资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台突破14 角平分线(一) 性质与判定类型一 知角平分线,求最值1.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BG 平分∠ABC,交AC 于点G,若CG=1,P 为AB 上一动点,则GP 的最小值为 .类型二 知角平分线,求周长2.如图,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD 平分∠BAC 交BC 于点 D,在AB 上截取AE=AC,则△BDE的周长为( )A.8 B.7 C.6 D.5C类型三 知角平分线,求线段长3.如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC 的角平分线交AC 于点D,DE⊥BC 于点E,若△ABC 与△CDE 的周长分别为24和12,则 AB 的长为( )A.10 B.16 C.8 D.6类型四 知角平分线,求面积4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD 平分 交BC于点D,E 为AB 的中点,连接DE.若AB=24,CD=6,则△DBE 的面积为 .5.如图,在 中,AD 是角平分线,BE 是 的中线.若 的面积是2.5,AB=5,AC=3,则△ABC的面积是( )A.5 B.6.8 C.7.5 D.86.如图,在△ABC中,AB=2AC,AD 平分∠BAC,延长AD 至点E,使 DE=AD,连接 BE.若 则△ABC 的面积为( )A.12 B.16 C.18 D.20类型五 知线段关系,证角平分线7.如图,A,B 两点分别在射线OM,ON 上,点C 在∠MON 的内部,且AC=BC,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE.(1)求证:OC 平分∠MON;(2)若AD=3,BO=4,求 AO 的长.类型六 知角平分线,证角平分线8.如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与外角∠ACN 的平分线交于点D,过点D 作DE⊥BN 于点E,连接AD.(1)求证:AD 平分外角∠CAM;(2)若△ABC周长为20,求BE的长.突破 15 角平分线(二) 面积法类型一 求线段长1.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,点I 为△ABC 各内角平分线的交点,过点 I 作AC 的垂线,垂足为H,若BC=3,AB=4,AC=5,则IH 的长为( )A.1 B. C.22.如图,在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,∠BAC=90°,AD 平分∠BAC.求DC 的长.3.如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的高,AE 是∠BAD 的角平分线,F 为AE上一点,连接 BF,且∠BFE=45°.(1)求证:BF 平分∠ABE;(2)连接CF 交AD 于点G,若 求证:∠AFC=90°;(3)在(2)的条件下,当BE=3,AG=4.5时,求线段AB 的长.4.如图,AD 为 的角平分线,且 ,则 BD 的长为( )A.7.5 B.5 C.7.2 D.6类型二 求线段比5.如图,在 中, 的角平分线AD 交 BC 于点 D,E 为AD 的中点.连接BE,F 为BE上一点,且. 若 则 的值为 .6.如图,在 中,AB=nAC,AD,AE分别为 的角平分线、中线,若 则 n 的值为( )B.4突破16 角平分线(三) 隐角平分线类型一 知两条,隐一条1.如图,在∠AOB 的边OA,OB 上分别取点M,N,连接MN,MP 平分∠AMN,NP 平分∠MNB.若 则OM+ON 的长是 .类型二 知一条,隐两条2.如图,在四边形 ABCD 中,∠ACB=54°,∠BAC=64°,对角线 BD平分∠ABC,∠BCD+∠DCA=180°,则∠ADC 的度数为 .3.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 BD 平分∠ABC,若∠CAB=100°,∠CAD=40°,则∠CDB 的度数为 .4.如图,点A,B 在坐标轴上,∠ABO 的平分线经过点D(2,-2),且与x 轴交于点C.