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专题二 实数
【知识点】
实数包括有理数(有限小数和无限循环小数) 和无理数(无限不循环小数).每一个实数都可以用数轴上的点来表示：反之，每一个数轴上的点都表示一个实数. 在实数范围内，可进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，实数的运算法则与有理数的运算法则相同.
有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数； 而无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数.
在实数中，有三类数是“非负数”：实数的绝对值、实数的偶次方特别是实数的平方以及算术根，它们都不能是负数. 在解答与实数有关的问题时，要注意利用这些数的非负性来解题. “非负数”有一个常用的性质：如果若干个非负数的和为0，那么每个非负数都是0.
题型1 实数与数轴
【例1】如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和. 点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为 ( )
·举一反三。
1. 如图所示，数轴上A，B两点分别表示实数1， ，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为 ( )
题型2 根据数轴上字母点的位置化简求值
【例2】已知实数a, b, c在数轴上的位置如图所示, 化简|a+1|+|b-1|--|a+b|+|b-c+4|.
·举一反三。
2. a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简
题型3 实数的计算
【例3】计算:
。举一反三。
3. 计算:
考点4 确定实数的整数部分与小数部分
【例4】阅读下面的文字，解答问题.
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
请回答：
①写出 的整数部分和小数部分；
②已知： 其中x是整数，且0·举一反三。
4. (1) 观察例题:
因为 即 所以 的整数部分为2，小数部分为
请你观察上述的规律后试解下面的问题：
如果 的小数部分为a， 的小数部分为b，求a，b的值；
(2) 若实数 的整数部分是3，则k的取值范围是 ；
(3) 若 估计m的范围为 ， 整数部分为 ， 小数部分为 .
考点5 运用求差法与平方法比较实数的大小
【例5】比较 与 的大小.
举一反三。
5. 比较 与 的大小.
考点6 利用估值求值
【例6】已知a, b为有理数, m, n分别表示. 的整数部分和小数部分，且 试求a+b的值.
。举一反三。
6. 已知a, b为有理数, m, n分别表示 的整数部分和小数部分，且 求 的值.
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考点7 实数的探究题
【例 7】观察下列各式的规律： …·依此规律，若 则.
。举一反三。
7. 观察下列式子： 根据此规律，若 则
考点8 根据非负数之和为零化简求值
【例8】已知a, b, c都是实数, 且满足 且 求代数式 的值.
·举一反三。
8. 已知实数a, b, c满足 求代数式 的值.
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考点9 运用有理数与无理数四则运算性质化简求值
【例9】已知a, b为有理数, 且 求a-b的值.
。举一反三。
9. 求满足 的自然数a, x, y的值.
考点10 实数综合题
【例10】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如 现对72进行如下操作： 这样对 72 只需进行 3 次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
·举一反三。
10. 设[x) 表示大于x的最小整数, 如| ，则下列结论中正确的是 .(填写所有正确结论的序号).
①[0) =0; ②[x) -x的最小值是0; ③[x) -x的最大值是0; ④存在实数x, 使[ 成立.

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