第二十八章 锐角三角函数 章末复习 (课件) 2024-2025学年人教版九年级数学下册

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第二十八章 锐角三角函数 章末复习 (课件) 2024-2025学年人教版九年级数学下册

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章末复习
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  通过本章的学习,你收获了哪些知识和方法?各知识点间有什么联系呢?如何运用这些知识和方法解决问题呢?
  本节课将对本章所学进行小结与复习.
想一想
提问
本章我们学习了哪些内容?你能画出本章的知识结构框架图吗?
推进新课
  在 Rt△ABC 中,∠C=90°,锐角 A 的对边与斜边的比,记作 sin A.
正弦
即sin A=       = .
∠A 的对边
斜边
要点1 正弦、余弦、正切的定义.
对边a
C
A
斜边 c
B
邻边b
余弦
cos A=
∠A 的邻边
斜边
在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A的邻边与斜边的比,记作cosA.
对边a
C
A
斜边 c
B
邻边b
正切
在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A的对边与邻边的比,记作tan A.
tan A=
∠A 的对边
∠A 的邻边
对边a
C
A
斜边 c
B
邻边b
要点2 特殊角的三角函数值.
a
2a
a
a
(设最短的边为a)
30°
60°
45°
45°
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
锐角A
锐角
三角函数
要点3 用计算器求锐角三角函数值.
以求sin18°为例.
sin键
输入角度值18°
得到sin18°结果
以求tan30°36'为例.
tan键
输入角度值30°36'或将其化为30.6°
得到tan30°36'结果
要点4 解直角三角形的依据.
  (1)三边之间的关系
     a2+b2=c2(勾股定理) ;
  (2)两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°;
  (3)边角之间的关系
  sin A= ,cos A= ,tan A= .
要点5 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤.
将实际问题抽象为数学问题;
1
根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;
2
得到数学问题的答案;
3
得到实际问题的答案.
4
解析 先根据三角形的面积求出a,再解直角三角形求出∠A,根据三角形内角和定理求出∠B,根据含30°角的直角三角形的性质求出c即可.
考点1 解直角三角形
例 在Rt△ABC中,∠C=90°,b=3,S△ABC=
,解这个直角三角形.
解:如图.
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,b=3,
∴∠B=30°,c=6.
考点2 特殊角及其锐角三角函数的简单应用
例 如图,在四边形ABCD中,AB=2,∠A=∠C=60°,DB⊥AB于点B,∠DBC=45°,求BC的长.
解:如图,过点D作DE⊥BC于点E.
∵DB⊥AB,AB=2,∠A=60°,
∵∠DBC=45°,DE⊥BC,
∴BD=AB·tan60°=2 .
∵∠C=60°,∠DEC=90°,
∴BE=DE=BD·sin45°= .
1.已知□ ABCD中,AB=a,BC=b,锐角B=α,则用a,b,α表示 □ABCD的面积为 .
基础巩固
absinα
随堂演练
2.如图,两建筑物的水平距离BC为32.6 m, 从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为45°,求这两个建筑物的高度(结果保留根号).
解:如图,AE=BC=32.6.
在Rt△ACE中,∠CAE=45°,∴CE=AE=32.6.
∴AB=CE=32.6(m),CD=CE-DE=
在Rt△ADE中,∠DAE=30°,
∴ED=AE·tan30°
综合应用
3.如图,在某海滨城市O附近海面有一股台风,据监测,当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北25°的PQ方向移动,台风侵袭范围是一个圆形区域,当前半径为60km,且圆的半径以10km/h的速度不断扩张.
(1)当台风中心移动4h时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 km;当台风中心移动t h时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到 km;
100
(60+10t)
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时,这股台风是否侵袭这座海滨城市?请说明理由(参考数据
≈1.41, ≈1.73).
解:过O作OH⊥PQ于H.
∠OPH=70°-25°=45°,OP=200.
此时受台风侵袭的圆形区域半径约为60+10×7.05
=130.5km<141km,这股台风不侵袭这座海滨城市.
∴PH=OH=OP·sin45°=200×
=100 ≈141(km).
台风从P到H用的时间约为 =7.05(h).
锐角三角函数
直角三角形中的边角关系
锐角三角函数
解直角三角形
实际问题
课堂小结
对边a
C
A
斜边 c
B
邻边b
拓展延伸
如图,在锐角△ABC中,求证: .
(提示:分别作AB和BC边上的高)
证明:过A作AD⊥BC于D,过C作CE⊥AB于E.
在Rt△ABD中,
AD=AB·sinB=c·sinB.
在Rt△ACE中,
CE=AC·sinA=b·sinA.
又∵
同理
1.从课后习题中选取;
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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