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突破14 角平分线(一) 性质与判定
类型一 知角平分线，求最值
1.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BG 平分∠ABC,交AC 于点G,若CG=1,P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为 .
类型二 知角平分线，求周长
2.如图,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD 平分∠BAC 交BC 于点 D,在AB 上截取AE=AC,则△BDE的周长为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
C
类型三 知角平分线，求线段长
3.如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC 的角平分线交AC 于点D,DE⊥BC 于点E,若△ABC 与△CDE 的周长分别为24和12,则 AB 的长为( )
A.10 B.16 C.8 D.6
类型四 知角平分线，求面积
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD 平分 交BC于点D,E 为AB 的中点,连接DE.若AB=24,CD=6,则△DBE 的面积为 .
5.如图,在 中,AD 是角平分线,BE 是 的中线.若 的面积是2.5,AB=5,AC=3,则△ABC的面积是( )
A.5 B.6.8 C.7.5 D.8
6.如图,在△ABC中,AB=2AC,AD 平分∠BAC,延长AD 至点E,使 DE=AD,连接 BE.若 则△ABC 的面积为( )
A.12 B.16 C.18 D.20
类型五 知线段关系，证角平分线
7.如图,A,B 两点分别在射线OM,ON 上,点C 在∠MON 的内部,且AC=BC,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE.
(1)求证:OC 平分∠MON;
(2)若AD=3,BO=4,求 AO 的长.
类型六 知角平分线，证角平分线
8.如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与外角∠ACN 的平分线交于点D,过点D 作DE⊥BN 于点E,连接AD.
(1)求证:AD 平分外角∠CAM;
(2)若△ABC周长为20,求BE的长.
突破 15 角平分线(二) 面积法
类型一 求线段长
1.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,点I 为△ABC 各内角平分线的交点,过点 I 作AC 的垂线,垂足为H,若BC=3,AB=4,AC=5,则IH 的长为( )
A.1 B. C.2
2.如图,在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,∠BAC=90°,AD 平分∠BAC.求DC 的长.
3.如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的高,AE 是∠BAD 的角平分线,F 为AE上一点,连接 BF,且∠BFE=45°.
(1)求证:BF 平分∠ABE;
(2)连接CF 交AD 于点G,若 求证:∠AFC=90°;
(3)在(2)的条件下,当BE=3,AG=4.5时,求线段AB 的长.
4.如图,AD 为 的角平分线，且 ,则 BD 的长为( )
A.7.5 B.5 C.7.2 D.6
类型二 求线段比
5.如图,在 中， 的角平分线AD 交 BC 于点 D,E 为AD 的中点.连接BE,F 为BE上一点,且. 若 则 的值为 .
6.如图,在 中,AB=nAC,AD,AE分别为 的角平分线、中线，若 则 n 的值为( )
B.4
突破16 角平分线(三) 隐角平分线
类型一 知两条，隐一条
1.如图,在∠AOB 的边OA,OB 上分别取点M,N,连接MN,MP 平分∠AMN,NP 平分∠MNB.若 则OM+ON 的长是 .
类型二 知一条，隐两条
2.如图,在四边形 ABCD 中,∠ACB=54°,∠BAC=64°,对角线 BD平分∠ABC,∠BCD+∠DCA=180°,则∠ADC 的度数为 .
3.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 BD 平分∠ABC,若∠CAB=100°,∠CAD=40°,则∠CDB 的度数为 .
4.如图,点A,B 在坐标轴上,∠ABO 的平分线经过点D(2,-2),且与x 轴交于点C.
(1)求证:AD 平分△OAB 的外角;
(2)求证:OA-OB+AB=4.
突破 17 角平分线(四) 对称型全等
类型一 找对称全等
1.如图,在四边形 ABCD 中,E,F 分别是边AB,AD 上一点,CD=CE,∠BEC=∠D,∠BAD+∠BCF=180°.
(1)求证:EB=DF;
(2)连接AC,若CA 平分∠BCF,求证:AB=AF.
类型二 作垂构对称全等
2.如图,在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D,点E 在AB 的延长线上,且满足∠ADE+∠CAB=180°.若AC=6,BE=2,则线段 AB 的长为 .
类型三 截长补短构对称全等
3.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB,AD,CE 相交于点P.