(1)求证:AD 平分△OAB 的外角;(2)求证:OA-OB+AB=4.突破 17 角平分线(四) 对称型全等类型一 找对称全等1.如图,在四边形 ABCD 中,E,F 分别是边AB,AD 上一点,CD=CE,∠BEC=∠D,∠BAD+∠BCF=180°.(1)求证:EB=DF;(2)连接AC,若CA 平分∠BCF,求证:AB=AF.类型二 作垂构对称全等2.如图,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D,点E 在AB 的延长线上,且满足∠ADE+∠CAB=180°.若AC=6,BE=2,则线段 AB 的长为 .类型三 截长补短构对称全等3.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB,AD,CE 相交于点P.(1)求∠CPD 的度数;(2)若AE=3,CD=7,求线段 AC 的长.4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,E 是AD 上一点,∠BAD+∠EBC+∠ACE=90°.在AB 边上取点 F,使AF=AC.(1)求证:∠FEC+2∠EBC=180°;(2)求证:BE 平分∠ABC.类型四 延长垂线段(角分垂)构对称全等5.如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BD 平分∠ABC,CE⊥BD 于点E,若BD=8,则 CE 的长度为 .6.如图,AD,BE 是△ABC 的角平分线,EF⊥AD,垂足为F,当AD⊥BC时,求证:CE=2EF.类型五 隐角平分线构对称全等7.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,过点 A 作MN⊥AD,E 是直线MN上异于点A 的一点,连接BE,CE,求证:AB+AC突破 14 角平分线(一)性质与判定1.1 解:过点 G 作GH⊥AB 于点 H.∵GB 平分∠ABC,∠C=90°,即 GC⊥BC,∴GH=GC=1,根据垂线段最短可知,GP 的最小值为1.2. B 解:∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠EAD=∠CAD.∴△ADE≌△ADC(SAS),∴ED=CD,∴BC=BD+CD=DE+BD=5,∴△BDE 的周长=BE+BD+ED=(6-4)+5=7.故选 B.3. D 解:∵∠BAC=90°,BD 平分∠ABC,DE⊥BC,∴AD=DE.在 Rt△ABD 和 Rt△EBD 中,∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL),∴AB=BE.∵△ABC 与△CDE 的周长分别为24 和12,∴AB+BC+AC=AB+AC+BE+EC=24,DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=12,∴AB+BE=12,∴AB=BE=6.故选 D.4.36 解:过点 D 作DF⊥AB 于点F.∵∠C=90°,∴DC⊥AC.∵AD 平分∠BAC,CD=6,∴DF=CD=6.∵E为AB 的中点,AB=24,∴BE=12,∴△DBE 的面积 故答案为36.5. D 解:过点 D 作 DF⊥AB,DG⊥AC,垂足分别为F,G.∵AD是角平分线,∴DF=DG.∵BE 是△ABD的中线,∴S△ABD=5.设 DF=DG=h.∵AB=5,∴DF=2,∴DF=DG=2.∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,AC=3,故选 D.6. C 解:过点分别 D 作 DG⊥AB 于点G,DF⊥AC 于点F.∵AD 是∠BAC 的平分线,DG⊥AB,DF⊥AC,∴DG=DF.∵AB=2AC,∴S△ABD=2S△ACD.∵AD=DE,∴S△ABD=S△BDE=12,∴S△ACD=6,18.故选 C.7.解:(1)∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴∠ADC=∠CEB=90°,∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL),∴CD=CE,∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴OC 平分∠MON;(2)∵AD=3,∴BE=AD=3,∵BO=4,∴OE=OB+BE=4+3=7,∵CD⊥OM,CE⊥ON,∴∠CDO=∠CEO=90°,∴Rt△DOC≌Rt△EOC(HL),∴OD=OE=7,∵AD=3,∴OA=OD+AD=7+3=10.8.