E, F分别在AB, AC上, 求证:
(2)如图②所示,若E,F分别在BA,AC的延长线上,则(1) 中的结论是否仍成立 请说明理由.
·举一反三。
9. 在等腰直角. 中, P是线段BC上一动点(与点 B,C不重合),连接AP,延长BC至点Q, 使得( 过点Q作 于点 H, 交AB于点M.
(1) 若 求 的大小 (用含α的式子表示).
(2) 用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.
题型 问题的证明
【例10】已知
(1) 如图①所示, 若( 求证:
(2) 如图②所示, 若( 求证:
举一反三。
10. 如图①所示, 在 中, ,D为AB的中点, M, N分别为AC, BC上的点,且.
(1) 求证:
(2)如图②所示, 若M, N分别在AC, CB的延长线上, 探究 CM, CN, BD 之间的数量关系.
题型 问题的证明
【例11】如图所示, 在四边形ABDM中, 以AB为边作等边 BE平分 交CD于点E, 连接EM.
(1) 求 的度数.
(2) 试探究: 线段. 与ME之间的数量关系,并加以证明.
(3)若 求线段EC的长.
举一反三。
11. 已知.
(1) 如图①所示, 若 求证:
(2) 如图②所示, 若( 探究AB, AD, AC 之间的数量关系.
题型12 与线段的平方关系有关的证明
【例12】如图所示, 中, AD是边BC上的中线, 点M在边AB上, 点N在边AC上, 并且 如果 求证:
举一反三。
12. 如图所示, 在 中, D为AB的中点, E, F分别在AC, BC上, 且 求证:
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