(1)求∠CPD 的度数;
(2)若AE=3,CD=7,求线段 AC 的长.
4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,E 是AD 上一点,∠BAD+∠EBC+∠ACE=90°.在AB 边上取点 F,使AF=AC.
(1)求证:∠FEC+2∠EBC=180°;
(2)求证:BE 平分∠ABC.
类型四 延长垂线段(角分垂)构对称全等
5.如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BD 平分∠ABC,CE⊥BD 于点E,若BD=8,则 CE 的长度为 .
6.如图,AD,BE 是△ABC 的角平分线,EF⊥AD,垂足为F,当AD⊥BC时,求证:CE=2EF.
类型五 隐角平分线构对称全等
7.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,过点 A 作MN⊥AD,E 是直线MN上异于点A 的一点,连接BE,CE,求证:AB+AC突破 14 角平分线(一)性质与判定
1.1 解:过点 G 作GH⊥AB 于点 H.∵GB 平分∠ABC,∠C=90°,即 GC⊥BC,
∴GH=GC=1,根据垂线段最短可知，GP 的最小值为1.
2. B 解:∵AD 是∠BAC 的平分线,
∴∠EAD=∠CAD.
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴ED=CD,
∴BC=BD+CD=DE+BD=5,
∴△BDE 的周长=BE+BD+ED=(6-4)+5=7.故选 B.
3. D 解:∵∠BAC=90°,BD 平分∠ABC,DE⊥BC,
∴AD=DE.
在 Rt△ABD 和 Rt△EBD 中,
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL),
∴AB=BE.
∵△ABC 与△CDE 的周长分别为24 和12,
∴AB+BC+AC=AB+AC+BE+EC=24,DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=12,
∴AB+BE=12,
∴AB=BE=6.故选 D.
4.36 解:过点 D 作DF⊥AB 于点F.
∵∠C=90°,
∴DC⊥AC.
∵AD 平分∠BAC,CD=6,
∴DF=CD=6.
∵E为AB 的中点,AB=24,
∴BE=12,
∴△DBE 的面积 故答案为36.
5. D 解:过点 D 作 DF⊥AB,DG⊥AC,垂足分别为F,G.
∵AD是角平分线，
∴DF=DG.
∵BE 是△ABD的中线,
∴S△ABD=5.
设 DF=DG=h.
∵AB=5,
∴DF=2,
∴DF=DG=2.
∵S△ABC=S△ABD+S△ADC,AC=3,
故选 D.
6. C 解:过点分别 D 作 DG⊥AB 于点G,DF⊥AC 于点F.
∵AD 是∠BAC 的平分线,DG⊥AB,DF⊥AC,
∴DG=DF.
∵AB=2AC,
∴S△ABD=2S△ACD.
∵AD=DE,
∴S△ABD=S△BDE=12,
∴S△ACD=6,
18.故选 C.
7.解:(1)∵CD⊥OM,CE⊥ON,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL),
∴CD=CE,
∵CD⊥OM,CE⊥ON,
∴OC 平分∠MON;
(2)∵AD=3,
∴BE=AD=3,
∵BO=4,
∴OE=OB+BE=4+3=7,
∵CD⊥OM,CE⊥ON,
∴∠CDO=∠CEO=90°,
∴Rt△DOC≌Rt△EOC(HL),
∴OD=OE=7,
∵AD=3,
∴OA=OD+AD=7+3=10.
8.解:(1)过点 D 分别作 DP⊥AB 于点P,DQ⊥AC 于点Q.
∵DE⊥BC,BD 平分∠ABC,CD平分∠ACE,
∴DP=DE,DQ=DE,
∴DP=DQ,
∴AD平分∠CAM;
(2)由(1)知 DP=DQ,在 Rt△ADQ和 Rt△ADP 中,
∴Rt△ADQ≌Rt△ADP(HL),
∴AP=AQ,
同理得 BP=BE,CQ=CE.
∵△ABC 的周长=AB+BC+AC=20,
∴AB+BC+AP+CE=20.
∵AB+AP=BC+CE,
∴BC+CE=10,即BE=10.
突破15 角平分线(二) 面积法
1. A 解:连接 IA,IB,IC,过点 I 作IM⊥AB 于点M,IN⊥BC于点N,∵点 I 为△ABC 各内角平分线的交点,IM⊥AB,IN⊥BC,IH⊥AC,
∴IH=IM=IN,
∵AB=4,BC=3,∠ABC=90°, =6,
∵AB=4,BC=3,AC=5,
IH=IM=IN,
5IH,
∴IH=1,故选 A.