解:(1)过点 D 分别作 DP⊥AB 于点P,DQ⊥AC 于点Q.∵DE⊥BC,BD 平分∠ABC,CD平分∠ACE,∴DP=DE,DQ=DE,∴DP=DQ,∴AD平分∠CAM;(2)由(1)知 DP=DQ,在 Rt△ADQ和 Rt△ADP 中,∴Rt△ADQ≌Rt△ADP(HL),∴AP=AQ,同理得 BP=BE,CQ=CE.∵△ABC 的周长=AB+BC+AC=20,∴AB+BC+AP+CE=20.∵AB+AP=BC+CE,∴BC+CE=10,即BE=10.突破15 角平分线(二) 面积法1. A 解:连接 IA,IB,IC,过点 I 作IM⊥AB 于点M,IN⊥BC于点N,∵点 I 为△ABC 各内角平分线的交点,IM⊥AB,IN⊥BC,IH⊥AC,∴IH=IM=IN,∵AB=4,BC=3,∠ABC=90°, =6,∵AB=4,BC=3,AC=5,IH=IM=IN,5IH,∴IH=1,故选 A.2.解:过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,DG⊥AC于点G,∵AD 为∠BAC 的平分线,DF⊥AB,DG⊥AC,∴DF=DG,2DF,3: 4,3:4,3.解:(1)∵AE 是∠BAD 的角平分线,∴∠BAD=2∠BAF.∵∠BFE=45°,∴∠FBA+∠BAF=45°,∴2∠FBA+2∠BAF=90°.∵AD 为BC 边上的高,∴∠EBF + ∠FBA + 2∠BAF =90°,∴2∠FBA=∠EBF+∠FBA,∴∠EBF=∠FBA,∴BF平分∠ABE;(2)过点 F 作 FM⊥BC 于点 M,FN⊥AB 于点 N.∵BF 平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,∴FM=FN.即∴AB=BC,∴△ABF≌△CBF(SAS),∴∠AFB=∠CFB.∵∠BFE=45°,∴∠AFB=135°,∴∠CFB=135°,∴∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°∴∠AFC=90°;(3)∵△ABF≌△CBF,∴AF=FC.∵∠AFC=∠ADC=90°,∠AGF=∠CGD,∴∠FAG=∠FCE,∴△AFG≌△CFE(ASA),∴AG=EC=4.5.∵BE=3,∴BC=BE+EC=7.5,∴AB=BC=7.5.4. D 解:过点 D 分别作 DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点 F,过点 A 作AH⊥BC于点 H.∵AD平分∠BAC,∴DE=DF,又·故选 D.5. 解:∵BF=2EF,S△DEF=2,∴S△BDE=3S△DEF=3×2=6,∵E 为AD 的中点,∴S△ABD=2S△BDE=2×6=12,∵S△ABC=21,∴S△ACD=21-12=9,过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥AC 于点N,∵AD 是∠BAC 的角平分线,∴DM=DN,故答案为6. A 解:过点 D 作 DM⊥AB 于点M,DN⊥AC 于点N,过点 A 作AF⊥BC于点F,∵AD平分∠BAC,∴DM=DN,设 AC=a,DE=2x,则AB= an,BC=7x,∵E 为BC的中点,∴CE=BE=3.5x,∴BD =BE+DE =3.5x+2x=5.5x,CD=CE-DE=3.5x-2x=1.5x,解得 故选 A.突破 16 角平分线(三)隐角平分线1.5 解:过点 P 作PE⊥OB,垂足为E,作 PF⊥MN,垂足为 F ,作 PG⊥OA,垂足为G,连接OP.∵P 是△MON 外角平分线的交点,∴PF=PG=PE.∵MN=1,△PMN 的面积是1,∴PF=2,∴PG=PE=2.∵△OMN 的面积是4,∴OM+ON=5.故答案为5.2.59° 解:过点 D 作DE⊥BA,DF⊥BC,DG⊥AC,垂足分别为 E,F,G,则∠AED=∠DFC=90°.∵BD平分∠ABC,∴DE=DF.∵∠BCD+∠DCA =180°,∠BCD+∠DCF=180°,∴∠DCF=∠DCA,∴CD平分∠ACF,则 DG=DF=DE,∴AD 平分∠EAC,∴∠DAE=∠DAG.