八年级上册数学北师大版 第一章 专题二 勾股定理的逆定理 学案(无答案)

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八年级上册数学北师大版 第一章 专题二 勾股定理的逆定理 学案(无答案)

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专题二 勾股定理的逆定理
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c满足 那么这个三角形是直角三角形.
2. 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形的步骤:
①首先确定最大的边(设为c);
②验证c .与 是否具有相等关系,若 那么△ABC是以∠C为直角的直角三角形; 若 那么△ABC不是直角三角形.
3. 勾股数:
勾股数又称勾股弦数,是指能够成为直角三角形三条边长的三个整数.
常见的勾股数有 3, 4, 5; 5, 12, 13; 6, 8, 10; 7, 24, 25; 8, 15, 17; 9, 12, 15; 9, 40, 41等,勾股数组有无数个,比如3,4,5三个整数的正整数倍都是勾股数.
熟悉常见的勾股数,有助于判断一个几何图形中有无直角三角形,为解题带来方便.
题型1 用三角形三边关系判定是否是直角三角形
【例1】在△ABC中, 其中m, n是正整数, 且m>n. 试判断△ABC是否是直角三角形.
举一反三。
1. 已知三角形的三边分别为a, b, c, 且(
(1) 这个三角形一定是直角三角形吗 为什么
(2)试给出一组直角三角形的三边的长,使它的最小边不小于20,另两边的差为2,且三边均为正整数.
题型2 勾股数的概念
【例2】阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数. 世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为:
其中m>n>0, m, n是互质的奇数.
应用:当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.
举一反三。
2. 观察下面的表格给出的三个数a, b, c, a3, 4. 5 3 +4 =5
5, 12, 13 5 +12 =13
7, 24, 25 7 +24 =25
9, 40, 41 9 +40 =41
… …
21, b, c 21 +b =c
(1) 试找出它们的共同点,并证明你的结论;
(2) 当a=21时, 求b, c的值.
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题型3 用计算的方法进行证明
【例3】如图所示,在 中,已知 D是AC上的一点,
(1) 证明: 是直角三角形;
(2) 试求: 的面积.
举一反三。
3. 如图所示, 为等腰直角三角形, 且. AD为中线.
求证:
(2) AD平分.
题型4 应用勾股定理的逆定理求角的度数
【例4】如图所示, 等边三角形ABC内有一点P, 若点 P到顶点A, B, C的距离分别为3,4, 5, 求 的度数.
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第一章 勾股定理
举一反三。
4. 如图所示,P是等边三角形ABC外一点,. 求 的度数.
题型5 应用勾股定理的逆定理求线段的长
【例5】如图所示,在 中, BC边上的中线. 求 BC的长.
·举一反三。
5. 如图所示,在 中,D是BC边上一点, 已知 求CD的长.
题型6 探究直角三角形存在的条件
【例6】如图①所示, 在1 中, 点 D, E 在直线BC 上, 且. 求证:
【阅读理解】要证明 可设法将 BD,CE,DE 转化为某直角三角形的三边即可. 故过A作AF⊥AD, 且AF=AD, 连接CF, EF, 再通过证明 即可将BD,CE,DE三边转化到直角. 中,解决问题.
【拓展应用】如图②所示,若 其他条件不变,请探究:以线段BE,CD,DE的长度为三边长的三角形是何种三角形 并说明理由.
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举一反三。
6. 已知 为等腰直角三角形, 点 B为NM延长线上一点, 且
(1) 如图①所示, 连接CN, 求证:
(2) 如图②所示, 作 的平分线交MN于A,求证:
(3) 如图③所示, 在(2) 的条件下, 过A作 于 E, 过B作 于F, EA, BF的延长线交于P,请探究:以线段AE,BF,AP的长度为三边长的三角形是何种三角形 并说明理由.
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题型7 勾股定理 (逆定理) 与网格作图
【例7】如图所示,将 放在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,点B,点C均落在格点上.
(1) 计算. 的值等于 .
(2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以AB为一边的矩形,使该矩形的面积等于 并简要说明画图方法(不要求证明).
·举一反三。
7. 在数学活动课上,老师要求在: 的正方形ABCD 网格中(小正方形的边长为1)画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与AB或AD都不平行. 试画出四种图形,并直接写出其周长.

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