2.解:过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,DG⊥AC于点G,
∵AD 为∠BAC 的平分线,DF⊥AB,DG⊥AC,
∴DF=DG,
2DF,
3: 4,
3:4,
3.解:(1)∵AE 是∠BAD 的角平分线，
∴∠BAD=2∠BAF.
∵∠BFE=45°,
∴∠FBA+∠BAF=45°,
∴2∠FBA+2∠BAF=90°.
∵AD 为BC 边上的高,
∴∠EBF + ∠FBA + 2∠BAF =90°,
∴2∠FBA=∠EBF+∠FBA,
∴∠EBF=∠FBA,
∴BF平分∠ABE;
(2)过点 F 作 FM⊥BC 于点 M,FN⊥AB 于点 N.
∵BF 平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,
∴FM=FN.
即
∴AB=BC,
∴△ABF≌△CBF(SAS),
∴∠AFB=∠CFB.
∵∠BFE=45°,
∴∠AFB=135°,
∴∠CFB=135°,
∴∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°
∴∠AFC=90°;
(3)∵△ABF≌△CBF,
∴AF=FC.
∵∠AFC=∠ADC=90°,∠AGF=∠CGD,
∴∠FAG=∠FCE,
∴△AFG≌△CFE(ASA),
∴AG=EC=4.5.
∵BE=3,
∴BC=BE+EC=7.5,
∴AB=BC=7.5.
4. D 解:过点 D 分别作 DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点 F,过点 A 作AH⊥BC于点 H.
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF,
又·
故选 D.
5. 解:∵BF=2EF,S△DEF=2,
∴S△BDE=3S△DEF=3×2=6,
∵E 为AD 的中点,
∴S△ABD=2S△BDE=2×6=12,
∵S△ABC=21,
∴S△ACD=21-12=9,
过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥AC 于点N,
∵AD 是∠BAC 的角平分线,
∴DM=DN,
故答案为
6. A 解:过点 D 作 DM⊥AB 于点M,DN⊥AC 于点N,
过点 A 作AF⊥BC于点F,
∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN,
设 AC=a,DE=2x,
则AB= an,BC=7x,
∵E 为BC的中点,
∴CE=BE=3.5x,
∴BD =BE+DE =3.5x+2x=5.5x,CD=CE-DE=3.5x-2x=1.5x,
解得 故选 A.
突破 16 角平分线(三)隐角平分线
1.5 解:过点 P 作PE⊥OB,垂足为E,作 PF⊥MN,垂足为 F ,作 PG⊥OA,垂足为G,连接OP.
∵P 是△MON 外角平分线的交点，
∴PF=PG=PE.
∵MN=1,△PMN 的面积是1,
∴PF=2,
∴PG=PE=2.
∵△OMN 的面积是4,
∴OM+ON=5.
故答案为5.
2.59° 解:过点 D 作DE⊥BA,DF⊥BC,DG⊥AC,垂足分别为 E,F,G,则∠AED=∠DFC=90°.
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF.
∵∠BCD+∠DCA =180°,∠BCD+∠DCF=180°,
∴∠DCF=∠DCA,
∴CD平分∠ACF,
则 DG=DF=DE,
∴AD 平分∠EAC,
∴∠DAE=∠DAG.
∵∠ACB = 54°, ∠BAC = 64°,∠BAC+∠EAG=180°,∠ACB+∠ACF=180°,
∴∠ADC=180°-∠DAG-∠ACD=59°.
3.50°解:过点 D 分别作 BA,BC,AC 的垂线,垂足分别为 F,E,G.
∵∠CAB=100°,∠CAD=40°,
∴∠DAF=40°,
∴AD平分∠FAC.
又 BD平分∠ABC,
∴DF=DG=DE,
∴CD 平分∠ACE,
由三角形内、外角平分线模，型知
4.证明:(1)过点 D 作 DE⊥y 轴于点E,作 DH⊥x 轴于点 H,作 DF⊥BA,交 BA 的延长线于点F,
∴∠DEB = ∠AHD = ∠AFD =90°.
∵D(2,-2),
∴DE=DH=2.
