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专题三 二次根式的性质和运算
【知识点】
1. 二次根式的性质
性质1：式子 既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根，所以 具有双重非负性：(1) a≥0; (2) ≥0.
性质2： 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
性质3：
2. 常用的二次根式运算法则
3. 二次根式的运算
二次根式的混合运算，应先确定运算顺序：先算乘除，再算加减，有括号的应先算括号里面的. 在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用. 其中，分母有理化，是化简根式及根式运算中最为基本的一步.
分母有理化常规方法：
(1) 分母是单项式： 的有理化因式是 . 即:
(2) 分母是多项式： 的有理化因式是 即：
(3) 也可以通过类似分式中的“约分”进行分母有理化，如
题型1 确定式子中被开方数字母的取值范围
【例1】求当下列式子有意义时，x的取值范围.
·举一反三。
1. 求当下列式子有意义时，x的取值范围.
题型2 的“双重非负性”
【例2】(1) 已知 求x+y的值.
(2) 若 求 的值.
·举一反三。
2. (1) 已知 求x, y的值.
(2)x, y为实数, 且满足 求 的值.
题型3 最简二次根式与同类二次根式
【例3】已知a, b是正整数, 求a+b的值.
·举一反三·
3. 最简二次根式 与 能否是被开方数相同的二次根式 若能，求出y的值；若不能，请说明理由.
题型 的运用
【例4】(1) 如果式子. 化简的结果是2x-3，则x的取值范围是 ( )
A. x≤1 B. x≥2 C. 1≤x<2 D. x>0
(2) 把 根号外的因式移到根号内，结果为 ( )
·举一反三·
4. (1) 若代数式 的值是常数2，则a的取值范围是 .
(2) 若a<0, 则
题型 的运用
【例5】已知△ABC的三边a, b, c满足关系式 试求△ABC的周长.
·举一反三。
5. 若 求a, b, c的值.
题型6 分母有理化
【例6】化简:
举一反三。
6. 化简:
题型7 条件二次根式的化简求值
【例7】设 化简
举一反三。
7. 已知 求 的值.
题型8 整体代入法求值
【例8】 设 求 的值.
8. 已知 求代数式 的值.
题型9 利用隐含条件求值
【例9】已知 求 的值.
举一反三。
9. 已知 求 的值.
题型10 复合二次根式的化简
【例10】先阅读下面的材料，然后作答.
阅读材料：形如 的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使( 这样 那么便有
例如：化简 首先把 化为 这里
由于 即 所以
试用上述例题的方法化简：(1) -2 ; (2) - ; (
。举一反三。
10. 阅读下列材料，再解决问题.
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号.
例如：
解决问题：
(1) 在括号内填上适当的数：
(2) 根据上述思路，化简

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