∵∠ACB = 54°, ∠BAC = 64°,∠BAC+∠EAG=180°,∠ACB+∠ACF=180°,∴∠ADC=180°-∠DAG-∠ACD=59°.3.50°解:过点 D 分别作 BA,BC,AC 的垂线,垂足分别为 F,E,G.∵∠CAB=100°,∠CAD=40°,∴∠DAF=40°,∴AD平分∠FAC.又 BD平分∠ABC,∴DF=DG=DE,∴CD 平分∠ACE,由三角形内、外角平分线模,型知4.证明:(1)过点 D 作 DE⊥y 轴于点E,作 DH⊥x 轴于点 H,作 DF⊥BA,交 BA 的延长线于点F,∴∠DEB = ∠AHD = ∠AFD =90°.∵D(2,-2),∴DE=DH=2.∵BD 平分∠ABO,∴DE=DF=2,∴DH=DF,∴Rt△AHD≌Rt△AFD(HL),∴∠HAD=∠FAD,∴AD 平分∠OAF,即 AD 平分△OAB的外角;(2)设AF=x,则AH=x.∵DE=2,DH=2,∴OH=2,OE=2.可证△BDE≌△BDF,∴BE=BF.∵BF=AB+AF=AB+x,BE=OB+OE=OB+2,即AB+x=OB+2.∵OA=AH+OH=2+x,∴x=OA-2,∴AB+x=AB+OA-2=OB+2,∴AB+OA-OB=2+2=4.突破 17 角平分线(四)对称型全等1. 证明:(1)∵∠BAD + ∠BCF =180°,180°,∵∠AFC+∠DFC=180°,∴∠B=∠DFC,又∵CD=CE,∠BEC=∠D,∴△BCE≌△FCD(AAS),∴EB=DF;(2)由(1)可知,△BCE≌△FCD,∴BC=FC,∵CA 平分∠BCF,∴∠BCA=∠FCA,∴△ABC≌△AFC(SAS),∴AB=AF.2.10 解:延长AD 到点M,过点 D 作DH⊥AB 于点 H.∵AD 平分∠CAB,∴∠DAC=∠DAH.∵∠C=∠AHD,AD=AD,∴△ADC≌△ADH(AAS),∴AC=AH=6.∵∠ADE+∠CAB=180°,∠ADE+∠EDM=180°,∴∠EDM=∠CAB.∵∠EDM = ∠DAE + ∠DEA =∠DAE+∠CAD,∠CAD=∠DAB,∴∠DAB=∠E,∴DA=DE.∵DH⊥AE,∴AH=HE=6.∵BE=2,∴BH=4,∴AB=10,故答案为10.3.解:(1)∵AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB,∵∠PAC + ∠ACP + ∠APC =180°,即 ∠APC=180°,∵∠BAC+∠ACB=180°--∠B=120°,∴∠APC=120°,(2)过点 P 作∠APC 的平分线交AC于点 M,则∠APE=∠APM=∠CPM=∠CPD=60°,则 △APE ≌ △APM,△CPM ≌△CPD,∴AE=AM,CD=CM,∴AC=AM+CM=AE+CD=3+7=10.4.证明:(1)设∠BAD=∠CAD=x°,易证△AEF≌△AEC(SAS),∴∠AFE=∠ACE=y°,∵x+y+α=90,∴∠FEC+2∠EBC=2x°+2y°+2α=180°;(2)在 BC 的延长线上取点G,使 EG=EB,∴∠BEG=∠FEC=180°—2α.易证△FBE≌△CGE(SAS),∴∠FBE=∠CGE=∠EBC=α,∴BE平分∠ABC.5.4 解:延长 BA,CE 交于点 F,则△BEF≌△BEC(ASA),易得△ABD≌△ACF(ASA),∴CF=BD=8,6.证明:延长EF 交AB 于点I.∵EF⊥AD,AD 是△ABC 的角平分线,∴∠IAF=∠EAF,∠AFI=∠AFE=90°.∵AF=AF,∴△AFI≌△AFE(ASA),∴FI=FE,AI=AE,∴IE=2EF.同理可证△ABD≌△ACD,∴AB=AC,∴AB-AI=AC-AE,∴BI=CE.∵AD⊥BC,EF⊥AD,∴EF∥BC,∴∠FEB=∠CBE.∵BE 是△ABC 的角平分线,∴∠IBE=∠CBE,∴∠IBE=∠IEB,∴BI=IE=CE,∴CE=2EF.7.证明:延长 BA 至点F,使AF=AC,连接 EF.∵MN⊥AD,∴∠MAD=∠NAD=90°,∴∠BAM + ∠BAD = ∠CAD +∠CAN.∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠BAM=∠CAN.∵∠BAM=∠EAF,∴∠EAF=∠CAN,∴△ACE≌△AFE(SAS),∴EF=EC,AF=AC.∵BF∴AB+AF∴AB+AC 展开更多...... 收起↑ 资源预览