∵BD 平分∠ABO,
∴DE=DF=2,
∴DH=DF,
∴Rt△AHD≌Rt△AFD(HL),
∴∠HAD=∠FAD,
∴AD 平分∠OAF,即 AD 平分△OAB的外角;
(2)设AF=x,则AH=x.
∵DE=2,DH=2,
∴OH=2,OE=2.
可证△BDE≌△BDF,
∴BE=BF.
∵BF=AB+AF=AB+x,BE=OB+OE=OB+2,即AB+x=OB+2.
∵OA=AH+OH=2+x,
∴x=OA-2,
∴AB+x=AB+OA-2=OB+2,
∴AB+OA-OB=2+2=4.
突破 17 角平分线(四)对称型全等
1. 证明:(1)∵∠BAD + ∠BCF =180°,
180°,
∵∠AFC+∠DFC=180°,
∴∠B=∠DFC,
又∵CD=CE,∠BEC=∠D,
∴△BCE≌△FCD(AAS),
∴EB=DF;
(2)由(1)可知,△BCE≌△FCD,
∴BC=FC,
∵CA 平分∠BCF,
∴∠BCA=∠FCA,
∴△ABC≌△AFC(SAS),
∴AB=AF.
2.10 解:延长AD 到点M,过点 D 作DH⊥AB 于点 H.
∵AD 平分∠CAB,
∴∠DAC=∠DAH.
∵∠C=∠AHD,AD=AD,
∴△ADC≌△ADH(AAS),
∴AC=AH=6.
∵∠ADE+∠CAB=180°,∠ADE+∠EDM=180°,
∴∠EDM=∠CAB.
∵∠EDM = ∠DAE + ∠DEA =∠DAE+∠CAD,∠CAD=∠DAB,
∴∠DAB=∠E,
∴DA=DE.
∵DH⊥AE,
∴AH=HE=6.
∵BE=2,∴BH=4,
∴AB=10,故答案为10.
3.解:(1)∵AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB,
∵∠PAC + ∠ACP + ∠APC =180°,即 ∠APC=180°,
∵∠BAC+∠ACB=180°--∠B=120°,
∴∠APC=120°,
(2)过点 P 作∠APC 的平分线交AC于点 M,则∠APE=∠APM=∠CPM=∠CPD=60°,
则 △APE ≌ △APM,△CPM ≌△CPD,
∴AE=AM,CD=CM,
∴AC=AM+CM=AE+CD=3+7=10.
4.证明:(1)设∠BAD=∠CAD=x°,
易证△AEF≌△AEC(SAS),
∴∠AFE=∠ACE=y°,
∵x+y+α=90,
∴∠FEC+2∠EBC=2x°+2y°+2α=180°;
(2)在 BC 的延长线上取点G,使 EG=EB,
∴∠BEG=∠FEC=180°—2α.
易证△FBE≌△CGE(SAS),
∴∠FBE=∠CGE=∠EBC=α,
∴BE平分∠ABC.
5.4 解:延长 BA,CE 交于点 F,则
△BEF≌△BEC(ASA),
易得△ABD≌△ACF(ASA),
∴CF=BD=8,
6.证明:延长EF 交AB 于点I.
∵EF⊥AD,AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠IAF=∠EAF,∠AFI=∠AFE=90°.
∵AF=AF,
∴△AFI≌△AFE(ASA),
∴FI=FE,AI=AE,
∴IE=2EF.
同理可证△ABD≌△ACD,
∴AB=AC,
∴AB-AI=AC-AE,
∴BI=CE.
∵AD⊥BC,EF⊥AD,
∴EF∥BC,
∴∠FEB=∠CBE.
∵BE 是△ABC 的角平分线,
∴∠IBE=∠CBE,
∴∠IBE=∠IEB,
∴BI=IE=CE,
∴CE=2EF.
7.证明:延长 BA 至点F,使AF=AC,连接 EF.
∵MN⊥AD,
∴∠MAD=∠NAD=90°,
∴∠BAM + ∠BAD = ∠CAD +∠CAN.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BAM=∠CAN.
∵∠BAM=∠EAF,
∴∠EAF=∠CAN,
∴△ACE≌△AFE(SAS),
∴EF=EC,AF=AC.
∵BF∴AB+AF∴AB+AC

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